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1、1,第2章 有限差分法基础,2-1 差分原理及逼近误差2-2 差分方程，截断误差和相容性2-3 收敛性与稳定性2-4 Lax等价定理2-5 利用有限差分法求解应用问题的一般步骤2-6 应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项,Finite difference method (FDM),2,第2章 有限差分法基础,有限差分法: 将连续求解域划分成差分网格（最简单的差分网格是矩形网格），用有限个节点代替原连续求解域，用差商代替控制微分方程中的导数，并在此基础上建立含有限个未知数的节点差分方程组；代入初始条件和边界条件后求解差分方程组；该差分方程组的解就是元微分方程定解问题的数值近似解。,3,第2章
2、 有限差分法基础,有限差分法: 优点：是一种直接将微分问题转变成代数问题的近似数值解法，其最大特点是网格划分规整，无需构建形函数，不存在单元分析和整体分析，数学建模简便，但不太适合处理具有复杂边界条件的工程问题。,不足：在处理求解对象的集合边界上缺乏灵活性，即边界节点（网格交点）没有全部坐落在边界线（面）上。 适合用于传热、流动等工程问题的求解。,4,第2章 有限差分法基础,有限差分法:直观，理论成熟，精度可选。但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。 有限元方法:适合处理复杂区域，精度可选。缺憾在
3、于内存和计算量巨大。并行不如FDM直观。不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。,5,2-1差分原理及逼近误差,1差分原理 设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为,是函数对自变量的导数，又称微商；,、,分别称为函数及自变量的差分，,为函数对自变量的差商。,（2-1）,Finite difference method (FDM),6,向前差分,（2-2）,向后差分,（2-3）,中心差分,（2-4）,0,2-1差分原理及逼近误差,Finite difference method (FDM),7,上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所得到的
4、称为二阶差分，记为 。,以向前差分为例，有,2-1差分原理及逼近误差,（2-5）,Finite difference method (FDM),8,依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如n 阶前差分为,2-1差分原理及逼近误差,（2-6）,Finite difference method (FDM),9,函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。 一阶向前差商为,一阶向后差商为,2-1差分原理及逼近误差,（2-8）,（2-7）,Finite difference method (FDM),10,一阶中心差商为,或,2-1差分原理及逼近误差,（2-9）,（2-
5、10）,Finite difference method (FDM),11,二阶差商多取中心式，即,当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。,2-1差分原理及逼近误差,（2-11）,Finite difference method (FDM),12,以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,)的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为,2-1差分原理及逼近误差,（2-13）,（2-12）,Finite difference method (FDM),13,由导数（微商）和差商的定义知道，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差商与
6、导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量）的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。,现将函数,在x的,邻域作Taylor展开：,2逼近误差,2-1差分原理及逼近误差,（2-14）,Finite difference method (FDM),14,一阶向后差商也具有一阶精度。,2-1差分原理及逼近误差,（2-15）,（2-16）,Finite difference method (FDM),15,将,与,的Taylor展开式相减可得,可见一阶中心差商具有二阶精度。,（1-17）,2-1差分原理及逼近误差,F
7、inite difference method (FDM),16,将,与,的Taylor展开式相加可得,这说明二阶中心差商的精度也为二阶,（1-18）,2-1差分原理及逼近误差,由于 是个小量，因而阶数越大精度越高！,Finite difference method (FDM),17,在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，如图2-1中的,，是不相等的，相应的差分和差商就是不等距的。,图2-1 非均匀步长差分,3非均匀步长,一阶向后差商,一阶中心差商,（1-22）,（1-23）,2-1差分原理及逼近误差,Finite difference method (FDM),18,图2-2 均匀和非均
8、匀网格实例1,2-1差分原理及逼近误差,Finite difference method (FDM),19,图2-3 均匀和非均匀网格实例2,2-1差分原理及逼近误差,Finite difference method (FDM),20,2-2差分方程、截断误差和相容性,从上节所述可知，差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。现以对流方程为例，列出对应的差分方程。,（2-1）,对流系数,对流场函数,微分方程用于连续对象问题，差分方程用于离散对象问题,1、差分方程,
9、Finite difference method (FDM),21,图2-4 差分网格,2-2差分方程、截断误差和相容性,1、差分方程,Finite difference method (FDM),22,若时间导数用一阶向前差商近似代替，即,空间导数用一阶中心差商近似代替，即,则在,点的对流方程就可近似地写作,（2-2）,（2-3）,（2-4）,2-2差分方程、截断误差和相容性,1、差分方程,Finite difference method (FDM),23,按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为,用空间中心差商代替空间导数时的误差为,因而对流方程与对应的差分方程
10、之间也存在一个误差，它是,这也可由Taylor展开得到。因为,（2-5）,（2-6）,2-2差分方程、截断误差和相容性,2、截断误差,Finite difference method (FDM),24,一个与时间相关的物理问题，应用微分方程表示时，还必须给定初始条件，从而形成一个完整的初值问题。对流方程的初值问题为,这里,为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：,初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程定解问题的差分格式。,（2-7）,（2-8）,2-2差分方程、截断误差和相容性,2、截断误差,Finite di
11、fference method (FDM),25,FTCS格式,（2-9）,FTFS格式,（2-10）,（2-11）,FTBS格式,2-2差分方程、截断误差和相容性,2、截断误差,Finite difference method (FDM),26,(a) FTCS (b)FTFS (c)FTBS图2-2 差分格式,FTFS:时间、空间均向前差分；,FTCS:时间向前、空间中心差分；,FTBS:时间向前、空间向后差分；,2-2差分方程、截断误差和相容性,2、截断误差,Finite difference method (FDM),27,FTCS格式的截断误差为,FTFS和FTBS格式的截断误差为,
12、（2-12）,（2-13）,3种格式对,都有一阶精度。,2-2差分方程、截断误差和相容性,2、截断误差,Finite difference method (FDM),28,一般说来，若微分方程为,其中D是微分算子，f 是已知函数，而对应的差分方程为,其中,是差分算子，则截断误差为,这里,为定义域上某一足够光滑的函数，当然也可以取微分方程的解 。,（2-14）,（2-15）,（2-16）,如果当 ，,时，差分方程的截断误差的某种范数,也趋近于零，即,则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程的，通常称这样的差分方程和相应的微分方程相容（一致）。如果当 、,、,时，截断误差的范数不
13、趋于零，则称为不相容（不一致），这样的差分方程不能用来逼近微分方程。,（2-17）,2-2差分方程、截断误差和相容性,3、相容性,Finite difference method (FDM),29,若微分问题的定解条件为,其中B是微分算子，g是已知函数，而对应的差分问题的定解条件为,其中,是差分算子，则截断误差为,（2-18）,（2-19）,（2-20）,2-2差分方程、截断误差和相容性,3、相容性,Finite difference method (FDM),30,只有方程相容，定解条件也相容，即,和,整个问题才相容。,（2-21）,无条件相容 条件相容,以上3种格式都属于一阶精度、二层、相
14、容、显式格式。,2-2差分方程、截断误差和相容性,3、相容性,Finite difference method (FDM),31,2-3 收敛性与稳定性,1、收敛性,一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。,Finite difference method (FDM),32,2-3 收敛性与稳定性,1、收敛性,Finite difference method (FD
15、M),33,2-3 收敛性与稳定性,2、稳定性,Finite difference method (FDM),34,2-3 收敛性与稳定性,2、稳定性,Finite difference method (FDM),35,前面讨论了差分问题的相容性、收敛性和稳定性。已经知道，相容性是收敛性的必要条件；还发现，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系的。,Lax等价定理：对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。这也可表示为,2-4
16、 Lax等价定理,Finite difference method (FDM),36,根据此定理，在线性适定和格式相容的条件下，只要证明了格式是稳定的，则一定收敛；若不稳定，则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳定性更难，故人们就可以把注意力集中在稳定性的研究上。,2-4 Lax等价定理,Finite difference method (FDM),37,1、离散求解域；2、用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程的对应项；3、差分化;4、选择适当的计算方法求解线性代数方程组；5、将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。,2-5 利用有限差分法求解应用问题的一般步骤,F
17、inite difference method (FDM),38,1、简化模型,例如：热分析忽略结构细部； 铸造成形分析时可取截面；,好处：简化建模、节约计算资源、缩短求解时间,注意：对称面（对称边界）的处理,2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项,Finite difference method (FDM),39,2、单元选择,1）尽量采用结点书较少的单元；2）规则结构：选只有端结点的单元；不规则时选带边结点或面结点的单元；3）轴对称结构选轴对称单元；4）单元类型应与分析对象的数学模型吻合；,选择原则：,采用有限差分法仿真材料成形过程不存在单元选择问题,2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项,Finite difference method (FDM),40,3、划分网格,变网格技术的应用,2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项,Finite difference method (FDM),41,2-6应用数值方法模拟材料成形的若干注意事项,4、建立初始条件和边界条件,5、定义材料参数,建立动态有效的边界条件仍然是目前需解决的难题,Finite difference method (FDM),
