数学建模ppt教学课件.ppt

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1、数学建模讲座,玩具、照片, 实物模型,风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见的模型,什么是数学模型,第一章 建立数学模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解

2、答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,数学模型 (Mathematical Model) 和数学建模（Mathematical Modeling),数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗

3、？,1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。,模型假设,模型构成,椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和g(t)A,C两脚与地面距离之和,f(t), g(t) 0,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不

4、妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：,已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，因为f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。,将椅子旋转90,对角线AC与BD互换。 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,f( )=0,建模示例 商人们怎样

5、安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k

6、次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3;

7、 x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,习题,模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,建模示例 如何预报人口的增长,指数增长模型,常用的计算公式,马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t) 时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增

8、长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型 (Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,阻滞增长模型 (Logistic模型),x(t)S形曲线, x增加先快后慢,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估

9、计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模 型 检 验,用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4 (百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析,二者结

10、合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,看谁答得快,1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？2、某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站

11、接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？3、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？,录象机计数器的用途,问题,经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。,在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目

12、？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,第二章 初等模型,问 题 分 析,录象机计数器的工作原理,录象带运动,观 察,计数器读数增长越来越慢！,模 型 假 设,录象带的运动速度是常数 v ；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；,空右轮盘半径记作 r ；,时间 t=0 时读数 n=0 .,建 模 目 的,建立时间t与读数n之间的关系,（设V，k ，w ，r 为已知参数）,模 型 建 立,建立t与n的函数关系有多种方法,1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度等于录

13、象带在时间t内移动的长度vt, 所以,模 型 建 立,2. 考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即,3. 考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度，有,思 考,1. 3种建模方法得到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别，请解释。,2.模型中有待定参数,确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法。,参 数 估 计,确定参数的另一种方法测试分析,将模型改记作,只需估计,理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可；,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合。,现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：

14、,模 型 应 用,1. 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分，剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目。,2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。,第 2 章模糊聚类分析,2.1 模糊矩阵,定义1 设R = (rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,定义2 设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，相等：A = B

15、 aij = bij；包含：AB aijbij；并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A，AA = A；交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)；吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)；0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A；还原律：(Ac)c = A；对偶律： (AB)c =AcBc, (A

16、B)c =AcBc.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵A 与B 的合成为：A B = (cij)mn，其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,合成( )运算的性质：,性质1：(A B) C = A (B C)；性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质4：O A = A O =

17、O，I A=A I =A；性质5：AB，CD A C B D.,注：合成( )运算关于()的分配律不成立，即( AB ) C ( A C )( B C ),( AB ) C,( A C )( B C ),( AB ) C ( A C )( B C ),模糊矩阵的转置,定义 设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A；性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性质4：( Ac )T

18、= ( AT )c ；性质5：AB AT BT .,证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .,证明：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 记( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T .,模糊矩阵

19、的 - 截矩阵,定义7 设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称A= (aij()mn,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij 时，aij() =1；当aij 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.,对任意的0, 1，有,性质1：AB A B；性质2：(AB) = AB，(AB) = AB；性质3：( A B ) = A B；性质4：( AT ) = ( A )T.,下面证明性质1： AB A B 和性质3.,性质1的证明： AB aijbij；当 aijbij时， aij() =bij() =1；当aij bij时， aij() =0, bij() =1；当a

20、ijbij时， aij() = bij() =0；综上所述aij()bij()时， 故A B .,性质3的证明：,设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij() =(aik()bkj().,( A B ) = A B .,2.2

21、 模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射R : X Y 0,1.并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系 R就是X Y 的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从 X 到 Y 的模糊关系.相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含： R1 R2 R1(x, y)

22、R2(x, y)；并： R1R2 的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交： R1R2 的隶属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余：Rc 的隶属函数为Rc (x, y) = 1- R(x, y).,(R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示(x, y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc (x, y)表示(x, y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域 X = x1, x2, , xm和Y = y1, y2, ,

23、yn，则X 到Y 模糊关系R可用mn 阶模糊矩阵表示，即R = (rij)mn，其中rij = R (xi , yj )0, 1表示(xi , yj )关于模糊关系R 的相关程度. 又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).,例 设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：cm), 体重论域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.,模糊关系的合成,设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合

24、成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系.(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)ms，Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)sn，则X 到Z 的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中cij = (aikbkj) | 1ks.,模糊关系合成运算的性质,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：A ( BC )

25、= ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质3：( A B )T = BT AT；性质4：A B，C D A C B D.,注：(1) 合成( )运算关于()的分配律不成立,即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,2.3 模糊等价矩阵,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X = x1, x

26、2, , xn为有限时, X 上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：,I R ( rii =1 ),RT=R( rij= rji),R2R.,R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .,模糊等价矩阵的基本定理,定理1 若R具有自反性(IR)和传递性(R2R), 则 R2 = R. 定理2 若R是模糊等价矩阵,则对任意0, 1，R是等价的Boole矩阵.,0,1，ABAB；(AB)=AB；( AT ) = ( A)T,证明如下： (1)自反性：IR0,1，IR 0,1，I R，即R具有自反性； (2)对称性：RT = R (RT) = R (R)T = R，即R具有对称

27、性； (3)传递性：R2R(R)2R，即R具有传递性.,定理3 若R是模糊等价矩阵,则对任意的01, R 所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,证明：对于论域 X = x1, x2, , xn，若 xi , xj 按R分在一类，则有rij() = 1 rij rij rij() =1，即若 xi , xj 按R也分在一类. 所以，R 所决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子类.,模糊相似关系,若模糊关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，且满足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x )

28、； 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X = x1, x2, , xn为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I R ( rii =1 )； (2) 对称性：RT = R ( rij = rji ).,模糊相似矩阵的性质,定理1 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵. 定理2 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k (kn )，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk .

29、上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,平方法求传递闭包 t (R)：RR2R4R8R16,2.4 模糊聚类分析,数据标准化,设论域X = x1, x2, , xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi = xi1, xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是,得到原始数据矩阵为,平移 标准差变换,其中,平移 极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法 -夹角余弦法,相似系数法 -相关系数法,其中,距离法,海明距离,欧氏距离,Boole矩阵法：,Boole矩阵法的步骤如下：,(1)求模糊相似矩阵的 -截矩阵R ；(2) 若R在某一排列下的矩阵有形如,

30、的特殊子矩阵,则将R 中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.,最佳分类的确定,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的. 但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.,设X = (xij)nm为n个元素m个指标的原始数据矩阵. 为总体样本的中心向量.,对应于 值的分类数为r，第 j 类的样本数为nj，第 j 类的样本标记为,第 j 类样本的中心向量为,作F- 统计量：,如果满足不等式FF ( r -1, n -r )的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差 ( F - F )/F 的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.,实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.,