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1、黄灯亮多久,在交通管理中，定期的亮一段黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致无法停下的驾驶员有机会在黄灯亮的时候通过路口。如果汽车的法定速度为 ，交叉路口宽度为 ，典型的车身长度为 ，地面的摩擦系数为 ，试问黄灯点亮的时间多长为好呢？,应用背景,相关知识点,1.函数最大(小)值的求法 2.高阶可降阶微分方程的解法 3.微分方程的几何应用和简单物理应用,解题方法,通过建立汽车刹车的微分方程，求出汽车通过刹车距离、路口宽度和一个车身的行驶时间，再求黄灯亮时的最小值，解决黄灯亮时问题。,解题过程,第一步 ： 驶近交叉路口的驾驶员看到黄灯信号时首先要作出决定：是停车还是通过路口。如果选
2、择停车，他必须有足够的停车距离；如果选择通过路口，他必须有足够的时间安全通过路口。 设驾驶员作出决定的反应时间为 ，通过刹车距离的时间为 ，通过路口和一个车身距离的时间为 ，黄灯点亮的时间为 。,解题过程,第二步 ： 因此，如果取则选择刹车的驾驶员可以在刹车距离内安全停车；选择通过路口的驾驶员也有足够时间安全通过路口。所以最佳点亮黄灯时间就归结为求上述 的最小值。 假设汽车以法定速度 通过路口。由于 为常数，而 ，所以只有 是需要进一步求得的。,解题过程,第三步 ： 下面先计算刹车距离. 设车辆的重量为 ，车辆刹车时，水平方向只受到摩擦力 作用，其方向与运动方向相反。设刹车后，汽车走过的位移
3、，根据牛顿第二定律有如下的微分方程：,（1）,解题过程,其中 为重力加速度，负号是因为速度与摩擦力方向相反，从而 .,解题过程,第四步 ：,（2）,由于车停下后速度为零，所以在（2）式中令 得到汽车自刹车至停下所用的时间 。,在 的条件下，对（2）式再积分得到,对（1）式积分得,（3）,从而刹车距离,（4）,解题过程,第五步 ： 由（4）式得 ，所以 . 对 关于 求导数,令 得到驻点 ，所以当 时， 有极小值,数学实验,借助于Mathematica可以描绘出 关于 的图像。假设 s ， m ， m 。另外，我们将接受公路工程师提出的具有代表性的数据 . 在Mathematica软件中输入如下
4、程序：Plotv/(2*0.2*9.8)+(5+10)/v+1, v, 0, 30运行后得到如下 关于 的图像，其中 的单位为：m/s。,（s）,（m/s）,数学实验,当 、45、60、75（km/h ），也即约8.3，12.5， 16.7，20.8（m/s ）时， 的值如下表所示：,数学实验,表中的“经验法”是按如下“经验”得到：对法定的迫近速度的每个15 km/h亮黄灯1秒。我们注意到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口的设计很可能使车辆在绿灯转为红灯时正处在交叉路口上。 顺便地，我们还可以求得使 取最小值时的法定速度 7.67（m/s）27.6（km/h），此时 4.91s。,进一步的问题,即使给了充分的停车时间，仍有许多驾驶员企图加速想抢在红灯亮之前冲过交叉路口。但驾驶员们并不知道什么时候红绿灯转为红灯。有一种“倒数”型的红绿灯可以部分地解决这个问题，在黄灯亮的最后几秒钟内，黄灯上显示出一窜倒着数的数字，它们准确地警告驾驶员红绿灯何时将变为红色。这种系统在我国的部分城市正使用着，它成功地降低了事故发生率。,
