数值分析期末复习总结ppt课件.ppt

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1、1,期末复习总结,数值分析,2,第一章,数值计算的误差,计算方法,数值计算中的误差,来源及种类 - 模型误差、参数误差、 截断误差、舍入误差。,1. 模型误差（也称描述误差） 模型误差是在建立数学模型时，由于忽略了一些次要因素而产生的误差，它是数学建模阶段要考虑的误差，不是计算方法可以解决的。,2. 参数误差（也称观测误差） 测量已知参数时，数据带来的误差 ，它也不是计算方法能解决的问题。,数值计算中的误差,3. 截断误差（也称方法误差） 截断误差是对参与计算的数学公式做简化可行处理后所产生的误差（用有限过程代替无限过程或用容易计算的方法代替不容易计算的方法），是计算方法关注的内容。,4. 舍

2、入误差（也称计算误差） 舍入误差是由于计算机只能表示有限位数字，因而只能取有限位数进行计算所得的误差，它也是计算方法关注的内容。,5,绝对误差：,绝对误差,x 精确值x* 近似值,绝对误差 可能取正，也可能取负 绝对误差 越小越具有参考价值 但 绝对误差 却不能很好地表示近似值的精确程度,6,相对误差,相对误差：,若存在正数 r*，使得 |er*| r*， 则称 r*为相对误差限,近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限,7,有效数字,有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单位（即截取按四舍五入规则） ，且该位到 x* 的第一位非零

3、数字共有 n 位，则称 x* 有 n 位有效数字,8,有效数字（与相对误差限的关系）,定理：设近似值 x* 可表示为 x* = a1.a2al 10m (a10)，若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足,1,r* ,2a1, 10-(n-1),有效位数越多，相对误差限越小,问题的敏感性与数值稳定性,对于一个问题，所使用的数据集记作D，所得的解集为S，于是问题简记为Sf (D)。 然而在实际中，使用的数据为D*且有一定误差，从而所得解集S*f (D*)也将不会精确地为S(不考虑输入误差及公式误差)。一个重要的问题是：当数据集D*很接近精确值D时，其解集是否也一定很接近精确解S呢？这就

4、是“解对数据的敏感性”问题。 定义：对问题 f (*)，如数据集非常接近精确值D时，相应解集S* f (D*)也非常接近精确解S f (D)，则称问题 f (*)是良态的，或解对数据不敏感；否则，称f (*)是病态的，或解对数据敏感。,描述问题的敏感性，常采用“条件数”这一概念。对不同的问题，条件数的具体定义及计算也不尽一样。作为实例，后面将讨论求解线性方程组问题。 需要指出，这种变化并不是由舍入误差引起，也不是计算公式造成，而是由问题本身对系数的敏感性决定的。求高阶多项式的零点问题往往是病态的。 对于良态问题，原则上讲可以求得满足精度要求的解。但输入误差不可避免，因而还应保证所使用的算法不会

5、扩展误差在计算结果中的影响，否则计算结果仍不可信。 定义：对于一个由多阶段运算组成的算法，若每经过一个阶段的运算，原有的初值误差或舍入误差的影响不增长，则称这个算法是数值稳定的。,数值计算中应注意的几个问题,某些原则 - 使用数值稳定的计算方法；小心处理病态的数学问题；注意简化计算步骤，减少算术运算的次数；避免两个相近的数相减，避免绝对值太小的数作除数；防止大数“吃掉”小数 6.简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法） 7.减少有效数字的损失,计算机运算时，绝对值很小的数作除数会溢出停机，而且当绝对值很小的除数稍有一点误差时，对计算结果影响很大，例如,12,第二章插值法,计算方法,13,插值基本

6、概念,已知函数 y = f(x) 在 a, b 上有定义，且已经测得在点 a x0 x1 xn b 处的函数值为 y0 = f(x0)， ，yn = f(xn),什么是插值,如果存在一个简单易算的函数 P(x)，使得 P(xi) = f(xi)，i = 1, 2, . , n则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数,求插值函数 P(x) 的方法就称为插值法,14,基函数插值法,基函数法,通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法,Ln(x) = 次数不超过 n 的多项式的全体,记,15,Lagrange插值,Lagrange插值基函数,设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0

7、 , x1 , , xn 上满足,则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , , xn 上的拉格朗日插值基函数,单项式基函数,利用线性无关的单项式族：,构造 n 次多项式：,16,线性与抛物线插值,两种特殊情形,n=1,线性插值多项式（一次插值多项式）,17,Lagrange插值,lk(x) 的表达式,由构造法可得,18,误差估计,如何估计误差,19,插值余项,余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用,几点说明,计算插值点 x 上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点,20,Newton 插值,为什么 Newton 插值,Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基

8、函数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。,设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式可以通过 n-1 次插值多项式生成 Newton 插值法,解决办法,21,新的基函数,设插值节点为 x0 , , xn ，考虑插值基函数组,当增加一个节点 xn+1 时，只需加上基函数,22,Newton 插值,此时 f(x) 的 n 次插值多项式为,问题,如何从 pn-1(x) 得到 pn(x) ? 怎样确定参数 a0 , , an ?,需要用到 差商（均差）,23,差商,什么是差商,设函数 f(x)，节点 x0 , , xn,f(x) 关于点 xi , xj 的,一阶差商,f(x) 关于点

9、 xi , xj , xk 的,二阶差商,k 阶差商,差商的一般定义,24,差商的性质,k 阶差商与 k 阶导数之间的关系：若 f (x) 在 a,b 上 具有 k 阶导数，则至少存在一点 (a, b)，使得,25,差商的计算,如何巧妙地计算差商,差商表,26,差商举例,例：已知 y = (x) 的函数值表，试计算其各阶差商,解：差商表如下,ex24.m,ex23.m,27,Newton 插值公式,Newton 插值公式,由差商的定义可得, ,Nn(x),Rn(x),28,Newton 插值公式,f (x) = Nn(x) + Rn(x),Nn(x) 是 n 次多项式,Nn(xi) = f (

10、xi)，i = 0, 1, 2, , n,重要性质,Nn(x) 是 f (x) 的 n 次插值多项式,其中,29,Newton / Lagrange,Newton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式,f (x) 在 x0 , x1 , , xn 上的 n 次插值多项式是唯一的！,Nn(x) Ln(x),余项也相同,将 x 看作节点,30,插值举例,例：已知函数 y = lnx 的函数值如下,解：取节点 0.5, 0.6, 0.4 作差商表,试分别用牛顿线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值,N1(x) = -0.6931 + 1.8230(x-0.5),N1(0.54) =

11、 -0.6202,N2(x) = -0.6931 + 1.8230(x-0.5) - 2.0450(x-0.5)(x-0.6),N2(0.54) = -0.6153,ex25.m,插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！,31,第三章函数逼近与曲线拟合,计算方法,32,函数逼近,三个问题,问题一,已知一个函数的数值表,能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。,问题二,函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一个合理的逼近。,问题三,问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的 p(x) ，可以近似地表

12、示这些数据。,33,赋范线性空间,赋范线性空间 Ca, b,线性空间 Ca, b ，f(x)Ca, b,1-范数：,2-范数：,-范数：,34,逼近标准,度量 p(x) 与 f(x) 的近似程度的常用两种标准,使 尽可能地小。,使 尽可能地小。,35,函数逼近,记 Hn 为所有次数不超过 n 的多项式组成的集合，给定函数 f(x)Ca, b，若 P*(x)Hn 使得,则称 P*(x) 为 f(x) 在 Ca, b 上的 最佳逼近多项式,最佳逼近,最佳一致逼近,36,函数逼近,最小二乘拟合,寻找 P*(x) ，使得下面的离散 2-范数最小,给定 f(x)Ca, b 的数据表,最佳平方逼近,37,

13、正交多项式,定义,设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，若,则称 为 a, b 上带权 (x) 正交,性质 1,设 是正交多项式族，Hn 为所有次数不超过 n 的多项式组成的线性空间，则,构成 Hn 的一组基,称 n(x) 为 n 次正交多项式,38,最佳平方逼近,设 f(x) Ca, b，0(x), 1(x), , n(x)Ca, b 线性无关，令,求 S*(x) ，使得,S*(x) 称为 f(x) 在 中的 最佳平方逼近函数,其中,39,最佳平方逼近,如何求 S*(x) ？,40,最佳平方逼近,即,法方程,G,41,求 在0, 1上的一次最佳平方逼近多项式,举例,例：(教材6

14、8页，例 6),解：,42,最佳平方逼近多项式,f(x) Ca, b 在 Hn 中的最佳平方逼近，记为,n 次最佳平方逼近多项式,取 Hn 的一组基：1, x, x2, , xn ，则法方程为,H,Hilbert 矩阵,H 严重病态只适合求低次最佳逼近,43,正交函数作逼近,若 0, 1, , n 正交，则法方程的解为,所以,k = 0, 1, , n,误差,Bessel 不等式,44,曲线拟合,能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 f(x) p(x),已知 f(x) 在某些点的函数值：,45,使 最小,使 最小,曲线拟合,(xi) yi 总体上尽可能小,使 最小,常见做法,46,最小二乘

15、,曲线拟合的最小二乘问题,这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。,已知函数值表 ( xi , yi )，在函数空间 中求 S*(x) ，使得,其中 i 是点 xi 处的权。,47,最小二乘求解,对任意 S(x) = span0, 1, , n，可设,S(x) = a00 + a11 + + ann(x),则求 S*(x) 等价于求下面的多元函数的最小值点,48,最小二乘求解,( k = 0, 1, , n ),这里的内积是离散带权内积，即,，,法方程,G,49,最小二乘求解,50,举例,最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即

16、如何选取函数空间 = span0, 1, , n ，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。,51,多项式拟合,Hn= span1, x, ., xn, 即 i = xi, 则相应的法方程为,此时 为 f(x) 的 n 次最小二乘拟合多项式,多项式最小二乘曲线拟合,52,举例,例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式,得法方程,解得,所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为,(1) 若题目中没有给出各点的权值 i ，默认为 i = 1 (2) 该方法不适合 n 较大时的情形 （病态问题）,53,第四章数值积分与数值微分,计算方法,54,数值积分,微积分基本公式：,55,几

17、个简单公式,矩形公式,梯形公式,抛物线公式,基本思想：,56,一般形式,数值积分公式的一般形式,将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现,一般地，用 f(x) 在 a, b 上的一些离散点 a x0 x1 xn b 上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值，可得,57,代数精度,定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式,精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度,58,举例,例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。,易验证该公式对 f (

18、x)x3 也精确成立，但对 f (x)x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。,59,插值型求积公式,设求积节点为：a x0 x1 xn b 若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值：,其中,插值型求积公式,60,Newton-Cotes 公式,基于等分点的插值型求积公式,积分区间：a, b 求积节点： xi = a + i h,求积公式：,Cotes 系数,Newton-Cotes 求积公式,61,Newton-Cotes 公式,n = 1:,代数精度 = 1,梯形公式,n = 2:,代数精度 = 3,抛物线公式Simpson公式,n = 4:,科特斯 (Cotes)

19、公式,代数精度 = 5,62,N-C 公式余项,梯形公式 (n=1) 的余项,Simpson公式 (n=2) 的余项,Cotes 公式 (n=4) 的余项,63,复合求积公式,提高积分计算精度的常用两种方法,用 复合公式 用 非等距节点,将积分区间分割成多个小区间 在每个小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式,复合求积公式,64,复合梯形公式,将 a, b 分成 n 等分 xi , xi+1 ，其中,(i = 0, 1, , n),复合梯形公式,余项,65,复合 Simpson 公式,复合 Simpson 公式,余项,性质：复合梯形公式和复合Simpson 公式都是收敛的，也都是稳定的。,66,举

20、例,解：,例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ，并估计误差。,67,举例,误差估计,68,第五章解线性方程组的直接方法,计算方法,69,Gauss 消去法,例：直接法解线性方程组,70,Gauss 消去法,高斯消去法的主要思路：将系数矩阵 A 化为上三角矩阵，然后回代求解。,考虑 n 阶线性方程组：,71,计算 LU 分解,利用矩阵乘法直接计算 LU 分解,L U = A,比较等式两边的第一行得：,u1j = a1j,比较等式两边的第一列得：,比较等式两边的第二行得：,比较等式两边的第二列得：,( j = 1, n ),( i = 2, n ),(

21、j = 2, n ),( i = 3, n ),72,计算 LU 分解,第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出,比较等式两边的第 k 行得：（u,a,l第一个字母是k，后面两个k，两个i，两个j，左侧字母在右侧都是ij）,比较等式两边的第 k 列得：,直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。,( j = k, , n ),( i = k+1, , n ),（u,a,l第二个字母是k，后面两个k，两个i，两个j，左侧字母在右侧字母都是ij）,73,LU 分解算法,算法 ：(LU 分解 ),for k = 1 to n,end,j = k, , n,i

22、 = k+1, , n,Matlab程序参见：ex51.m,运算量：(n3 - n)/3,为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U,74,例 求下列矩阵的LU分解,解:,设,LU 分解算法,75,LU 分解算法,76,LU 分解算法,77,( i = n , , 1 ),( i = 1, , n ),两次回代过程求出方程组的解：,运算量: n2,加LU分解,总运算量：,LU 分解求解线性方程组,78,对称正定矩阵的三角分解Cholesky 分解,定理：设 A 是对称矩阵，若 A 的所有顺序主子式都不为 0，则 A 可唯一分

23、解为其中 L 为单位下三角阵，D 为对角矩阵,A = LDLT,定理：（Cholesky分解）若 A 对称正定，则 A 可唯一分解为其中 L 为下三角实矩阵，且对角元素都大于 0,A = LLT,对称正定矩阵的Cholesky 分解,79,计算 Cholesky 分解,Cholesky 分解的计算,直接比较等式两边的元素,计算公式,80,Cholesky 分解算法,for j = 1 to nend,i = j +1, , n,算法 ：(Cholesky 分解 ),运算量:n3/6 +n2/2 +n /3,81,Cholesky 分解算法,例 对矩阵 作Cholesky分解,解,82,Chol

24、esky 分解算法,83,向量范数,常见的向量范数, 无穷范数（最大范数）, 2-范数, 1-范数,84,范数性质,范数的性质,(1) 连续性,设 f 是 Rn 上的任意一个范数，则 f 关于 x 的每个分量是连续的,(2) 等价性,设 | |s 和 | |t 是 Rn 上的任意两个范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 xRn 有,证明：板书,85,范数性质,(3) Cauchy-Schwarz 不等式,(4) 向量序列的收敛性,矩阵的谱：, (A) = A 的所有特征值 ,矩阵的谱半径：,86,矩阵范数,常见的矩阵范数,(1) F-范数 (Frobenious 范数),(2) 算

25、子范数 (从属范数、诱导范数),其中 | | 是 Rn 上的任意一个范数,87,算子范数,常见的算子范数, 无穷范数（行范数）, 2-范数（谱范数）, 1-范数（列范数）,证明： 板书， 为练习,例：设 计算,88,矩阵范数性质,矩阵范数的性质,(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的每个分量是连续的,(2) 等价性：设 | |s 和 | |t 是 Rnn 上的任意两个矩阵范数，则存在常数 c1 和 c2 ，使得对任意的 A Rnn 有,(3) 若 A 是对称矩阵，则,89,定理：设 | | 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数也记为 | | ，则有,

26、算子范数性质,算子范数的性质,定理：设 | | 是任一算子范数，则,定理：对任意 0, 总存在一算子范数 | | ，使得 | | (A) + ,90,稳定性理论分析,理论分析：,设,又,(1)由于右端项的扰动而引起的解的变化,(2)由于系数矩阵的扰动而引起的解的变化,设,Ax = b 的条件数矩阵A 的条件数,91,稳定性理论分析,定理：考虑线性方程组 Ax=b，设 b 是精确的，A 有微小的变化 A，此时的解为 x + x ，则,证明：,当 A 充分小时，不等式右端约为,设,结论,92,矩阵条件数,条件数与范数有关，常用的有无穷范数和2-范数,Cond(A)2 称为谱条件数，当 A 对称时有

27、,93,举例,例： 计算 Cond(A) 和 Cond(A)2,解：,Cond(A)=|A-1| |A| 4104,Cond(A)2=max / min 4104,A 对称，且,94,第六章线性方程组的迭代解法,计算方法,95,矩阵分裂迭代法,矩阵分裂迭代法基本思想,Ax = b,96,收敛性分析,定理：对任意初始向量 x(0)，上述迭代格式收敛的充要条件是,证明：板书,例：考虑迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f 的收敛性，其中,基本收敛定理,充分条件,97,Jacobi 迭代,考虑线性方程组,Ax = b,其中 A=(aij)nn 非奇异，且对角线元素全不为 0。,将 A 分裂成

28、A = D - L- U， 其中,98,Jacobi 迭代,k = 0, 1, 2, ,令 M = D，N = L + U，可得 雅可比 (Jacobi) 迭代方法,Jacobi 迭代,迭代矩阵记为：,99,Gauss-Seidel 迭代,在计算 时，如果用 代替 ，则可能会得到更好的收敛效果。,100,Gauss-Seidel 迭代,写成矩阵形式:,此迭代方法称为 高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法,k = 0, 1, 2, ,可得,迭代矩阵记为：,101,SOR 迭代,为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个 松弛因子，于是可得迭代格式,在 G-S 迭代中,102,SO

29、R 迭代,写成矩阵形式:,可得, SOR (Successive Over-Relaxation) 迭代方法,迭代矩阵记为：,SOR 的优点：通过选取合适的 ，可获得更快的收敛速度 SOR 的缺点：最优参数 的选取比较困难,103,Jacobi 迭代收敛的充要条件 (J)1 G-S 迭代收敛的充要条件 (G)1 SOR 迭代收敛的充要条件 (L)1,收敛性,收敛性定理,Jacobi 迭代收敛的充分条件 |J| 1 G-S 迭代收敛的充分条件 |G| 1 SOR 迭代收敛的充分条件 |L| 1,104,Jacobi、G-S 收敛性,定理：若 A 严格对角占优或不可约弱对角占优，则 A 非奇异,1

30、05,SOR 收敛性,定理：若 SOR 迭代收敛，则 0 2。,SOR 收敛的必要条件,106,举例,例：设 ，给出 Jacobi 和 G-S 收敛的充要条件,107,举例,解法二：,Jacobi 的迭代矩阵为,设 是 J 的特征值，则由 det(I - J) = 0 可得,( - a)2 ( +2a) = 0,Jacobi 收敛的充要条件是 (J)1 |1，即 -0.5a0.5,108,收敛速度,定义：迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 的平均收敛速度为,渐进收敛速度为,(B) 越小，收敛越快,109,第七章非线性方程(组)的数值解法,计算方法,110,不动点迭代,基本思想,构造

31、 f (x) = 0 的一个等价方程：,111,不动点迭代,具体过程,任取一个迭代初始值 x0 ，计算,得到一个迭代序列： x0，x1，x2，. . . ，xn，. . .,k = 0, 1, 2, . .,几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点,112,连续性分析,设 (x) 连续，若 收敛，即 ，则,收敛性分析,性质：若 ，则不动点迭代收敛，且 x* 是 f(x)=0 的解；否则迭代法发散。,113,解的存在唯一性,定理：设 (x) Ca,b 且满足,证明：板书,对任意的 xa,b 有 (x)a,b存在常数 0L1，使得任意的 x, ya,b 有,则(x) 在 a,b

32、 上存在唯一的不动点 x*,解的存在唯一性,114,收敛性分析,定理：设 (x) Ca,b 且满足,证明：板书,对任意的 xa,b 有 (x)a,b存在常数 0L1，使得任意的 x, ya,b 有,则对任意初始值 x0a,b，不动点迭代 xk+1=(xk) 收敛，且,不动点迭代的收敛性,115,收敛性分析,不动点迭代的收敛性,若 (x)C1a,b 且对任意 xa,b 有 |(x)|L1则上述定理中的结论成立。,收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关,116,举例,例：求 f(x) = x3 x 1=0 在区间 1, 2 中的根,ex71.m,117,局部收敛,定义：设 x* 是 (x) 的不

33、动点，若存在 x* 的某个 -邻域 U(x*) =x*- , x* + ，对任意 x0U(x*)，不动点迭代 xk+1 = (xk) 产生的点列都收敛到 x*，则称该迭代局部收敛。,局部收敛,118,收敛速度,定义：设迭代 xk+1 = (xk) 收敛到 (x) 的不动点 x*，记 ek = xk x*，若,其中常数 C0，则称该迭代为 p 阶收敛。,当 r =1 时称为线性收敛，此时 C 1 时称为超线性收敛,二分法是线性收敛的 若 (x*) 0，则不动点迭代 xk+1 = (xk) 线性收敛,119,收敛速度,定理：设 x* 是 (x) 的不动点，若 (p)(x) 在 x* 的某邻域内连续

34、，且,则迭代 xk+1 = (xk) 是 p 阶收敛的。,证明：板书,120,举例,例：求 f(x) = x2 - 3=0 的正根,(1),ex72.m,(2),(3),二次收敛,局部收敛,121,Newton 法,基本思想,将非线性方程线性化,设 xk 是 f (x)=0 的近似根，将 f(x) 在 xk 处 Taylor 展开,条件： f(x) 0,122,Newton 法,x,y,x*,xk,xk+1,123,Newton 法,算法 ：( Newton 法 ),(1) 任取迭代初始值 x0,(2) 对 k = 1, 2, . , maxit，计算,判断收敛性，若收敛，则停止计算，输出近似

35、解,124,收敛性,k = 0, 1, 2, . . .,迭代函数,125,举例,例：用 Newton 法求 f(x) = x2 C=0 的正根, 并验证这一方法的二阶收敛性,解：,对任意 x00，总有 |q|1，即牛顿法收敛,126,举例,二阶收敛,关于二次收敛性，事实上,第 八 章,矩阵特征值计算,127,128,特征值估计与扰动,定义1 设 n 阶矩阵 A=(aij)，令,(1) ；,(2) 集合 称为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n个格什戈林(Gerschgorin)圆盘.,129,定理5 (Gerschgorin圆盘定理),特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘

36、分离(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.,(1) 设n阶矩阵A(aij)，则A的每一个特征值必属于下面某个圆盘之中,(2) 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个特征值.,或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中.,130,例1 估计矩阵A的特征值范围，其中,解 矩阵A的3个圆盘为,由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一个特征值1(为实特征值)，即,A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.,131,现在取对角阵,做相似变换,矩阵A1的3个圆盘为,132,第 九 章,常微分方程初值问题数值解法,133,初值问题,Euler法,局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度,隐式,后退的Euler法,显式,局部截断误差：,1阶精度,134,梯形方法,隐式单步法，用迭代法求解.,迭代公式,135,梯形法的局部误差估计,梯形方法是2阶的，其局部误差主项为,136,改进的欧拉公式,校正一次,迭代一次得 ，这个结果称 校正值.,137,预测-校正系统：,预测,校正,平均化形式,138,例2 用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）.,（2.2）,解,改进的欧拉公式为,仍取 ，计算结果见表9-2.,改进欧拉法明显改善了精度.,