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1、极坐标和直角坐标的互化,【自主预习】极坐标与直角坐标的互化公式如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(,).,cos,sin,x2+y2,【即时小测】1.极坐标系中,点(1,)的直角坐标为()A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1),【解析】选B.由公式 得 所以点(1,)对应的点的直角坐标为(-1,0).,2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为_(0,02).,【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极点)的距离为2016 ,极角= +2k,kZ,因为
2、02,所以= .所以点(2016,-2016)的极坐标为 .答案:,【知识探究】探究点极坐标和直角坐标的互化1.点与极坐标是一一对应的吗?,提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y)是一一对应的,点M与极坐标(,)不是一一对应的,即点M的极坐标不唯一.,2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?,提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式 分别计算极径和极角,求极角时先计算0,2)内的角0,再表示为0+2k,kZ.,类型一点的极坐标与直角坐标的转化【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,0,R完成下列各题:(1)将极坐标M 化为直角坐标.(2)将直角坐
3、标N(-2016,2016)化为极坐标.,【解析】(1)将点M的极坐标 代入公式 所以点的直角坐标为(-3 ,-3).,(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式 且的终边经过点N(-2016,2016),所以= ,所以点N的极坐标为 ,kZ.,【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略(1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.化点的直角坐标为极坐标时,一般取0,0,2),即取最小正角,由tan= (x0)求时,必须根据角的终边经过点(x,y)所在的象限来确定的值.,(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的三角变换公式,如半角公式,【变式训练】1.(2016绵阳高二检测)将点M的
4、极坐标 化成直角坐标是()A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1, )D.( ,1),【解析】选C.由公式 所以(1, )即为所求.,2.若已知极坐标平面内的点P ,求点P关于极点对称的点的极坐标及直角坐标.,【解析】点P关于极点的对称点P到极点的距离仍为2,即=2.又P与P的极角间相差+2k,kZ,故=- +2k,kZ,故P的极坐标可以为 ,由x=2cos =-1,y=2sin =- ,故点P的直角坐标为(-1,- ).,类型二极坐标与直角坐标转化的应用【典例】已知A,B两点的极坐标为 求线段AB中点的直角坐标.,【解析】因为A点的极坐标为 所以 所以A(3, ),同理可得B(-4, ).
5、设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得,所以线段AB中点的直角坐标为,【解析】方法一:因为A,B两点的极坐标为 故A,B两点在一条直线上,且到极点的距离分别为6,8,故AB中点到极点的距离为1,且在线段OB上,故AB中点的极坐标为,方法二:因为线段AB中点的直角坐标为 故 因为AB中点在第三象限,故 故中点的极坐标为,2.试求直线AB的方程.,【解析】因为A点的极坐标为 所以 所以A(3, ),又因为直线AB的倾斜角为 故斜率 故直线AB的方程为 即,【方法技巧】应用点的极坐标与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时,若不方便利用极坐标直接解决,可先将极坐标
6、化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式、性质解决,再转化成极坐标系中的问题即可.,【变式训练】1.若点M的极坐标为 则点M关于y轴对称点的极坐标为_.,【解析】点M的极坐标为 所以点M的直角坐标为 所以点M关于y轴对称点的直角坐标为 由 又点(-3 ,-3)位于第三象限.,故 则所求点的极坐标为 答案:,2.在极坐标系中,已知 求|AB|.,【解析】由点A的极坐标为 可得点A的直角坐标为 同理点B的直角坐标为(2 ,-2),则|AB|=,【归纳总结】1.直角坐标与极坐标的关系三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三角函数定义,角的顶点在原点O(极点),始边为横轴的正半轴,M(x,y)为角终边上的一点,|OM|= 则sin= ,cos= ,所以y=sin,x=cos.,2.特殊角的三角函数值,3.由点的直角坐标确定极角当点不在y轴上时,由tan= 求出0,2)上的;当点在y轴正半轴上时,= ;当点在y轴负半轴上时,= .,
