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1、机器人学导论(第二章）,新疆大学机械工程学院,第二章 空间描述和变换,本章内容,2.1 概述2.2 描述：位置、姿态与坐标系2.3 映射：从坐标系到坐标系的变换2.4 总结2.5变换算法,2.1 概述,机器人操作：通过某种机构使零件和工具在空间中运动。如何定义和运用表达操作臂位姿的数学量？我们必须定义坐标系并并给出表达规则。世界坐标系：我们采用的一个体系，作为我们讨论任何问题，特别是定义其它坐标系的一个参照坐标系。,2.2描述：位置、姿态与坐标系,描述：描述可用来确定一个操作系统处理的各种对象的特性。这些对象包括零件、工具和操作臂本身。描述：位置、姿态与坐标系,1.位置描述,一旦建立了坐标系，
2、我们就能用一个31位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位。,其它坐标系,球坐标系,柱坐标系,向量向相应轴的投影,注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定义的 这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标系A中定义的,2.姿态描述,对于一个刚体来说，我们发现不仅经常需要表示它在空间中的位置，还经常需要描述空间中物体的姿态。为了描述刚体的姿态，我们将在刚体上固定一个坐标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。,已知坐标系B以某种方式固定在物体上,因此点的位置可用矢量描述，物体的姿态可用固定在物体上的坐标系来描述。坐标系B主轴方向的三个单位矢量，把它们在坐标系A中表达出来,坐标系B的单位矢量,写
3、成在A中的表达,矢量 在坐标系A三个主轴方向的投影,矢量 在坐标系A三个主轴方向的投影,矢量 在坐标系A三个主轴方向的投影,我们将这三个单位矢量按照 的顺序排列组成一个33的矩阵位置能用矢量来表示，姿态能用旋转矩阵来表示怎样计算 ? 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上投影的分量来表示。,这个称为旋转矩阵,于是，旋转矩阵 的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示：,两个单位矢量的点积可得到二者之间夹角的余弦，因此各分量又被称作方向余弦,那么坐标系A在坐标系B的表达又是什么样的？ 进一步观察上页的式子，可以看出矩阵的行是单位矢量A在B中的表达；即,因此， 为坐标系A相对于B中的表达；即,以上表明
4、旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵,3.坐标系的描述,完整描述图中的操作手位姿所需的信息为位置和姿态我们定义这样一对包含位置和姿态信息的坐标实体,旋转矩阵,原点位置矢量,一个参考系可以用一个坐标系相对于另一坐标系的关系来描述。,2.3 映射,什么是映射？ 描述一个量从一个坐标系到另一个坐标系的数学变换。1.平移映射,两个坐标系具有相同的姿态,2.关于旋转坐标系的映射前面介绍了用连体坐标系主轴的三个单位矢量来描述姿态的方法。包含三个单位矢量的旋转矩阵被用来描述姿态。,我们已知矢量相对于某坐标系B的定义 ，怎样求矢量相对另一个坐标系A的定义 ？ 且这两个坐标系原点重合。,例2.1 图中表示坐标系B相
5、对于坐标系A绕 轴旋转30度。这里 轴指向为由纸面向外。,B绕 轴旋转30度,在A中写出B的单位矢量，并且将它们按列组成旋转矩阵，得到:,已知：,求出 ：,这里， 的作用是将相对于坐标系A描述的 映射到 。注意:从映射的角度看，原矢量P在空间并没有改变，我们只不过求出了这个矢量相对于另一个坐标系的新的描述。,3.关于一般坐标系的映射,问题：我们已知矢量相对某坐标系B的描述，想求出它相对于另一个坐标系A的描述。一般的情形：（1）坐标系B和坐标系A不具有相同的姿态（2）坐标系B和坐标系A原点不重合,(1)在坐标系B和坐标系A之间有一个矢量偏移(2) B 相对于A有旋转，用 描述问题：给出 ，试着计
6、算,答案：（1）假设存在一个中间坐标系C和A的姿态相同、原点和B的原点重合。（2）考虑C和A之间的变换（3）以上的两步可以联合起来,齐次变换,例2.2 图2-8表示了一个坐标系B，它绕坐标系A的 轴旋转了30度，沿 平移10个单位，再沿 平移5个单位。已知 ，求 。,图2-8 经平移和旋转的坐标系B,坐标系B的定义为：,按照B的定义和已知条件进行变换：,已知：,2.4总结,介绍了一个包括姿态和位置信息的4x4齐次变换矩阵，作为表示坐标系的一般工具。它是坐标系B相对于A的描述：它是变换映射：,2.5变换算法,混合变换（乘法变换）已知 ，求,已知坐标系C相对于坐标系B，并且已知坐标系B相对于坐标系A。,即，我们知道答案：步骤(1)将 变换成 ：步骤(2)将 变换成 ：步骤(3)联立步骤(1)、(2)，消去中间项 ，得到,给定已知的B 和 C的描述：可以得到从 C到A的齐次变换矩阵：,2.逆变换,已知坐标系B相对于坐标系A 的描述，即已知怎样求A相对于B的描述？ 一个可能的方法：直接对矩阵 求逆另一种方法：利用变换的性质求逆，即利用矩阵 的特殊结构,步骤1) 由 计算出步骤2) 由 计算出上式的左边是坐标系B的原点在B中的描述，所以左边=0,步骤3)综上，计算 的方法如下：上式是求齐次逆变换的一般且非常有用的方法注意，使用符号,
