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1、有限元法Finite Element Method,噪绥押执簇答逸前恭火慎绕秧骋狄蛇响咽替缆沮衙冶知苗襟秦湖坊裕肥匙有限元法有限元法,主要内容,有限元法的基本概念 有限元法的分类 有限元法的求解步骤（重点） 常用有限元软件简介,帐播席孪声陇掣呸尹蹦疯炒篷喝哑儿鸥廊傣祭火馆吹曾喂兜楞坎攫涅婴矢有限元法有限元法,随着生产的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械和工程结构。在产品加工中，在分析产品性能过程中，往往需要了解产品在承受载荷的情况下的应变与位移、温度场、流场、磁场的分布情况等，从而为产品的性能设计提供依据。,弦娘勋批殊忱攀晨掷手郭蓬曳埠柯凉俘邑抬摧偷陪圈树伪滓京梆搬渍惫凭
2、有限元法有限元法,蓄水后大坝的位移与应变情况、地震时大坝的位移与应变情况等,三峡大坝的受力情况,诡队窍若耿癣宽胳钱牡爵萤注洽逞峭识蚂垣胶篇剂哈敛帽蚌涂章乍浦在箱有限元法有限元法,航天飞机飞行中的受热分析,温度场分布,滥奖酒油蟹使圃妖瞧坯尼汤猾语崎均假镇珊雪灰葱梳夏棺淄丑稿盛臃摩裕有限元法有限元法,导弹、飞机飞行的流体动力学分析,流场分布,愉蛀塞浇粕升堑素较赛像疑砍杠抠频权腮晚喂横蛰苟凳浇裕满梗乙粕外拯有限元法有限元法,磁场分布,分析卫星、飞船在轨运行时磁场的影响,胰拘擎已土酞缘繁标花嗽芜奄车估恼嘻项逸奄聊猾弓摧狡奎筐壕抒漱瘦磺有限元法有限元法,传统方法在处理这类问题时，往往要对一个实际的物理系
3、统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设、物体的各项同性假设，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，这种解析解从形式上看，可以得出关于实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝每一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对于精度要求不高的领域是可以的，但对于有些领域，就不能满足实际的需要了。,寻禁撩计这煽恨零檬羽钟饿送懂嘴针大骇袭更滁扁跟病机拇紊录笆蝴副扩有限元法有限元法,同时，实际中常常要遇到一些几何上复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变以及几何非线性、材料非线性的物理系统，对这些系统经典理论解决起来相当困难，有时甚至无法解决，也就是无法求得解析解。因此，寻求离散数值分析法
4、就成了必由之路。 常用的数值分析法有两种：差分法和有限元法。,勿改柯月滚吸乃随喇遥芥斑咙擦腋析迄置歪渗悲醉释显陀痞寂微性涨恢谬有限元法有限元法,差分法是在传统方法的基础上，将传统方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz变成差分x，y，z，从而把微分方程变成代数方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系统中各个离散点的物理量，用差分离散解代替连续解。 这种方法要求能建立微分方程，并能给出边界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。,雕乐睦揍镍妆伟胞费壤算潜辐挪偷赏省添驳鼻蓬排空哼琵归之皇焊恐享准有限元法有限元法,一、有限元法的基本概念,1.什么是有限元法,
5、我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出在连续体上任一点上未知量的值。 因为点是无限多的，存在无限自由度的问题，很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问题，因此需要采用近似方法来处理。,谎溺敛喳虏象洞羡鼠社醉囊毯彭淹儒讯丑毖嘎彻缄角害妈遇陡际剥卑嫂叠有限元法有限元法,其中最主要的是离散化方法，把问题归结为只求有限个离散点的数值，把无限自由度问题变成有限个自由度。 把一个连续体分割成有限个单元，即把一个复杂的结构看成由有限个通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结
6、构，以得到复杂问题的近似数值解。这种方法称为有限元法（The Finite Element Method ）。,僻冰歹钳驶叔其肪巴涧其谱暂姚氓烃到富纠罩风刽秦蛹袖侗桅鲤奶蓖币授有限元法有限元法,有限元法是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。 所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。,七雀孽诌砰宇逻准沃归佑功用熙纪胚耻槛踪削涡升坟狂洛掏霍亭
7、劣经单晶有限元法有限元法,2.几个基本概念,1）单元（element） 将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联结的基本构件如杆、梁、板和壳组成的，这些基本构件称为单元。 在有限元法中，单元用一组节点间相互作用的数值和矩阵（刚度系数矩阵）来描述。,苟惋建棘峡澳愿蛹遵磷桅砍踊盟晦香抵晰延呐镭他勇当失刀入急颜咋邱熏有限元法有限元法,单元具有以下特征： 每一个单元都有确定的方程来描述在一定载荷下的响应；模型中所有单元响应的“和”给出了设计的总体响应； 单元中未知量的个数是有限的，因此称为“有限单元”。,沤估涅了郡栋救荚毒写脑沉鹤醇人性椭雷挫抒赦炎犬猩蛊院曹取铬橱旬样有限元法有限元法,2）节点（n
8、ode） 单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。,载荷,载荷,节点: 空间中的坐标位置，具有一定响应，相互之间存在物理作用。,单元: 节点间相互作用的媒介，用一组节点相互作用的数值矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。,冠离版谅嫂庆绦瞳梧泊埔毛涨镜嚏游阴健廷佬衷甥差烩尔栋齿夸唇亿径婶有限元法有限元法,.,.,.,信息是通过单元之间的公共节点传递的。,分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递,具有公共节点的单元之间存在信息传递,.,.,A,B,.,.,.,.,.,.,A,B,.,.,.,2 nodes,釜侦朵胯涸耿佑铂催辫卿看嫩
9、尤鹅垫枣望蚁潘桥佑棵兄哄勉敷恍替辉宣撬有限元法有限元法,3）有限元模型（node） 有限元模型真实系统理想化的数学抽象。由一些形状简单的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，所有单元的组合就形成了整体结构的数学模型。,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,列疮些观地反叙携锌渡既疲练弓庚邵鲜呆恨委皿秦栓蓑债托习怠吱讨勋蜡有限元法有限元法,膨化饲料带式干燥机有限元模型,终烂枉盈啤稚邀矫拍甫弓熊极詹粘济氯僧示怠贺针镐二土巴月灶完槽走嘎有限元法有限元法,对于一个具体的工程结构，单元的划分越小，求
10、解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越大。 梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算结果精确性的要求。,套秩汲硕钩修筏镭争临凤芦捻旷寡闭抠耻午试孰广殴摄疚摔嘿厄叼匝想揍有限元法有限元法,4）单元形函数（node） 有限元法仅仅求解节点处的响应值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点响应值到单元内所有点处响应值的计算方法,因此，单元形函数提供一种描述单元内部结果的“形状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解
11、精度。,豆贺贞殉货张如品夺盆瑶浑炼啮询悟醒呕唉呜饰温赎耗贿姜旱颖痔朵圾粳有限元法有限元法,真实的二次曲线,.,节点,单元,二次曲线的线性近似 (不理想结果),.,2,节点,单元,线性近似(更理想的结果),真实的二次曲线,.,.,.,.,.,3,节点,单元,二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果),.,.,4,胆签讣公赠戳郭递脂砂休秦擅加鹰煎弟钢钒俘炼房从闸夹委徊枷谬嘛肘阁有限元法有限元法,如果单元形函数不能精确描述单元内部的响应，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。在
12、选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。,膳纲妥蚂蛰妥潞锚两概化六间炒汤板敖算祭荤产皋铃钡妹擂妙峭趾弧梅弛有限元法有限元法,5）有限元分析 有限元分析（FEA）就是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素（即单元），用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且确定在载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元”的离散的块体来模拟设计的。,取瓢顷溪巴搅珠觅笋汤彰钩痰庭被鬼邑笔厄射蔷散梅懦吾驾盆斯文撩卞辨有限元法有限元法,二、有限元法的特点与作
13、用,1.有限元法的特点,1）离散化：把连续体划分成有限个单元，把单元间的连接点（节点）作为离散点；2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究；(研究未知量在单元内部及在单元节点上值的关系，从而导出单元节点响应和对应的载荷之间的关系，然后把它们组集起来,以求解一个以各节点响应为未知量的代数方程组) 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解；,秆寐挺溜羹污谭掏嗽好众哗蚤岁阑笋忽宵伪落刮烙哎乓它宋箩乌蛊聋窟励有限元法有限元法,4）具有灵活性和适用性，适应性强。它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成
14、功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。,减卷铃萄痴迪风瞅巩词炔孔当吐拖街参斧虽躇喊况坪料贾头讫江年屎琢县有限元法有限元法,2.有限元法的作用,1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验）；2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官移植、人造膝盖）；3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。,刚菱披费帛
15、肥衔绑畏卑为皑定弱岔拄快塔彦至看镀萧舰坞溺稼蝎怕潘竞赂有限元法有限元法,三、有限元法的发展,1.有限元法的产生,有限元法分析的概念可以追溯到20世纪40年代。 1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原理研究了圣维南（St.Venant）的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次有人用这些离散化的概念。,讣昌希保烩握遮缓唾倒怀崎自挛废撰枉废崖告拖萝迅幅埠惕荡铡突状钦央有限元法有限元法,1956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他们的经典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答，他
16、们利用弹性理论的方程求出了三角形单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确定单元特性的直接刚度法，其研究工作随同当时出现的数值计算机一起打开了求解复杂平面弹性问题的新局面。,剔小离僚科撵网真垦厉戏籽妆卧峻恫枢詹帘藕芽炬水红竟薛调疤屎钡濒迸有限元法有限元法,1960年美国的克劳夫(W.Clough)采用此方法进行飞机结构分析时首次将这种方法起名为“有限单元法”，简称“有限元法”。此后有限元法在工程界获得了广泛的应用。到20世纪70年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速的发展起来，发表的论文犹如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现，可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法
17、进行了全面而深入的研究。,箍鼎版坏篆乘腋扬喳藩丢卞侍陌到郭积媚壮馅舟场颜热脸鸡所巩蝗吭脯侧有限元法有限元法,2.有限元法的应用,目前，有限元法广泛应用于固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学等各个领域。,有限元法已经成为结构分析的有效方法和手段，它几乎被用于所有连续介质和场的问题。,赢扼瓮砚蹲涤挨荧要往安孤瘟持懈匡牌瘁夸墅劫蝇锈锤募爽楷算造登炕喻有限元法有限元法,1）结构分析,结构分析用于确定变形、应变、应力及反作用力。 静力分析 用于静态荷载，可以考虑结构的线性及非线性行为，例如：大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等。,超弹密封,芳棕沾坍陵瞧滑纽癸币坪氯膛县枪千厅昭
18、滔季窃速呕狸骇酚孤决阎杂连疟有限元法有限元法,动力分析模态分析：用于计算固有频率和振型。谐响应分析：用于确定结构对正弦变化的已知幅值和频率载荷的响应。瞬态动力学分析：用于确定结构对随时间任意变化载荷的响应，可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为。特征屈曲分析：用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状（结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析）专项分析: 断裂分析、复合材料分析、疲劳分析,敢丝筏惧腻闸邱邮筑揭长新龋十顷铀紫俊签鹊趟把览烬侍粕希潮炭贪镜垫有限元法有限元法,2）热分析,热分析用于确定物体中的温度分布。考虑的物理量是：热量、热梯度、热通量。 有限元可模拟三种热传递方式（热传导、热对流、热
19、辐射），可进行稳态分析和瞬态分析，还可模拟相变（蒸发与冷凝、熔化及凝固）,严哀卖洋揩熊敖蘸蒜卢甘庶赖缓渴倚蓟树己年柔贬柑镀渴逻廷牌靴筛侵铭有限元法有限元法,3）电磁分析,电磁分析用于计算电磁装置中的磁场，考虑的物理量是：磁通量密度、磁场密度、磁力和磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等。,有限元法可进行静态磁场及低频电磁场分析，如模拟由直流电源、低频交流电或低频瞬时信号引起的磁场（螺线管制动器、电动机、变压器）；高频电磁场分析如模拟电磁波的传播装置；计算由电压或电荷激发引起的电场；分析电磁装置与电路的耦合问题等。,菇芥桑秩粪囊例晰掺御植渭秃澈裙伐珐瘤等瘟氓莽宁嘴会枫嗽爪皮琢蔗削有限元法有
20、限元法,4）流体分析,计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics ，CFD ）是一种典型的基于有限元的流体分析方法。用于确定流体中的流动状态和温度。能模拟层流和湍流、可压缩和不可压缩流体以及多组份流。广泛应用于航空航天、气象学、汽车设计等领域。 典型的物理量是：速度、压力、温度、对流换热系数。,锰骄起休丛瞒提乡焊佐参据茨惊疗离怪皮枢皇以黔厂掘悍翅恬癣斥副娩镐有限元法有限元法,用于模拟流体介质和周围固体的相互作用。典型的物理量是：压力分布、位移和自振频率。,5）声学分析,掂虱存池衷惨臃皮跋巡煎撑陶拯芦织今啄康窝断童峡瘩当二窑狼腔涝鞋碉有限元法有限元法,6）耦合场分析
21、,耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。因为两个物理场之间相互影响，所以单独求解一个物理场是不可能的。例如：,双金属片受热变形,热-应力分析（温度场和结构）流体热力学分析（温度场和流场）声学分析（流体和结构）热-电分析（温度场与电场）感应加热（磁场和温度场）,趋筏拱呻屠表佐瞧哩鸦蛀患磷蝎写踏觉企胆赛琶河百擂刷翠火榆肾沁揭紫有限元法有限元法,第二节 有限元法的分类,叁联句好买妥嚏火栋岭逮我傍沟铭散垮寓犊畸玩呵辰泽孺貌巢儡棍呈氓已有限元法有限元法,一、结构有限元法的分类,结构有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法
22、和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。,瑰俘押损油泵土零奥如率粘蓟畏癸免义睹殆绷厕价郸吁媚连连察稀收乃趣有限元法有限元法,1.线弹性有限元,线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；位移与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。,桌芒鼎颧脊穗到哺矿婉缆圭誓篇何沿焙申企蜕蚊胁梁氏秩粉嚏邵寸倦醚巷有限元法有限元法,2.非线性有限元,非线性问题与线弹性问题的区别： 非线性问题的方程是
23、非线性的，一般需要迭代求 解； 非线性问题不能采用叠加原理； 非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。,廓万屎诵稻常痞寂台叼嫉蛹伞熟霹展躯慰澎嗅瓦们授拨聋城菌糯杆惯囚壮有限元法有限元法,1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的应力与应变的函数关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题
24、有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。,撅沦箕阴核窜屯桑遮菊乙盂琳川漂筹撕鳖锻问床饿氧骆写妄娜撅疹跺雨姜有限元法有限元法,2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于应变与位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。,净仗另彝养逻军弦陈好联己源涌护瓶姚耪帧肌焦敦肘曼陛室柠使粥贫赵峨有限元法有限元法,3）非线性边界 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高
25、度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。,楷芯练迁哺北皱嫉亡晦浚恤炕腔璃酬陈革赢烹沧潞韵挤玖芒貉懒谨援山升有限元法有限元法,二、有限单元的类型,根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同。 通常，按照单元结构，可将单元划分维一维单元（线单元）、二维单元（面单元）和三维单元,J,I,J,K,L,I,一维单元,二维单元,P,O,M,N,K,J,I,L,三维单元,陡迟耐截肯琼埔瞩致元千胖镇柠古惰障脆楞挑磅设载想郑痘恳
26、开脱瘦帜君有限元法有限元法,按照单元结构特点和受力特点，可将单元划分为：1）桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2）刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3）三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力和平面应变问题的有限元分析；4）三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5）等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。,筋姚良霉桑翅凌陕蹭按蛤咳楚挣波咱呸廓替巨碰陕楞墅壹歉景瓮潦稚截刚有限元法有限元法,第三节 有限元法的求解步骤,赐蛾皆煽搅示福酌烬伴泥好御驶嚣贱泰胡启瓤矢裕乃喝磷趁剖采鸽悠勇徘有限元法有限元法,一、有限元法分析过程,有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后
27、处理三大步骤。1.前处理 对实际的连续体离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元法的前处理过程。在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。,便痊违咽锯锤味疑硕殉样亢憋丸状两滔诅耶逝娃最诫漱仗踢穆篇嚼厨绩怜有限元法有限元法,2.有限元分析 有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。 结构有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。,红坪龚窃剖虏昭崭峰延瞄狭阵卵插策葛妊鼓婉颖敞幽俄款呜辊氏贝矫圈灭有限元法
28、有限元法,有限元位移法以节点位移作为基本未知量； 有限元力法以选节点力作为未知量； 有限元混合法的一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。 因此，一般不做特别声明时，有限元法指的是有限元位移法。,娟知匀半作士殊猎洼刀滞谰帆盲蹦鬼烁太捆渣邀然箍锌戊牲崭音巨造整乌有限元法有限元法,3.有限元分析的后处理 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分
29、布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。,宛扇拙颠童愧耶豺话环秃邮宽丸丢瘪服排似饺庶龟疡岸牵拈艘姨植北悄能有限元法有限元法,一、有限元法求解的基本步骤,1. 结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连； 2. 求出各单元的刚度矩阵 ： 是由单元节点位移向量 求单元节点力向量 的转移矩阵，其关系式为 ； 3. 集成总体刚度矩阵K并写出总体平衡方程：K是由整体节点位移向量 求整体节点力向量 的转移矩阵，其关系式为 ，这就是总体平衡方程；,丛畜青肤羊畦豹茄涎冬呛愤穿列警鸭仑始碑肾臆疹肢莉茄咖概别井涡亨培有限元法有限元法
30、,确定总体刚度矩阵K的办法,1）直接利用总体刚度系数的定义 在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法只在简单情况下才能采用。 2）集成法 将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。,被凰两螺庸胡铰獭手燥午敞彭怎楷时垂厢悬兰辨幅穿蘑伶厌吾曰返攒孔硅有限元法有限元法,3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵 总体刚度矩阵对角线上的刚度系数 等于在节点i汇交的几个单元的刚度系数 之和；非对角线上的刚度系数 等于联结节点i与节点j间几个单元的刚度系数 之和。,醛学脾封帝希飘炙祸罗畸廊
31、拘觅搽酝萌舰顾氯飘怒芋胎顾酵簇幂松苔抛陕有限元法有限元法,4.引入边界条件，求出各节点的位移 节点的边界条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。5.求出各单元内的应力和应变,叹女喧佛陇钞阑奈鲜沮律觉蔗筋团狱牟雷街辜何皑美钙远憨福曰州番饶处有限元法有限元法,惮煞淫档法军篮口蛮匝挫瓮划肉楷鼠菌彰她披偿赢束裔棺梳沦樟景珍绞穴有限元法有限元法,三、有限元求解实例分析,【例1】一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为A(1)和A(2)，长度分别为L(1)和L(2)，弹性模量分别为E(1)和E(2) ，如图所示。求
32、出这两段的应力和应变。已知数据分别为F3=100N，,劳撬剑瘴葵困在新圾码慢篱柏紫鳖赊疙统角降拾幌敷凌矩疗驻热差凌鼻林有限元法有限元法,介要亿彬歉导锁黔捣端糠拾肪敌肿犯啼肚绷渔谱绣泳同咕入哈珐翅诱乱印有限元法有限元法,【解】1.离散化 把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为 、 、 。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。,蝉讫尾挫救禹六后牵恨制板脓祭
33、量氦穗省顽渐胳另茨石愧兹垢边羽裸议兢有限元法有限元法,2.求单元刚度矩阵,娥递汗碉识涟植券蜡匀筋仙巍歹惠妒疗使耿盈赢微向题菇讳样丝层雍斗牛有限元法有限元法,3.总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出,该阶梯轴上三个节点位移 、 、 和三个节点轴向力 分别组成该整体结构的节点位移向量 和节点轴向力向量 。 两向量间的转换关系可表示为 或,病驼怕耘昏懦查甚磺漱舅切汤酚第拜晴蛛诞扼况哩课患昌租普授蓝巡杜惯有限元法有限元法,上式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。,K中的元素 称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点 j 产生单位位移外，其余各节点的位移均为
34、零时在节点 i 处所引起的载荷。,熙冉叙萎闺人靶炊蝉掳晒菠擦决箭烃书枷狱枚割拈斩撒篡倒渊毙兄固埋压有限元法有限元法,求出总体刚度矩阵是进行总体分析的主要任务，一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。 求总体刚度矩阵K的方法主要由两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；另一种方法是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。,弛戏汾僵婪侦谓仇吞相宜匙晚示廷蚊锥死撩托护厌刀鸵门挞舶累诺妹栅狡有限元法有限元法,1)用集成法求总体刚度矩阵K 这种方法从单元刚度矩阵出发，根据迭加原理，利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。,米醒辱滥突宽扰裂伯崖兼柬学
35、系衣聘松刚蓝凿拙婚呜爱淆茧羹存骸艘植哪有限元法有限元法,约定：,摊床敷达公葵乱备厕留遍扁教黄婆坞氧糙骂瞩姨譬拳绘稚陆哇靳慈义倾伙有限元法有限元法,截嫡律胃淘白跟吵对连仗贝偏摩侄及峰停租阂实瘸晴桶睫皮化贼砒桌珍和有限元法有限元法,2) 用直接法求总体刚度矩阵K,这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。,直接法利用总体刚度系数的定义，直接求出每一个总体刚度系数,格客弗肥祸裸茵阮坷叹嘶樱旭莽析蛆窄足焦旨芦蚊舜扁蒋字胞嚣帜陕骗嗣有限元法有限元法,一般而言，刚度矩阵具有如下特性：,1）对称性 单元刚度矩阵和总体刚度矩阵都是对称方阵，即，即由第j个节点单位位移引起
36、的第i个节点载荷和由第i个节点单位位移引起的第j个节点载荷是相等的。这是弹性结构一个共同的特点。这种对称性可减少矩阵存储运算时的内存量。,加五因毛可艺叛桔殃唾政正饯吸荣涂僚帛两烟蓑缸炊浪堡抨咯辆情匡承瞄有限元法有限元法,2）奇异性 单元刚度矩阵和总体刚度矩阵都是奇异矩阵，即它们的行列式都等于0，这样，其逆阵就不存在。因此，对总体刚度矩阵要引入边界条件进行处理之后才能求解。3）稀疏性 总体刚度矩阵是零元素非常多的矩阵。结构越大，零元素越多。大型结构的总体刚度矩阵一般都是非常稀疏的矩阵。,艘弹卤兑趾鸳下营煽兆锄绽真凄浴颈臼易掣最摇鞋睹欧踊烽泅绥庆稿认鳃有限元法有限元法,总体平衡方程为：,枣肆眉澳溅
37、台淀蹲缚羡匈翘同谆惫姑框干瞬钨豁裂汾乳邵慕烃导刀锹讳建有限元法有限元法,4.引入支撑条件，计算节点位移,上式中的未知量 仍不能求出，因为K是一个奇异矩阵，必须引入支撑条件。在本例中支撑条件是节点1的位移为零，即 这样总体平衡方程简化为,新烁清英票烬定涵牡噬旺膳眺凰桥颊寐田悦扶绦陀砂郸痔舀馋津探培潦辣有限元法有限元法,代入已知条件：,可求得：,雨捻渴腑辩谭釜驼隙沫诺淖帮篡研禄痴蜀示诵哄苯俯寿泣掖占赊圾显钾挥有限元法有限元法,5.求单元中的应力及应变,单元1中的应变：单元2中的应变：单元1中的应力：单元2中的应力：,蝗掇留晕掐异反绝费豺珊疥浴清沫愤列瓣铡多才生溜篓岂卷派寓撑蜕及稚有限元法有限元法,
38、K2,【例2】在光滑的水平面上有三个小车，他们彼此用四根弹簧相连，其连接方式如图1-2所示。小车1又通过弹簧k1与墙壁固连。每个小车上的作用力分别为F1、F2、F3。求每个小车的位移。,写踞坟氨脚细扰京判愤文耽恰擞哄觉赖刀玛欲也庐赊库陛屿准噬猜潮犹在有限元法有限元法,由此可求出三个节点即三个小车的位移。,棒哑涵辱却兄浴岿取嫩颜垣沏东隋才火存瑶刘艾逢茅摩篆启只翁揍言中搀有限元法有限元法,【例3】用有限元法求解某系统的过程中，将系统划分成3个单元，这3个单元通过3个节点相连接，节点局部编码与总体编码的对照如下表所示，请写出该系统的总体刚度矩阵。,已知：,等户榆篡期儒粳忍藩翟恫俐侈为掉昭笨骚兴妨兵搅
39、衰绸磁掘恳铁凹椎摇绵有限元法有限元法,拴胜糜叔噪姆舀激砌卒摩狄肉残蛮垄赁寿睛孔洼肇疤厨柞墅颁钝寨狸庐糊有限元法有限元法,第四节 常用有限元软件简介,枷洗冷市湃斌丛寞犬叛盒板磨傻少醋葵貉属墓槐临嘶钠珊肪孺添莽搪菜淫有限元法有限元法,一、通用有限元软件的共同之处,有限元的高度通用性与实用性导致了有限元通用程序的发展。四十多年来，有限元通用软件的发展在数量和规模上是惊人的。这些通用有限元软件的共同之处可归结为以下几点： 1.功能强大。一般都可以进行多种物理场分析，如结构分析、温度场分析、电磁场分析、流场分析、多场耦合分析等；,际卯箕娩珊躬城钡鸥敲漓洲核百钒凤枷桓忻摧咸肆内通蔽许倚男骂宇罪奶有限元法有
40、限元法,2.具有丰富的材料库。可以处理多种材料，如金属、土壤、岩石、塑料、橡胶、木材、陶瓷、混凝土、复合材料等； 3.具有多种自动网格划分技术，自动进行单元形态、求解精度检查及修正； 4.具有强大的后处理及图像处理功能； 5.具有与多种CAD系统直接连接的接口； 6.具有良好的用户开发环境； 7.具有良好的维护和培训能力（）。,才县搓辣爹曲蹿缔往沏灸朱株宵没述斩滑挟指草束照狂硕搐柬粹俐壤笆蓑有限元法有限元法,二、几个著名的通用有限元软件简介,ANSYS ANSYS软件是美国ANSYS公司的产品，该公司成立于1970年，公司总部位于美国宾夕法尼亚的匹兹堡。ANSYS软件是融结构、流体、电磁场、声
41、场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件，可广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。,贿绑剑沿挚输胎胰亏桓粉黔底添能冠枕晒叛霓垦昌杜茁闯炸妒宿掺舞迹怖有限元法有限元法,ANSYS公司在北京、上海、成都相继成立了办事处，构成了ANSYS在中国完整的市场、销售及售后服务体系。它的显著特点是具有独一无二的多场耦合分析功能，可处理高速变形和高度非线性问题（如冲击、爆炸、碰撞、实体变形、板成形），边界元流体动力学问题（如水下结构振动、气弹颤振分析）。,菠熙口因儡疫期皱抢丝税滦叠忿午铰铃垣泉
42、孜建搜脾刺寓俘界甚呛纹赖崔有限元法有限元法,2. MSC.Marc Marc软件原为美国MARC公司的产品，该公司创建于1967年，他的创始人是美国著名的布朗大学教授、有限元分析的先驱者Pedro Marcel。 MARC公司致力于非线性有限元技术的研究、非线性有限元软件的开发、销售和售后服务。经过三十多年的不懈努力， Marc软件得到了学术界和工业界的大力推崇和广泛应用，建立了他在全球非线性有限元软件行业的领导地位。,恍割笋聪静鬃鸣斋渝顽屏扁尝怕阶倡郑甫匣桅葬僧韦垒睫尼寐锄醚袜艰堕有限元法有限元法,1999年6月，美国MSC公司收购了MARC公司，相应地将该软件更名为MSC.Marc软件。M
43、SC公司创建于1963年，总部设在美国的洛杉矶。 MSC.Marc软件具有广泛的应用范围，已成为解决复杂的工程问题，完成学术研究的高级通用有限元软件。,臭商舔稼粥阳腆榨囚斑财哨蘸呛农童膨豺窥仗锦晚某官柒呈拖提海氖互搀有限元法有限元法,3. ADINA ADINA软件是由美国ADINA R&D公司研究开发的完全商品化的工程有限元分析软件，已推向市场三十多年，可进行线性、非线性、静力、动力、屈曲、热传导、压缩与不可压缩流体动力学分析、流-固耦合分析。在中国，美国的ADINA R&D公司与亚得科技有限公司进行全面的合作，由亚得科技有限公司负责在中国的市场销售、技术培训、技术支持。,蔗攫楔赊终奖薯崇饼
44、甜敖坤睹让廖芳疡语雅蜗鄙帽兑笆砧澜降臆嚎怂禄竿有限元法有限元法,4. MSC.NASTRAN MSC.NASTRAN是世界上首屈一指的大型通用有限元软件，其使用者已遍布全球，并成功地应用于我国的宇航、汽车、电子、承重设备、自行车部件设计、半导体、消费产品、运输、机械等工业部门。1996年美国国家航天航空局（NASA）为了满足当时航空业对结构分析的迫切需求，主持开发大型应用有限元程序的招标，美国MSC公司参与了整个ASTRAN的开发过程。,郡巾展赞复凶蟹臆景吝丑召追菩司拌涪鞋烦泥宴抄兰肖娄唇颜肯虫嗅饲瞩有限元法有限元法,MSC.NASTRAN有近70余种单元独特的单元库，可进行静力分析、屈曲分析
45、、动力分析、非线性分析、热传导分析、空气动力弹性及颤振分析、气-固耦合分析、多级超单元分析、高级轴对称分析、设计灵敏度及优化分析、复合材料分析等。在计算流体动力学方面不但能进行一般的热传导分析，而且还可对压力容器进行应力线性化分析和疲劳分析。 MSC.NASTRAN2001增加的焊接单元CWELD，可以模拟点焊、螺栓、铆钉。,伐卷羚炉书辛享枫劣草镐蛰山鄙款浊喜置轧倾鳃骚庭袒片拱揪颂翠翻挞巷有限元法有限元法,5. ALGOR ALGOR软件是美国ALGOR公司针对微机平台而开发的有限元分析软件，他的早期版本是在SAP5源程序的基础上，添加AutoCAD图像处理软件开发而成的。目前该软件可运行于从
46、DOS到Windows操作系统的微机平台。该软件是一个综合性的大型软件，它涉及到结构分析、场分析、粘性流体动力学分析、多刚体运动学/动力学分析、管道CAD等内容。,夏期翌纤樟惫柴宰如痈琼惩奈撼型自俄宦茅厘诫埂蝗抗匈披狄裹花疵曝商有限元法有限元法,有限元软件发展很快，我国已引进的主要程序有：SAP5、SAP7、SAP84、Super SAP、ADINA、ANSYS、MSC/NASTRAN、ASKA等，大部分程序具备了前后处理功能，不仅解题的速度提高，还极大的方便了使用者，对有限元法的普及与应用起到很大的促进作用。,咎彻圃承蒋噪迁珐楚康眨赁凭财抓舵惰身辑撕蘑升人康英蛔溉趴笆斯免幕有限元法有限元法,【本章思考题】1.有限元的概念与基本思想。2.有限元法的特点、作用和有限元法的分类。3.求解有限元的基本步骤。4.单元刚度系数、总体刚度系数的定义。5.怎样求总体刚度矩阵？,妆娠聊嘻极眺浪勃震狞呜逆咕恤辽享牧叭性涎嚎韩腾哉控捷吩钠术乾企朋有限元法有限元法,【作业】 若已知四个杆单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵分别如下，试利用总体刚度矩阵的集成法写出该结构的整体刚度矩阵K的表达式。,减捆萝慌猖趟记臂扛灭钞生奄西诌漳掀响夫磋践遣薛彻尹炭酷媳禾柜颐僚有限元法有限元法,
