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1、2.3 数学归纳法,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,不完全归纳,猜：四毛！,完全归纳,？,了解数学推理的常用方法（归纳法）.了解数学归纳法的原理及使用范围.初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.会用数学归纳法证明一些简单的等式问题. （重点、难点）,探究点 数学归纳法的原理与定义,问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？,把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.,完全归纳法,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,猜想数列的通项公式为：,解:,不完全归纳法,从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体
2、都具有这种性质的归纳推理方法,验证:,逐一验证，不可能！,能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？,多米诺骨牌,数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.,1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.,2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.,多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？,上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假
3、设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下.,你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？,猜想数列的通项公式为,证明:,(1)当,猜想成立.,(2),那么,当,根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立.,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：,1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.,2.（归纳递推）假设当n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,这种证明方法叫做数学归纳法.,若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成
4、立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.,归纳奠基,归纳递推,数学归纳法：,两个步骤 一个结论缺一不可,已知三角形内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为_,3,【即时训练】,例1 用数学归纳法证明,证明：,（1）当n=1时，,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k( )时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1时等式也成立.,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,用数学归纳法证明:(n+1)(
5、n+2)(n+n)=2n 13(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为 ，共有 项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为_.,(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1),k+1,【变式练习】,即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数 均成立.,【总结提升】,问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：,证明：假设n=k时等式成立，即,那么,上述证法是正确的吗？为什么？,结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.,问题2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？,结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,
6、必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.,，,，,解：,可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.,(1)当n=1时，,猜想成立.,(2)假设n=k 时,猜想成立，即,那么,所以，当n=k+1时,猜想也成立.,证明: (1)当n=1时,左边= ,(2)假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立.,【变式练习】,那么n=k+1时,这就是说，当n=k
7、+1时,命题也成立.,由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.,例3 求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),证明：【解题关键】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n=k(kN*)时命题成立，再推证n=k+1时成立.,【变式练习】,【证明】(1)当n=1时，左边= 右边=左边=右边，所以等式成立,(2)假设n=k(k1)时等式成立，即有所以当n=k+1时，等式也成立由(1)、(2)可知，对一切nN*等式都成立,1.(2015南阳高二检测)命题P(n)满足：若n=k(kN*)成立，则n=k+1成立，下面说法正确的是()A.P(6)成立则P(5)成
8、立B.P(6)成立则P(4)成立C.P(4)成立则P(6)成立D.对所有正整数n，P(n)都成立,【解析】选C.由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立，所以P(4)成立，则P(6)成立.,C,2.下面四个判断中，正确的是()A.式子1+k+k2+kn(nN*)中，当n=1时，式子的值为1B.式子1+k+k2+kn-1(nN*)中，当n=1时，式子的值为1+kC.式子 (nN*)中，当n=1时，式子的值为D.设f(x)= (nN*)，则f(k+1)=f(k)+,C,3.用数学归纳法证明1+2+22+2n+1=2n+2-1(nN*)的过程中，在验证n=1时，左端计算
9、所得的项为 ()A.1 B.1+2C.1+2+22 D.1+2+22+23,C,5.是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,(2)假设当n=k时结论正确,即:,(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.,解:令n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证明:,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.,数学归纳法的一般步骤：,若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始的所有正整数n 都成立.,归纳奠基,归纳递推,两个步骤 一个结论缺一不可,如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐；如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.,
