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1、机械振动学习题解答（四）,2013-06-05,1 微分方程杆的纵向振动轴的扭转振动弦的横向振动梁的横向振动,连续系统振动问题的解题思路,受迫振动,自由振动,波动方程,2 边界条件杆纵向位移轴扭转角度弦横向挠度梁横向挠度,连续系统振动问题的解题思路,纵向力,固定端,自由端,扭矩,固定端,自由端,横向力,固定端,自由端,转角,固定端,简支端,弯矩,剪力,自由端,3 自由振动的解杆、轴、弦的波动方程（以杆为例）令 ，代入方程得解得所以梁的自由振动方程令 ，代入方程得解得或,连续系统振动问题的解题思路,C、D和k由边界条件确定,(a),4 强迫振动的解(1)直接法当激励恰好作用在边界上时，把激励写到
2、边界条件里，然后用类似于求解自由振动的方法（例如习题8-3）(2)模态法（以梁为例）运动方程令其中Yn(x)为通过自由振动方程求解出的振型函数，它满足把(2)代入(1)，并利用(3)，得,连续系统振动问题的解题思路,(1),(2),(3),(4),（即上页(a)式）,对(4)两边同乘以Ym(x) ，再沿长度积分，并利用振型函数的正交性得即其中按单自由度受迫振动的求解方法即可求出(5)式的解。,连续系统振动问题的解题思路,(5),81 求图示阶梯杆纵向振动的频率方程。,解：微分方程,振型函数代入边界条件：,振型函数：,u1,u2,消去C1，D1，C2，D2 ，得频率方程,82 长度为L、惯性矩为
3、Is的轴两端各带有惯性矩为I0的圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在Is I0的情形下校验频率方程的正确性。,解：微分方程令 ，得振型函数：边界条件：即,注：圆盘的转动惯量,，是因为：,注：圆轴两端的扭矩方向必定相反,振型函数代入边界条件，得：,两式联立，得：,所以频率方程：当Is I0时，(*)式左边(*)式左边所以此时系统近似为一个忽略轴的惯性的二自由度系统，其微分方程为,(*),频率只能是正数，所以负号应舍去,kt,J,J,方程的解,83 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sint施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为。,解：（直接
4、法）微分方程令 ，得振型函数边界条件：即,振型函数代入边界条件，得：,所以稳态响应,注：此题也可用模态法，得到的结果将是模态叠加的形式。,84 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。,解：（模态法，首先进行自由振动分析）,代入边界条件：解得所以振型函数（再进行受迫振动分析）,设振型函数,微分方程,(2),(1),令其中Yn(x)满足,(3),根据单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应公式（课本p110式(2)），(5)式的解为所以系统响应,式中,将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得,所
5、以(4)式变为,(5),(4),将Yn代入公式时没写系数Dn ，因为即使写了最后也会约掉,注： 函数有以下性质,85 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。,解：（模态法，首先进行自由振动分析）,式中代入边界条件：解得振型函数（再进行受迫振动分析）,设振型函数,微分方程,(2),(1),令其中Yn(x)满足,(3),根据单自由度无阻尼系统受简谐激励的总响应公式（课本p98式(4-32)）(5)式的解为,式中,将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得,所以(4)式变为,(5),(4),其中所以系统响应,
