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1、机电系统设计与仿真第2章 系统的状态空间模型,一、动态系统分析及其现代数学模型,例1、机械系统,例2、电路系统,对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述输入-输出关系：,也可用以下一阶微分方程组的形式来描述：,对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：,状态与状态变量设以上MIMO系统的状态变量记为：,二、状态空间方程,系统的动态特性可用一阶微分方程组来描述如下：,矩阵形式为：,称为状态方程，记为：,描述了输入作用下的系统状态运动过程。,输出变量则可列写成：,称为输出方程，描述了输出变量与状态变量（和输入变量）间的线性组合变换关系，为代数方程。C称为输出矩阵，D为直接传递
2、矩阵。状态方程与输出方程一起构成为系统的状态空间表达式。状态空间描述把系统的运动归结为“输入-状态-输出”，能更深刻地揭示系统运动的本质。,称A为系统矩阵，B为输入矩阵或控制矩阵。,SISO系统的系统状态图,状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统中易于测量观测的量作状态变量。,MIMO系统的系统状态图,前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为：,R-L-C系统的状态空间表达式即为：,状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系统研究的一种重要模型。现代控制理论与经典控制理
3、论特性的比较：(1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述，涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法；(2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述；(3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性系统以及非零初始条件下的系统分析求解；(4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一；,(5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并有标准型法、状态分解法等求解方法。(6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制，所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹
4、法、频率响应法等经典设计法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。(7)系统传递函数（微分方程）与状态空间方程两种数学模型之间可相互转换。,1、一老式货运汽车的悬挂系统如下图所示，求汽车相对于路面的位移x和悬挂部分的位移y1之间的关系。,系统振动方程：,三、典型机电系统选讲,又令：,得状态空间表达式为：,2、电动机通过弹性轴联接惯性负载的简化模型,振动方程,求电动机输出力矩Tm与负载转角L间关系,传递函数,取状态变量：,非刚性耦合使系统阶次增高，会引起谐振传递至整个系统，带来稳定性等问题。联接轴刚度k无穷大时，可简化为：,3、油井钻井平台与钻孔机的简化模型。钻井平台向钻孔机提供驱动力
5、矩，带动钻轴转动，钻头受被钻物体的接触力矩。,求输入（驱动）力矩2与转角2间关系。,取状态变量,状态空间表达式：,具有黏性阻尼的二自由度系统强迫振动：,二自由度振动系统：,为形式：,称为振动方程,4、多自由度振动系统的状态空间表达,运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由度系统的运动微分方程为：,三自由度阻尼振动系统,多自由度振动系统振动方程转换为相应的状态空间方程可有统一的方法：,系统振动方程,变形为：,得状态方程为：,至于输出方程，可根据实际的求解要求而容易写出！,5、齿轮传动系统以下图中，T为输入转矩，忽略轴的弹性，同轴齿轮的转动惯量和阻尼系数归并。以转轴1的转角1为输出量。求T
6、与1间的关系。并记：,两转轴的力矩平衡方程为：,消元中间变量，得T与1间关系：,分别为转轴2等效于转轴1,后的总的等效转动惯量和阻尼系数。,即等效成为：,齿轮传动系统可机电比拟于理想变压器系统：,比拟关系为,根据电压、电流变换关系：,可得一次侧的电压、电流微分方程为：,6、液位系统下图所示为存在交联作用的复杂液位系统。,流量与液面差间近似取线性关系q=h/R，R为阀门液阻。C1、C2为液容，即容器截面积。有方程：,消去中间变量，得：,比拟于电网络：,四、由状态空间方程求系统传递函数（矩阵）,传函矩阵为：,则有：,例：,得传函为；,五、由系统高阶微分方程（传递函数）列写状态空间方程SISO连续（
7、LTI）系统一般可用输入x(t)、输出y(t)函数间的高阶微分方程描述。（一）能控标准型状态方程1、输入函数不含导数项时,取状态变量为：,则得到状态方程,（可改为 ）,对应的传递函数？,即：,记为：,矩阵A、B、C的特点以上状态方程为能控标准形,输出方程则为：,对应有系统方框图：,举例：,2、输入函数含导数项时,其中d = b0,引入中间变量x，得如下方框图：,则有：,（1）（2）,其中（1）对应有：,由（2），输出方程为：,即：,对应方框图为：,（二）状态方程的能观标准形,能控标准型和能观标准形各矩阵的比较，矩阵间关系。对偶性原理,（三）矩阵A的对角化，对角标准型与约当标准型,状态空间表达式
8、为：,取状态变量的非奇异变换,则可得状态空间表达式为：,状态空间方程的非奇异变换，不会改变系统的特征方程和特征值，也不会改变系统输入-输出间关系，故变换前后系统传递函数是保持不变的。,其中,若系统矩阵A有n个相异的特征值：对应有n个相异的特征向量：并取变换矩阵为：,从传递函数形式的变换也可有对角化问题：,设：,令：,则可部分分式展开为：,则,取,对应的时域描述为：,可写成：,对角标准型状态图为：,矩阵A还有多重特征根的情况，设A有m重特征根 （而其余根均单值），则对角化处理时， m重特征根 对应有约当块矩阵：,满足：,从传递函数形式的变换也有同样的问题：,如传函,可写出状态方程为：,系统状态图
9、为：,六、线性定常连续系统状态方程的解,（一）求以下线性定常系统的状态方程的解,可与一阶标量系统微分方程的求解相比照，两者有相同的方法。可求得以上状态方程的解为：,其中,第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。,（若初始时刻为t 0？）,为矩阵指数函数，称为状态转移矩阵。,进而可直接由输出方程求输出函数。,（二）状态转移矩阵的性质：（1）（2）（3）（4）（5）即一个状态的转移过程可以分解为一系列相继连续的转移过程。（6）,（三） (t)的计算方法直接利用无穷级数的计算式求解，只适于某些低阶而简单系统矩阵A的情形。 其它求解方法有：（1）拉普拉斯变换法对状态方程的一阶微分方程组取拉氏变换，变换
10、为复数域的代数方程组，整理求得状态变量的复数域解，又取拉氏反变换得到状态方程解。该方法可求得低阶状态方程的解析解。 （2）本征向量展开法 设A阵的互异本征值为 ，对应的本征向量组成的变换矩阵为,则可对A阵做对角化,可得：其中,对于A阵有多重本征值的情况，有同样的处理方法，只是对应有约当标准形及其矩阵指数函数。（3）基于凯利-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理的计算方法该方法可得到状态转移阵的解析解为：,A阵有n个互异本征值时，n个系数（函数）满足：,当A阵出现相重本征值及约当型时，仍有以上形式的解析解，只是系数的求解复杂些而已。 实例分析：,（4）状态方程的MATLAB求解状态空间方
11、程的组合、连接：augstate, append, parallel, series，feedback，cloop，ssdelete，ssselect，时域响应函数：step，impulse，initial，lsim频域响应函数：bode,七、线性定常离散系统及其求解,线性定常离散系统的状态空间描述为：,系统状态图为：,对于SISO线性定常系统，其差分方程和脉冲传函分别为：,用变量z置换为变量s，则可成为连续系统的传递函数。故由差分方程或脉冲传递函数求状态方程的方法，可完全采用连续系统传递函数求状态方程的方法。,（一）脉冲传函求状态方程,如：,对应的方框图为：,写出能控标准型为：,写出能观标准
12、型为：,对角线标准形,（二）线性定常连续动态方程的离散化,认为在一个采样周期T内，u(k)=常量，则有：,连续系统的输出方程,离散化后为：,以上的离散系统状态方程可记为：,离散状态方程的求解，可采用迭代法、z变换法等方法，求得解为：,状态转移矩阵 ，具有以下性质：,第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。,八、线性定常系统的能控性和能观性（一）系统能控性,能控性定义：若存在着一个无约束的控制向量u(t)，在有限的时间内，将系统由任意给定的初始状态x(0)转移到状态空间的坐标原点，则称系统的状态是完全能控的，简称系统能控。能控性与能达性是互逆的，等价的。系统的能控性可根据系统的状态方程判断：对于
13、离散系统状态方程构建能控性矩阵： 系统能控的充要条件为对于多输入系统，n阶系统由初始状态转移到坐标原点，一般需要 的采样步数（控制步数）即可。如果n步内不能给出使系统由任意初态转移到坐标原点的控制序列，那么以后即使再增加控制步数，也不能使初态转移到坐标原点。,对于连续系统状态方程能控性矩阵为： 系统能控的充要条件为,（二）系统能观性若输入u(t)已知，在有限的时间区间0,tf内，通过对输出y(t)的量测值能唯一地确定系统的初始状态x(0)（那么也能确定任意状态的），则称系统是状态完全能观的，简称系统能观。只有状态能观的系统，才能由输出的量测值估计出系统的状态。状态能观与状态能检测是互逆的，等价的。系统的能观性可根据系统的状态方程和输出方程判断：对于离散系统状态方程系统状态的能观性与控制量u(k)的存在与否无关系，故可不计控制量u(k)。构建能观性矩阵： 系统能观的充要条件为,对于连续系统状态方程能观性矩阵为： 系统能观的充要条件为,对于多输出的n阶系统，一般需要 步的量测值即可确定初始状态，而不需多次观测。,（三）对偶系统的能控性和能观性,系统1,系统2,两系统相互对偶，且它们的能控性充要条件和能观性充要条件相互等价，即为对偶性原理。,（四）能控性和能观性判据的另一形式,
