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1、2022/11/11,1,第3章 工业机器人运动学和动力学,3.1 工业机器人的运动学 3.2 工业机器人的动力学 3.3 工业机器人的运动轨迹规则,2022/11/11,2,3.1 工业机器人的运动学,3.1.1 工业机器人位姿描述,1. 点的位置描述如图3.1所示,在直角坐标系A中,空间任一点P的位置可用(31)的位置矢量AP表示为,(3.1),其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。,2022/11/11,3,图3.1点的位置描述,2022/11/11,4,2. 点的齐次坐标如用四个数，组成的(41)列阵表示三维空间直角坐标系A中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标,
2、如下:,(3.2),2022/11/11,5,齐次坐标并不是惟一的。当列阵的每一项分别乘以一个非零因子时, 即,(3.3),其中:a=px, b=py, c=pz。该列阵也表示P点,齐次坐标的表示不是惟一的。,2022/11/11,6,3. 坐标轴方向的描述用i、j、k来表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量；用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向, 则有,规定: 列阵a b c 0T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向; 列阵a b c T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。,2022/11/11,7,例如, 在图3.2中, 矢量v的方向用(41)
3、列阵表示为,其中: a=cos, b=cos, c=cos。,矢量v的始点为坐标原点, 表示为,2022/11/11,8,当=60, =60, =45时, 矢量为,2022/11/11,9,图3.2坐标轴方向的描述,2022/11/11,10,4. 动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述，就是用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(44)的方阵。 如上述直角坐标系可描述为:,2022/11/11,11,5. 刚体位姿的描述机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态, 则这个刚体在空间上是惟一确定的, 可用惟一一个位姿矩阵进行
4、描述。 如图3.3所示, 设OXYZ为与刚体Q固连的一个坐标系, 称为动坐标系。 刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式表示为,2022/11/11,12,图 3.3 刚体的位置和姿态描述,2022/11/11,13,令n、o、a分别为X、 Y、 Z坐标轴的单位方向矢量, 即,刚体的位姿表示为(44)矩阵:,2022/11/11,14,6. 手部位姿的描述机器人手部的位姿如图3.4所示, 可用固连于手部的坐标系B的位姿来表示。坐标系B由原点位置和三个单位矢量惟一确定, 即: (1) 原点: 取手部中心点为原点OB; (2) 接近矢量: 关节轴方向的单位矢量a; (3) 姿态矢量:
5、手指连线方向的单位矢量o; (4) 法向矢量: n为法向单位矢量, 同时垂直于a、o矢量, 即n=oa。,2022/11/11,15,手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系B原点的矢量p。手部的位姿可由(44)矩阵表示:,2022/11/11,16,图 3.4 机器人手部的位置和姿态描述,2022/11/11,17,7. 目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示, 如图3.5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点描述, 矩阵表达式为,2022/11/11,18,若让其绕Z轴旋转90,记为Rot(z,90); 再绕Y轴旋转90,即Rot(y,90)
6、, 然后再沿X轴方向平移4,即Trans(4, 0, 0), 则楔块成为(b)图位姿, 其齐次矩阵表达式为,用符号表示对目标物的变换方式可以记录物体移动的过程, 也便于矩阵的运算, 所以应该熟练掌握。,2022/11/11,19,图 3.5 目标物的位置和姿态描述,2022/11/11,20,3.1.2 齐次变换及运算,1. 平移的齐次变换如图3.6所示，为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x, y, z)平移至A(x, y, z), 即,(3.10),2022/11/11,21,图3.6点的平移变换,2022/11/11,22,记为:,a=Trans(x, y, z)a,其中,Trans
7、(x, y,z)称为平移算子,x、y、z分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。 即:,2022/11/11,23,注: 算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 该公式亦适用于坐标系的平移变换、 物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。,2022/11/11,24,2. 旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示。A(x, y, z)绕Z轴旋转角后至A(x, y, z),A与A之间的关系为,2022/11/11,25,图3.7点的旋转变换,2022/11/11,26,推导如下: 因A点是绕Z轴旋转的, 所以把A与A
8、投影到XOY平面内, 设OA=r, 则有,同时有,其中, =+, 即,2022/11/11,27,所以,(3.17),所以,(3.18),由于Z坐标不变, 因此有,2022/11/11,28,写成矩阵形式为,2022/11/11,29,记为:,a=Rot(z, )a,其中, 绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系, 即,2022/11/11,30,同理,(3.22),2022/11/11,31,图3.8所示，为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。其旋转齐次变换矩阵为,注: 该式为一般旋转齐次变
9、换通式, 概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之,当给出某个旋转齐次变换矩阵, 则可求得k及转角。 变换算子公式不仅适用于点的旋转, 也适用于矢量、 坐标系、 物体的旋转。,2022/11/11,32,图 3.8 点的一般旋转变换,2022/11/11,33,3.1.3 工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵,1. 连杆参数及连杆坐标系的建立以机器人手臂的某一连杆为例。如图3.9所示,连杆n两端有关节n和n+1。描述该连杆可以通过两个几何参数: 连杆长度和扭角。由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线,通常情况下这两条轴线是空间异面直线, 那么这两条异面直线的公垂线段的长an即为连杆长度，这
10、两条异面直线间的夹角n即为连杆扭角。,2022/11/11,34,图 3.9 连杆的几何参数,2022/11/11,35,如图3.10所示,相邻杆件n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。沿关节n轴线上，两个公垂线间的距离dn即为连杆距离; 垂直于关节n轴线的平面内，两个公垂线的夹角n即为连杆转角。,2022/11/11,36,图 3.10 连杆的关系参数,2022/11/11,37,这样, 每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆尺寸, 两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。当连杆n旋转时, n随之改变, 为关节变量,其它三个参数不变;当连杆进行平移运动时,dn随之改变, 为关节变量
11、,其它三个参数不变。确定连杆的运动类型, 同时根据关节变量即可设计关节运动副,从而进行整个机器人的结构设计。已知各个关节变量的值, 便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递, 推导出手部坐标系的位姿形态。,2022/11/11,38,建立连杆坐标系的规则如下: 连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上,是关节n+1的关节轴线与n和n+1关节轴线公垂线的交点。 Z轴与n+1关节轴线重合。 X轴与公垂线重合;从n指向n+1关节。 Y轴按右手螺旋法则确定。,2022/11/11,39,2. 连杆坐标系之间的变换矩阵各连杆坐标系建立后,n-1系与n系间变换关系可用坐标系的平移、旋转来实现。从n-1系
12、到n系的变换步骤如下: (1) 令n-1系绕Zn-1轴旋转n角, 使Xn-1与Xn平行, 算子为Rot(z,n)。(2) 沿Zn-1轴平移dn, 使Xn-1与Xn重合, 算子为Trans(0,0,dn)。(3) 沿Xn轴平移an, 使两个坐标系原点重合, 算子为Trans(an,0,0)。(4) 绕Xn轴旋转an角, 使得n-1系与n系重合, 算子为Rot(x,n)。,2022/11/11,40,该变换过程用一个总的变换矩阵An来表示连杆n的齐次变换矩阵为:,实际中,多数机器人连杆参数取特殊值,如n=0或dn=0, 可以使计算简单且控制方便。,2022/11/11,41,3.1.4 工业机器人
13、的运动学方程1. 机器人运动学方程通常把描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵叫Ai变换矩阵, 简称Ai矩阵。如A1矩阵表示第一个连杆坐标系相对固定坐标系的位姿;A2矩阵表示第二个连杆坐标系相对第一个连杆坐标系的位姿; Ai表示第i个连杆相对于第i-1个连杆的位姿变换矩阵。那么, 第二个连杆坐标系在固定坐标系中的位姿可用A1和A2的乘积来表示,即:,T2=A1A2,2022/11/11,42,依此类推, 对于六连杆机器人, 有下列矩阵:,T6=A1A2A3A4A5A6,(3.27),该等式称为机器人运动学方程。方程右边为从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间变换矩阵的
14、连乘;方程左边T6表示这些矩阵的乘积,即机器人手部坐标系相对于固定参考系的位姿。 分析该矩阵: 前三列表示手部的姿态; 第四列表示手部中心点的位置。 可写成如下形式:,2022/11/11,43,2. 正向运动学及实例如图3.11所示,SCARA装配机器人的三个关节轴线是相互平行的, 0、1、2、3分别表示固定坐标系、 连杆1的动坐标系、连杆2的动坐标系、 连杆3的动坐标系, 分别坐落在关节1、关节2、关节3和手部中心。坐标系3即为手部坐标系。 连杆运动为旋转运动, 连杆参数n为变量, 其余参数均为常量。,2022/11/11,44,图 3.11 SCARA装配机器人的坐标系,2022/11/
15、11,45,该平面关节型机器人的运动学方程为,T3=A1A2A3,(3.29),其中:A1连杆1的坐标系相对于固定坐标系的齐次变换矩阵; A2连杆2的坐标系相对于连杆1坐标系的齐次变换矩阵; A3手部坐标系相对于连杆2坐标系的齐次变换矩阵。,T3为手部坐标系(即手部)的位姿。由于其可写成(44)的矩阵形式, 即可得向量p、n、o、a, 把1、2、3代入可得。,2022/11/11,46,如图3.11(b)所示,当转角变量分别为1=30, 2=-60, 3=-30时，则可根据平面关节型机器人运动学方程求解出运动学正解,即手部的位姿矩阵表达式,2022/11/11,47,3. 反向运动学及实例 反
16、向运动学解决的问题是:已知手部的位姿,求各个关节的变量。在机器人的控制中,往往已知手部到达的目标位姿,需要求出关节变量,以驱动各关节的电机,使手部的位姿得到满足, 这就是运动学的反向问题,也称逆运动学。 如图3.12所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)机器人为例, 其连杆坐标系如图3.13 所示, 设坐标系6与坐标系5原点重合, 其运动学方程为:,T6=A1A2A3A4A5A6,2022/11/11,48,图 3.12 斯坦福(STANFORD)机器人,2022/11/11,49,现在给出T6矩阵及各杆参数a、d,求关节变量16, 其中3=d3。 其中, A1为坐标系1，相当于固定坐标系
17、O的Z0轴旋转1,然后绕自身坐标系X1轴做1的旋转变换,1=-90, 所以,2022/11/11,50,只要列出A-11,在式(3.34)两边分别左乘运动学方程, 即可得,展开方程两边矩阵, 对应项相等, 即可求得1； 同理可顺次求得2、3、6等。,2022/11/11,51,图3.13斯坦福（STANFORD）机器人的连杆坐标系,2022/11/11,52,3.2 工业机器人的动力学,3.2.1 工业机器人速度分析,1. 工业机器人速度雅可比矩阵数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即,2022/11/11,5
18、3,可写成,Y=F(X),将其微分, 得,(3.37),可简写成,式中, (66)矩阵称为雅可比矩阵。,2022/11/11,54,对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。以二自由度平面关节机器人为例,如图3.14所示,机器人的手部坐标(x,y)相对于关节变量(1,2)有,2022/11/11,55,求微分有,(3.40),写成矩阵为,2022/11/11,56,令,(3.42),则式(3.41)可简写为,dX=J d,其中,2022/11/11,57,图3.14 二自由度平面关节机器人,2022/11/11,58,由此可求得,(3.43)
19、,对于n自由度机器人,关节变量q=q1q2qnT,当关节为转动关节时,qi=i; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1dq2dqnT反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,dX=J(q)dq,其中J(q)是(6n)的偏导数矩阵, 称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。,2022/11/11,59,2. 工业机器人速度分析把式(3.44)两边各除以dt, 得,(3.45),或,V=J(q) q,其中: V机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X; J(q)速度雅可比矩阵; q机器人关节在关节空间中的关节速度。,2022/11/11,60,若把J(q)矩阵的第1列与第2列矢量记为J1、J
20、2,则有V=J11+J22,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动时产生的端点速度。 二自由度手部速度为,(3.47),2022/11/11,61,逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下: 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部折回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合引起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某空间某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也不可能动。,2022/11/11,62,3.2.2 工业机器人静力分析,1. 操作臂中的静力如已知外界环境对机器人最末杆
21、的作用力和力矩, 则可以先分析最后一个连杆对上一个连杆的力和力矩， 依次递推， 直到分析完第一个连杆对机座的力和力矩， 从而计算出每个连杆上的受力情况。 操作臂中单个杆件受力分析如图3.15所示。,2022/11/11,63,图 3.15 杆i上的力和力矩,2022/11/11,64,利用静力平衡条件,杆上所受合力和合力矩为零。 为方便表示手部端点的力和力矩,可写成一个6维矢量:,各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n维矢量的形式, 即,其中: 关节力矩(或关节力)矢量; n关节的个数。,2022/11/11,65,2. 机器人力雅可比矩阵假定关节无摩擦, 忽略各杆件的重力, 则有,(3.50
22、),其中: 广义关节力矩; F机器人手部端点力; JT(n6)阶机器人力雅可比矩阵, 简称力雅可比。,2022/11/11,66,式(3.50)可用虚功原理证明。 证明: 如图3.16所示, 各个关节的虚位移组成机器人关节虚位移矢量qi; 末端操作器的虚位移矢量为X, 由线虚位移d矢量和角虚位移矢量组成。,q=q1 q2 qnT,2022/11/11,67,图3.16关节及末端操作虚位移,2022/11/11,68,设发生上述虚位移时, 各关节力为i(i=1, 2, ，n), 环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为-fn,n+1和-nn,n+1, 由上述力和力矩所做的虚功可以由下式求出:,
23、W=1q1+2q2+nqn-fn,n+1d-nn,n+1,或写成,W=Tq-FTX,根据虚位移原理,机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意的符合几何约束的虚位移, 有W=0, 又因dX=Jdq, 代入得,W=Tq-FTX=Tq-FTJq=(-JTF)Tq,2022/11/11,69,式中, q表示几何上允许位移的关节独立变量, 对任意的q, 欲使W=0成立, 必有,=JTF,(3.56),式中,JT与手部端点力和广义关节力矩之间的力传递有关,称为机器人力雅克比。 机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。,2022/11/11,70,3. 机器人静力计算的两类问题从操作臂手部端点力F与广义关节力
24、矩之间的关系式=JTF可知, 操作臂静力计算可分为两类: (1) 已知外界对手部作用力F,求满足静力平衡条件的关节驱动力矩(=JTF)。(2) 已知关节驱动力矩, 确定机器人手部对外界环境的作用力F或负荷质量(逆解,即求解F=(JT)-1)。当自由度n6时,力雅可比可能不是方阵,JT没有逆解, 一般情况下不一定能得到惟一的解。,2022/11/11,71,2022/11/11,72,2. 拉格朗日方程 首先, 定义拉格朗日函数是一个机械系统的动能EK和势能EP之差, 即,L=EK-EP,(3.57),i=1,2,n,其中, Fi是关节广义驱动力(对于移动关节为驱动力; 对于转动关节为驱动力矩)
25、。,2022/11/11,73,那么,用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤如下所述: (1) 选取坐标系, 选定独立的广义关节变量qi,i=1, 2, ,n; (2) 选定相应的广义力Fi; (3) 求出各构件的动能和势能, 构造拉格朗日函数; (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。,2022/11/11,74,3. 关节空间和操作空间动力学关节空间即n个自由度操作臂末端位姿X是由n个关节变量决定的,这n个关节变量叫n维关节矢量q,q所构成的空间称为关节空间。 操作空间即末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的, 位姿X是在直角坐标空间中描述的,这个空间叫操作空间。 关节空间动
26、力学方程为,2022/11/11,75,其中,对于n个关节的操作臂, D(q)是(nn)的正定对称矩阵, 是q的函数。如图3.17所示, 二自由度平面关节机器人有,2022/11/11,76,(3.61),G(q)是(n1)的重力矢量,与操作臂的形位q有关, 二自由度平面关节机器人有,2022/11/11,77,图 3.17 二自由度平面关节机器人,2022/11/11,78,与关节空间动力学方程相对应,在笛卡尔操作空间中,可用直角坐标变量,即末端操作器的位姿矢量来表示机器人动力学方程。 操作空间动力学方程如下:,(3.63),2022/11/11,79,两个空间之间的关系可由以下三式求出:
27、,2022/11/11,80,3.3 工业机器人的运动轨迹规划,3.3.1 路径和轨迹机器人的轨迹：指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。 路径：是机器人位姿的一定序列,而不考虑机器人位姿参数随时间变化的因素。 轨迹则与何时到达路径中的每个部分有关, 强调的是时间；而路径强调的是机器人位姿的一定序列。如图3-18所示。,2022/11/11,81,图 3.18 机器人在路径上的依次运动,2022/11/11,82,3.3.2 轨迹规划轨迹规划：是指根据作业任务要求，确定轨迹参数，并实时计算和生成运动轨迹。 轨迹规划的一般问题有三个: (1) 对机器人的任务进行描述, 即运动轨迹的描述。(2
28、) 根据已经确定的轨迹参数, 在计算机上模拟所要求的轨迹。(3) 对轨迹进行实际计算,即在运行时间内按一定的速率计算出位置、速度和加速度,从而生成运动轨迹。,2022/11/11,83,在规划中,不仅要规定机器人的起始点和终止点, 而且要给出中间点(路径点)的位姿及路径点之间的时间分配, 即给出两个路径点之间的运动时间。轨迹规划既可在关节空间中进行, 即将所有的关节变量表示为时间的函数,用其一阶、二阶导数描述机器人的预期动作, 也可在直角坐标空间中进行,即将手部位姿参数表示为时间的函数, 而相应的关节位置、 速度和加速度由手部信息导出。,2022/11/11,84,以二自由度平面关节机器人为例
29、解释轨迹规划的基本原理。 要求机器人从A点运动到B点。机器人在A点时形位角为=20,=30; 达到B点时的形位角是=40,=80。两关节运动的最大速率均为10/s。 如图3.19所示。,2022/11/11,85,当机器人的所有关节均以最大速度运动时,下方的连杆将用2s到达, 而上方的连杆还需再运动3s. 可见路径是不规则的,手部掠过的距离点也是不均匀的。,2022/11/11,86,机器人关节速率的归一化处理 设机器人手臂两个关节的运动用有关公共因子做归一化处理,使手臂运动范围较小的关节运动成比例的减慢,这样,两个关节就能够同步开始和结束运动. 即两个关节以不同速度一起连续运动, 速率分别为
30、4/s和10/s。,2022/11/11,87,图 3.20 二自由度机器人关节空间的归一化运动,如图3.20所示,为该机器人两关节运动轨迹, 与前面的不同, 其运动更加均衡, 且实现了关节速率归一化处理。,2022/11/11,88,若希望机器人的手部可以沿AB这条直线运动, 最简单的方法是? 将该直线等分为几部分(图3.21中分成5份), 然后计算出各个点所需的形位角和的值, 这一过程称为两点间的插值。 可以看出,这时路径是一条直线, 而形位角变化并不均匀。很显然, 如果路径点过少, 将不能保证机器人在每一小段内的严格直线轨迹, 因此,为获得良好的沿循精度, 应对路径进行更加细致的分割。
31、由于对机器人轨迹的所有运动段的计算均基于直角坐标系, 因此该法属直角坐标空间的轨迹规划。,2022/11/11,89,2022/11/11,90,3.3.3 关节空间的轨迹规划1. 三次多项式轨迹规划假设机器人的初始位姿是已知的,通过求解逆运动学方程可以求得机器人期望的手部位姿对应的形位角。若考虑其中某一关节的运动开始时刻ti的角度为i , 希望该关节在时刻tf运动到新的角度f .轨迹规划的一种方法是使用多项式函数以使得初始和末端的边界条件与已知条件相匹配,这些已知条件为i和f及机器人在运动开始和结束时的速度,这些速度通常为0或其他已知值。,2022/11/11,91,初始和末端条件是:,对式
32、(3.67)求一阶导数得到:,(3.67),(3.69),2022/11/11,92,将初始和末端条件代入式(3.67)和(3.69)得到:,通过联立求解这四个方程, 得到方程中的四个未知的数值, 便可算出任意时刻的关节位置, 控制器则据此驱动关节所需的位置。,2022/11/11,93,2. 抛物线过渡的线性运动轨迹在关节空间进行轨迹规划的另一种方法是让机器人关节以恒定速度在起点和终点位置之间运动,轨迹方程相当于一次多项式,其速度是常数, 加速度为零。 这表示在运动段的起点和终点的加速度必须为无穷大，才能在边界点瞬间产生所需的速度。 为避免这一现象出现,线性运动段在起点和终点处可以用抛物线来
33、进行过渡,从而产生连续位置和速度, 如图3.22所示。,2022/11/11,94,图 3.22 抛物线过渡的线性段规划方法,2022/11/11,95,假设ti=0和tf时刻对应的起点和终点位置为i和f,抛物线与直线部分的过渡段在时间tb和tf-tb处是对称的, 得到: ,(3.71),显然,这时抛物线运动段的加速度是一个常数, 并在公共点A和B(称这些点为节点)上产生连续的速度。,2022/11/11,96,将边界条件代入抛物线段的方程, 得到:,(3.72),整理得,(3.73),2022/11/11,97,从而简化抛物线段的方程为,显然,对于直线段,速度将保持为常数,可以根据驱动器的物
34、理性能来加以选择。 将零初速度、线性段常量速度以及零末端速度代入式(3.74)中,可得A点和B点以及终点的关节位置和速度.,(3.74),2022/11/11,98,由上式可以求得,(3.75),(3.76),2022/11/11,99,把c2代入得,(3.77),进而求出过渡时间tb:,(3.78),tb不能大于总时间tf的一半,否则,在整个过程中将没有直线运动段, 而只有抛物线加速和抛物线减速段。由tb表达式可以计算出对应的最大速度:,(3.79),2022/11/11,100,如果初始时间不是零, 则可采用平移时间轴的方法使初始时间为零。终点的抛物线段和起点的抛物线段是对称的, 只不过加速度为负, 因此可以表示为,(3.80),其中, c2=/tb,(3.81),2022/11/11,101,谢谢,
