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1、一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,三、随机变量函数的数学期望,四、小结,第一节 数学期望,一、数学期望的概念,因此, A 能“期望”得到的数目应为,而B 能“期望”得到的数目, 则为,在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的,可能性大小之比为,即A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,1. 离散型随机变量的数学期望,分赌本问题,用X表示继续赌下去A最终获得的赌金. 则A 期望所得的赌金为,关于定义的几点说明,(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正
2、的平均值, 也称均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,随机变量 X 的算术平均值为,假设,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.,当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.,例1 如何确定投资决策方向?,某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?,解,设 X 为投资利润，则,存入银行的利
3、息:,故应选择投资.,例2,解,2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例3 顾客平均等待多长时间?,三、随机变量函数的数学期望,定理: 设g是连续函数. (1). 离散型随机变量函数的数学期望,若 Y=g(X), 且,则有,(2). 连续型随机变量函数的数学期望,若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则,二维随机变量函数的数学期望,例4,解,1. 设 C 是常数, 则有,证明,2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有,3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有,证明,说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,解,例5,四、小结,数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2. 数学期望的性质,
