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1、数学归纳法证明不等式及举例,思考:,阅读课文，思考下列问题:,1.数学归纳法定义：,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取 时 命题成立(归纳递推)假设,第一个值n0(n0N*),nk(kn0，kN*)时命题成立，,证明当nk1时命题也成立,2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关的数学问题。,应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可,正整数n,分析按照数学归纳法的步骤证明，在由nk到nk1的推证过程中应用了放缩技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用技巧之一,证
2、明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立,(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立由(1)，(2)知，对一切nN*，命题都成立,例3求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*，aR.,例4平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个及以上的圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2n2(nN*)个区域分析
3、本题关键是弄清第k1个圆与前k个圆的交点个数，以及这些交点又将第k1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是怎样影响平面区域的划分的,证明(1)当n1时，1个圆将平面分成2个区域，命题显然成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即k个圆将平面分成k2k2个区域则当nk1时，第k1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将第k1个圆分成2k段弧，每段弧将各自所经过的区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k1个圆将平面分成k2k22k个区域，即(k1)2(k1)2个区域，故当nk1时，命题也成立由(1)、(2)可知，对一切nN*，命题都成立,例5是否存在常数a，b，c使等式1(n212)2(n222)
4、n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论分析先取n1,2,3探求a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对一切的nN*，a，b，c所确定的等式都成立,例4、已知x 1，且x0，nN，n2求证：(1+x)n1+nx.,（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当n=k+1时，因为x 1 ，所以1+x0，于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x因为kx20，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当n=k+1时也成立根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自
5、然数n都成立.,证明： （1）当n=2时，左(1x)2=1+2x+x2 x0， 1+2x+x21+2x=右 n=1时不等式成立,1用数学归纳法证明12(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式是()A1 B13C123 D1234解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,练习:,解析当n1时，n34，所以等式左边为1234.,5用数学归纳法证明某个命题时，左边为12342345n(n1)(n2)(n3)，从nk到nk1左边需增加的代数式为_解析当nk时，左边12342345k(k1)(k2)(k3)当nk1时，左边12342345k(k1)(k2)(k
6、3)(k1)(k2)(k3)(k4)，所以从nk到nk1左式应增加(k1)(k2)(k3)(k4),(2)数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明: 当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命 题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例2、用数学归纳法证明: 能被8 整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1
7、=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被 x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k
8、-1+x3k-2+1)+x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)+(x+1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,例6、平面内有n (n2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少?并证明.,当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于一点，共增加k个点，,由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。,证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, 而f(2)= 2(2-1)=1, 命题成立。,k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)(k+1)-1=f(k+1), 即当n=k+1时命题仍成立。,2）假设n=k(kN,k2)时，k条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：,练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 的条数f(n+1)=f(n)+_.,n-1,练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_个区域.,2k,
