材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩ppt课件.ppt

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1、8-1 引 言8-2 轴力与轴力图8-3 拉压杆的应力与圣维南原理8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能8-5 应力集中的概念8-6 失效、许用应力与强度条件8-7 胡克定律与拉压杆的变形8-8 简单拉压静不定问题8-9 连接部分的强度计算,第八章 轴向拉伸与压缩,一、 轴向拉伸与压缩的概念及实例,1工程实例,8-1 引 言,简易吊车中：AC杆受拉、BC杆受压、 钢丝绳受拉。,结构中二力杆：受拉或受压。,千斤顶中：顶杆受压。,内燃机中：连杆AB有时受压、有时受拉。,轴向压缩，两端受压力作用，杆的变形是轴向缩短，横向增大。,轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。,力学简图：,2特

2、点,受力特点：两端受大小相等、方向相反的外力作用，外力(或 其合力) 的作用线与杆件的轴线重合。,变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。,一、轴向拉伸与压缩时杆的内力轴力,8-2 轴力与轴力图,杆受拉如图示，求横截面 mm 上的内力。,截面法：,用一平面假想地沿 mm 截面切开杆件，将其分为左右两段，任取一段分析。,设取左段分析。,左段受力：外力 F，内力,内力为一分布力系，将其向截面形心简化，合力为 FN。,在外力 F、内力FN作用下保持平衡，有,SFx= 0 FN F = 0 得 FN = F FN 为拉力,内力FN 的作用线与 F 重合，即与杆

3、件轴线重合，并垂直于横截面，称 FN 为轴力。,取右段分析时，结果相同：,FN = F,可知 FN 与 FN 为作用和反作用的关系。,可知 FN 只与外力有关，而与杆件横截面形状、尺寸、材料无关。,规定：,杆受拉伸长时，FN 为正；杆受压缩短时，FN 为负。,若在杆件中间部分还有外力作用，则杆件不同段上的轴力有所不同，可分段用截面法计算。,二、 轴力的计算,例1 杆受力如图示，F1 = 5 kN，F2 = 20 kN， F3 = 25 kN， F4 = 10 kN。试求各段轴力。,解： AB段轴力FN1：取截面 11,SFx= 0 FN1 F1 = 0 得 FN1 = F1 = 5 kN (拉

4、),例1 杆受力如图示，F1 = 5 kN，F2 = 20 kN， F3 = 25 kN， F4 = 10 kN。试求各段轴力。,BC段轴力FN2：取截面 22,SFx= 0 FN2 + F2 F1 = 0 得 FN2 = F1 F2 = 15 kN (压),FN1 = 5 kN,CD段轴力FN3：取截面 33,SFx= 0 F4 FN3 = 0 得 FN4 = F4 = 10 kN (拉),FN1 = 5 kN,FN2 = 15 kN,FN3 = 10 kN,三、 轴力图,在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。,可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。,横轴 x：杆横

5、截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。,正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。,5 kN,15 kN,10 kN,FN1 = 5 kN,FN2 = 15 kN,FN3 = 10 kN,5 kN,15 kN,10 kN,A,B,C,D,轴力图作用：,1. 显示出杆件各横截面上轴力的大小，并可确定出最大轴 力的数值及其所在横截面的位置；,2. 表示出杆件各段的变形是拉伸还是压缩；,3. 表示出杆件轴力沿轴线的变化情况。,FN1 = 5 kN,FN2 = 15 kN,FN3 = 10 kN,5 kN,15 kN,10 kN,A,B,C,D,可知：,1. 杆件AB段、 CD段

6、受拉，产生伸长变形； BC段受压，产生 缩短变形；,2. 杆件|FN|max= |FN2|=15 kN，位于BC段。,轴力图的特点：在集中力作用处，图中有突变， 突变值 = 集中载荷数值,问题提出：,拉压杆强度不仅与轴力大小有关，而且与杆横截面面积有关，须用应力来度量杆件的受力程度。,8-3 拉压杆的应力与圣维南原理,一、拉压杆横截面上的应力,等直杆受拉力作用，求横截面 mm上的应力。,s,横截面 mm上有轴力 FN ，FN分布在整个横截面上。,轴力 FN 横截面,应力也 横截面, 横截面上存在正应力 s ，其合力即为轴力 FN ，,即： FN = A s dA (a),仅由(a)式不能确定s

7、 与FN之间的关系。,应研究杆件受拉后的变形，以确定s 在横截面上的分布规律。,观察实验：,在杆侧表面作横向直线 ab、cd，abcd，间距 l。,现象：,1. 杆伸长变细；,2. 横向直线 ab、cd 各平移至 ab、cd，abcd；,两端加拉力F，使杆发生变形。,3. 间距： l l +Dl,平面截面假设：轴向拉伸过程中，原为平面的横截面在变形后 仍保持为平面。,由此推断：,两横截面间各纵向纤维,变形相同,性质相同,受力相等。, 轴力 FN 在横截面上均匀分布，各点正应力相等。,即 s = 常量,代入(a)式：得 FN = As dA = s AdA= s A,即为受拉杆横截面上正应力的计

8、算公式，式中 A 为杆横截面面积。,杆受压时同样分析，可得同样结果。,由式可知：,1. FN s ，A s；,2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。,说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。,注意：,1. 公式仅适用于轴向拉压情况；,2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。,讨论：,1. 当杆受几个外力作用时，各段轴力不相等，先求各段轴力 FNi ，找出最大轴力FNnax ，则最大正应力,2. 当杆由几段不等截面组成时，应分段求s i,在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。,为杆件最大工作应力，smax 所在截面称为危险截面。,其中最大正

9、应力即为杆的最大工作应力smax。,例2 例1中杆横截面 A= 3 cm2。试求其最大正应力。,FN1 = 5 kN，FN2 = 15 kN，FN3 = 10 kN,FN1 = 5 kN,BC段轴力为 |FN|max,为压应力。,FN2 = 15 kN,FN3 = 10 kN,解： 由例1 得各段轴力为,例3 已知正方形截面杆受力如图示，a= 24 mm，b = 37 mm， F= 50 kN。试求其最大正应力。,AB段：截面1-1,解： 1) 计算各段轴力,2) 确定smax,BC段：截面2-2,SFx= 0 FN1 F = 0,FN1 = F = 50 kN (压),SFx= 0 FN2

10、3F = 0,FN2 = 3F = 150 kN (压),AB段：,BC段：, smax = s2 = 110 MPa (压应力),例4 已知支架如图示，F = 10 kN， A1= A2= 100 mm2。 试求两杆应力。,截面法：取销B和杆1、2的一部分分析,解： 1) 计算两杆轴力,2) 计算两杆应力,受力：F、轴力FN1、 FN2,SFx= 0 FN2 FN1 cos 45 = 0, FN1 = 1.414 F =14.14 kN (拉),SFy= 0 FN1 sin45 F = 0,FN2 = F = 10 kN (压),AB杆：,BC段：,二、拉(压)杆斜截面上的应力,设有一等截面

11、直杆受拉力 F 作用。求：斜截面 k-k 上的应力。,采用截面法得斜截面上内力： Fa = F,斜截面面积Aa：且 Aa =A/cosa。,由平面假设同样可得斜截面上应力均布，即：,拉(压)杆的破坏有时沿斜截面发生，应讨论斜截面上的应力。,斜截面 k-k 的位置：,由其外法线n与杆轴线的夹角 a 确定：,由杆轴线至外法线n为逆时针时，夹角 a 为正，反之为负。,代入面积关系：,s 0 为横截面上的应力。, 斜截面 k-k 上的全应力为,k,可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。,pa = s0 cosa,将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行方向分解：,pa,即过杆内同一点的不同斜截

12、面上的应力不同。,sa = s (a ) ta = t (a ),讨论：,当 = 45时， s 45 = s0/2 t 45 = s0/2,当 = 0时(横截面) ，s 0 = s0= smax t 0 = 0,可知在 = 45时，有,即在45的斜截面上剪应力达到最大值。,当 = 90时(纵截面)，s 90 = 0 t 90 = 0,当 = 45时， s 45 = s0/2 t45 = s0/2,符号规定：,当ta绕杆内任一点顺时针方向时为正，,当sa 与斜截面的外法线n同向时为正，,反之为负。,由 = 45 和 = 45 时可知：相互垂直的截面上的切应力大小 相等，方向相反。,设相互垂直的截

13、面为： ， 1= + 90,即 与 1= + 90的截面上的切应力大小相等，方向相反。,即 与 1= + 90的截面上的切应力大小相等，方向相反。,切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反。,例5 直径为 d =1 cm 杆受拉力F =10 kN的作用。 试求与横截面夹角 30 的斜截面上的正应力和切应力， 并求最大切应力。,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,三、圣维南(Saint-Venant)原理,在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。,圣维南原理：外力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离 不大于杆的横向

14、尺寸的范围内受到影响。,截面1-1,截面2-2,截面3-3,由圣维南原理可知：在离开载荷作用处一定距离外，应力的分 布不受外载荷作用方式的影响。,因此，对静力等效的杆件，在外力作用区域外的应力分布是相同的。,8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能,一、拉伸试验与应力应变图,截面尺寸相同、拉力相同、但材料不同的杆件的承载能力不同，即构件的承载能力与其材料的力学性能有关。,力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中所呈现的在 变形和破坏方面所具有的特性和规律。,力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。,静拉伸试验：常温(室温)、静载(加载缓慢平稳)。 GB228-1987,标准试件：,圆试件：

15、长试件 l=5d 短试件 l=5d,平板试件： 长试件 l=11.3 短试件 l=5.65,试验设备仪器：,万能材料试验机、变形仪(引伸仪、传感器、x-y记录仪)。,试验时对试件加力、测力，测量变形。,记录试验数据：,由试验数据绘制 F - Dl 曲线，称为拉伸图。,例：低碳钢(含C0.25%) 的 F - Dl 曲线。,因试件尺寸不同，所得 F - Dl曲线不同，不能直接反映材料的力学性能。,将 F s = F /A Dl e = Dl /A,s e 曲线的形状、大小与试件尺寸无关。,得 s e 曲线，称为应力-应变图。,材料相同，s e 曲线即相同。,分析s e 曲线即可得材料拉伸时的力学

16、性能。,应力s = F /A,应变e = Dl / l,二、低碳钢拉伸时的力学性能,以Q235钢为代表，其 s e 曲线可分为四个阶段：,1. 弹性阶段： OA段,特点：,1) 变形为弹性变形：,去除拉力后， 变形沿OA消失。,2) OA 为直线：,表示正应力与正应变成正比，即有：,s e,直线 OA 段最高点A 点的正应力称为材料的比例极限：sp,Q235钢： sp 200 MPa,A 点的正应力称为材料的弹性极限：se,1. 弹性阶段： OA段,特点：,1) s 不增加， e 却迅速增加， 表明材料失去抵抗继续变 形的能力，称为屈服或流 动。,此时在光滑试件的表面可出现滑移线。,2) 卸载

17、后，试件产生较大塑性变形。,Q235钢： ss 235 MPa,2. 屈服阶段： AC段,3) B点正应力称为材料的屈服极限： ss,当构件工作应力达到屈服极限ss 时，构件产生显著塑性变形，改变其原有尺寸，将不能正常工作，所以应将工作应力限制在ss 以下。,设计中常取ss 作为低碳钢材料的一个重要强度指标。,1. 弹性阶段： OA段,特点：,1) 材料恢复了抵抗变形的能 力，即要使 e ，则必须 s ，称为材料的硬(强)化。,Q235钢： sb 380 MPa,2. 屈服阶段： AC段,2) 曲线最高点 D 点的正应力称为材料的强度极限： sb,sb 为材料所能承受的最大应力，也是低碳钢材料

18、的重要强度指标。,3. 硬(强)化阶段： CD段,1. 线弹性阶段： OA段,特点：,1) 从D点开始，试件局部显 著变细，称为“颈缩”。,2. 屈服阶段： AC段,低碳钢拉伸过程的四个阶段为：弹性阶段、屈服阶段、硬 (强)化阶段、颈缩阶段。,3. 硬(强)化阶段： CD段,4. 颈缩阶段： DE段,2) 出现颈缩后，使试件继续变形所需的拉力减小，曲线下降， 至E点试件在颈缩处被拉断裂。,5. 卸载与再加载规律,试验表明：,若在强化阶段某点 C 卸载，曲线沿平行于OA的直线CO1回到O1。,变形 OO1 消失，为弹性变形。,变形 O1O2 保留下来，为塑性变形(残余变形)。,重新加载时，曲线沿

19、 O1C 上升至C，再沿原曲线CDE变化。,可见：此时材料的比例极限提高，而断裂后的塑性变形减小， 称为材料的冷作硬化。,应用：冷轧钢板、冷拔钢筋、钢丝绳、齿轮喷丸、滚子碾压。,消除：冷作硬化使工件表面变硬变脆，进一步加工困难，可采 用退火处理消除。,6. 材料的塑性,断裂后量 l1、断口处d1(A1),则试件的残余变形为： l0 = l1 l,伸长率：,、 ，材料塑性变形 , 5% 时，称为塑性材料，如钢、铜、铝等；,低碳钢： = 20 30 %、= 60 70 % 。,断面收缩率：, 5% 时，称为脆性材料，如铸铁、玻璃、石材等。,由试验可得：,强度指标：sp、se、 ss、sb,塑性指标

20、： 、,弹性指标： E、m,三、其他材料拉伸时的力学性能,1. 其他塑性材料 (d 5% ),与低碳钢s e 曲线比较：,50钢的曲线与低碳钢相似，但sp、ss、sb 均较高；,硬铝无屈服阶段和颈缩阶段。,取残余应变 e = 0.2% 时所对应的应力作为屈服应力，称为名义屈服极限：s 0.2,65弹簧钢：s0.2 = 800 MPa，= 90 %,30铬锰硅钢无明显屈服阶段；,对无屈服阶段的材料，GB规定：,2. 脆性材料 ( 5% ),以灰铸铁为代表：,由试验及 s e 曲线可知：,无屈服、颈缩现象；, 脆性材料的抗拉能力较低，一般不用作受拉构件。,无明显直线部分；,拉断时 e 很小(0.4

21、 0.5 %) ，s 较低。,拉断时应力为其抗拉强度极限：s b。,断口垂直试件轴线，断面无收缩现象。,四、材料在压缩时的力学性能,压缩试验：,试件：,金属材料：短圆柱体，直径d，高度h，且d=(1.53)h；,非金属材料：立方体。,1. 塑性材料 ( 5% ),可知：压缩时 sp、se、 ss 与拉伸大致相同；,屈服后，试件被压扁，不破裂，无抗压强度极限。,低碳钢：其曲线至屈服阶段与拉伸时基本重合。,由拉伸试验可了解其压缩时的力学性能， 对塑性材料一般不需作压缩试验。,2. 脆性材料 ( 5% ),试件变形呈鼓状，最后沿4555 斜截面破裂。,压坏时应力称为抗压强度，为抗拉强度的 35 倍。

22、,灰铸铁：其压缩时曲线形状与拉伸时相似，但应力、变形显著 增大。, 脆性材料的抗压能力远高于其拉能力，常用作受压构件。,常用材料的力学性能见附录A(P345)。,等截面直杆轴向拉(压)时其横截面上正应力均布。,8-5 应力集中的概念,一、应力集中的概念,实验表明：,在直杆的截面尺寸突变处，正应力不再均布，而是出现应力集中现象。,应力集中：构件受载时，由于截面尺寸的突变而引起的局部 应力急剧增大的现象。,理论应力集中因数 K：,sn 为名义应力，smax为局部最大应力；,A0 为圆孔处横截面面积。,由于实际需要，有些零件必须制成切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上杆的截面尺寸发生突然

23、变化。,可知： K 1,一般孔愈小，角愈尖， K ，应力集中情况愈严重。,二、应力集中对构件强度的影响,静载荷下：,塑性材料：可不考虑应力集中的影响。,脆性材料：应考虑应力集中的影响。,灰铸铁：可不考虑应力集中的影响。,变载荷下：,无论是塑性材料或是脆性材料，应力集中将大大降低其强度。, 应采取措施，尽量减小构件的应力集中。,减小应力集中的措施：,采用圆孔、椭圆形孔，避免用方孔及带尖角的孔、槽；,阶梯轴采用圆角过渡，且圆角半径尽量大些；,在截面改变处采用光滑连接；,铸件连接采用圆角过渡等。,8-6 失效、许用应力与强度条件,一、失效与许用应力,试验表明：,在试件的正应力达到强度极限s b时，试

24、件断裂；,当正应力达到屈服极限s s时，试件屈服，产生显著的塑性变形。,发生断裂或屈服时，构件已不能正常工作，称为失效。,要使构件正常工作，应使其工作应力低于其材料的极限应力，,s u 由材料拉伸或压缩时的力学性能确定：,塑性材料：s u= s s (s 0.2 ),脆性材料：s u= s b (s b压 ),即有 s s u s u 为材料的极限应力。,此外，因为实际材料未必均匀，载荷估计难以精确等不利因素的影响，为确保构件工作安全，并给予适当的强度储备，,设计时将 s u 适当降低使用，作为构件工作应力的最大限度，称为许用应力，记作s 。,许用应力：,n 1，称为安全因数。,塑性材料：,脆

25、性材料：,ns 为屈服安全因数。,nb 为断裂安全因数。,一般取： ns =1.5 2.2 ， nb =3.0 5.0 或更高。,可知： n ，s 偏于安全，但构件尺寸大，经济性 ；,n ，s 强度储备，安全性 。, 应合理确定 n 。,确定安全因数 n 考虑的因素：,1. 材料的素质：组成的均匀程度、材质的好坏、塑性性能；,基本原则： 既安全，又经济。,一般可查阅有关规范标准或设计手册确定。,2. 受载情况：载荷估计的准确性、有否超载、静载或动载；,3. 计算方法的精确性：力学计算模型的近似性；,4. 构件的重要性：若破坏后造成后果的严重程度、加工制造与 维护保养的难易程度等；,5. 构件自

26、重的要求等。,二、强度条件,构件正常工作条件：最大工作应力不超过材料的许用应力。,对等截面直杆：,即： smax s ,上式称为强度条件，可用来解决三种类型的强度计算问题：,1. 校核强度,已知构件的材料、截面尺寸及受载情况(s 、A、FN)，判断构件强度是否足够。,若 smax s ，则构件安全。,工程实际中一般规定：smax不超过s 的5%时即满足强度要求。,2. 截面设计,已知构件所受载荷、所用材料 (s 和FN)，需确定其截面尺寸。,由：,得：,由 A 截面尺寸。,若选用标准件时，可根据此 A 值查标准选取。,3. 确定许可载荷,已知构件材料、截面尺寸及受载形式 (s 、A、F 作用方

27、式)，要求确定构件所能承受的最大载荷。,由：,得：,由 FNmax F 。,例6 例8-4(P139) 已知一空心圆截面杆，外径 D =20 mm，内径 d =15 mm，受轴向拉力 F=20 kN作用，材料屈服极限为 s =235 MPa，安全因数 ns=1.5。试校核此杆的强度。,FN = F = 20 kN,解：(1) 杆轴力,(2) 杆应力,(3) 许用应力,(4) 结论, =145.5 MPa =156 MPa 此杆满足强度要求。,例7 已知结构如图示，梁AB为刚性，钢杆CD直径 d = 20 mm， 许用应力 =160 MPa，F = 25 kN。求：(1) 校核CD杆的强度； (

28、2) 确定结构的许可载荷 F ； (3) 若F = 50 kN，设计CD杆的直径。,解：(1) 校核CD杆的强度,CD杆轴力FNCD：,SMA= 0 FNCD2a F 3a = 0, FNCD = 1.5F,CD杆应力 CD：, CD CD杆强度足够。,(2) 确定结构的许可载荷 F , F = 33.5 kN,(3) 若F = 50 kN，设计CD杆的直径。,圆整，取直径 d = 25 mm。,例8 图示结构，BC杆 BC=160 MPa，AC杆 AC=100 MPa， 两杆横截面面积均为 A = 2 cm2。求：结构的许可载荷 F 。,解：(1) 各杆轴力, FNAC = 0.518F F

29、NBC = 0.732F, F 3.86 104 N= 38.6 kN,SFx= 0 FNBC sin30 FNAC sin 45 = 0,SFy= 0 FNBC cos30 FNAC cos 45 F = 0,(2) 由AC杆强度条件：,0.518F A AC = 2104 100 106, F 4.37104 N= 43.7 kN,(3) 由BC杆强度条件：,0.732F A BC = 2104 160 106,(4) 需两杆同时满足强度条件：应取较小值，F = 38.6 kN,8-7 胡克定律与拉压杆的变形,一、拉压杆的轴向变形与胡克定律,轴向拉伸和压缩试验表明：,取比例系数 E： s

30、= Ee 称为胡克定律。,比例系数 E 称为材料的弹性摸量，单位：GPa 1GPa=109 Pa,由s e 曲线可知：,E 为图中直线 OA 段的斜率，即,E ，材料受力后越不易变形，是用来衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。,碳钢： E = 196 210 GPa 。,在比例极限s p内，正应力与正应变成正比，即 s e,轴向拉伸试验中：,在 F 作用下：,杆的轴向伸长变形量为：,得：,l = l1 l,此时：,杆沿轴向的正应变为：,代入胡克定律 s = Ee,整理：,为胡克定律的另一表达形式，可用来计算杆沿轴向的弹性变形。,l l1 ， b b1,杆长l、横向尺寸b,可知： l 与 FN、

31、l 成正比，与 A 成反比。,另外：l 与 FN 符号相同，轴向拉伸时，杆伸长，l 为正； 轴向压缩时，杆缩短，l 为负。,当 FN、l 一定时， EA ， l ，, 称 EA 为杆横截面的拉压刚度，表示轴向拉压时杆抵抗弹性 变形的能力。,当杆为几段不同截面组成，或各段轴力不同时，杆的变形为：,轴向拉伸时，杆横向尺寸减小： b b1 b = b1 b,试验表明：在 s sp 时，材料的横向正应变与轴向正应变之 比的绝对值为一常数。,即：,横向正应变：,可知：轴向拉伸时 e 为负，轴向压缩时e 为正。,称 m 为泊松比(横向变形系数)，无量纲。,m 也反映了材料所固有的弹性性能。,低碳钢：m =

32、 0.25 0.33,几种常用材料的弹性模量 E 与泊松比 m 的数值见表8-1，P143。,表 8-1 材料的弹性模量与泊松比,例9 变截面杆受力如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2，E = 200 Pa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。,AC段： FN1 = 30 kN (压),解： 1) 计算各段轴力,2) 计算各段变形,CD段： FN2 = 20 kN (拉),AB段：,CD段：,DB段： FN3 = 20 kN (拉),DB段：,例9 变截面杆受力

33、如图示。已知 F1= 50 kN， F2= 20 kN，l1 = 120 mm，l2 = l3 = 100 mm，A1 = A2 = 500 mm2， A3= 250 mm2，E = 200 Pa。 试求各段杆的变形及杆的总变形。,3) 杆的总变形, 杆的总变形为,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。 求：图中节点C的位移。,解： 1) 计算各杆轴力,AC杆： FNAC (拉力),BC杆： FNBC (压力),2) 计算各杆变形,2) 计算节点C的位移：,过 C1 作 AC1 的垂线，,过 C2 作 BC2 的垂线，,交点即为变形后C点的位置C4(近似)。,实际

34、位置为 C ，小变形条件下误差很小。,例10 结构如图示，已知lAC、lBC、AAC、ABC、F、E、a。 求：图中节点C的位移。,DlAC,C1,C3,C4,O,C的水平位移：,C2,DlBC,C的垂直位移：, 节点C的位移：,解题方法：考虑三个方面,静力平衡条件；物理关系：胡克定律(变形公式)；变形几何关系：小变形条件。,概括为：平衡求内力；沿杆绘变形，垂线代圆弧，交点得位移。,注意：各杆变形应与其受力情况相对应。,静不定问题的处理方法：,8-8 简单拉压静不定问题,静定问题： 未知力数 静力平衡方程数,静不定问题(超静定问题)： 未知力数 静力平衡方程数,此时仅由静力平衡方程不能求解全部

35、未知量，必须建立补充方程，与静力平衡方程联立求解。,一、静定与静不定问题,未知力数 静力平衡方程数 = 静不定问题的次数(阶数),由数学知识可知：n 次静不定问题必须建立 n 个补充方程。,二、简单静不定问题分析举例,除静力平衡方程外须寻求其他条件。,材料力学中从研究变形固体的变形出发，找出变形与约束的关系(变形协调方程)、变形与受力的关系(物理方程)，建立变形补充方程，与静力平衡方程联立求解。,例11 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l ，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。 试求：杆 1、2的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1

36、a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F = 0 (a),2) 变形几何关系,Dl2= 2Dl1 (b),3) 物理关系,代入(b),例11 设横梁为刚性梁，杆 1、2 长度相同为 l ，横截面面积分别 为A1、A2，弹性模量分别为 E1、E2，F、a 已知。 试求：杆 1、2的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a F 2a = 0,FN1+ 2FN2 2F = 0 (a),代入(b),联立(a) (c) 解之,注意：静不定问题中各杆轴与各杆的拉压刚度有关。,静不定问题的解题方法：,1. 静力平衡条件静力平衡方程；,2.变形几何关系

37、变形谐调条件；,3.物理关系胡克定律。,变形补充方程,解题步骤：,1. 由静力平衡条件列出应有的静力平衡方程；,2.根据变形谐调条件列出变形几何方程；,3.根据胡克定律(或其他物理关系)建立物理方程；,4.将物理方程代入变形几何方程得补充方程，与静力平 衡方程联立求解。,解题关键：又变形谐调条件建立变形几何方程。,注意：假设的各杆轴力必须与变形关系图中各杆的变形相一致。,例12 杆 1、2、3 用铰链连接如图，各杆长为：l1=l2 =l、l3，各杆 面积为A1=A2=A、A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。 F、a 已知。 求各杆的轴力。,解： 1) 计算各杆轴力,SFx= 0 FN

38、1sina + FN2sina = 0,SFy= 0 2FN1cosa + FN3 F = 0 (a),FN1= FN2,2) 变形几何关系,Dl1= Dl3 cosa (b),3) 物理关系,(b),代入(b),联立(a) (c) 解之,连接件：,在构件连接处起连接作用的零部件，称为连接件。,如：螺栓连接：,8-9 连接部分的强度计算,例如：螺栓、铆钉、销、键等，此外剪板机剪断钢板。,连接件虽小，但起着传递载荷的作用。,铆钉连接：,工作时传递横向载荷。,工作时传递横向载荷。,剪断钢板：,钢板受剪切力作用。,若工作时连接件失效，则会影响机器或结构的正常工作，甚至会造成灾难性的严重后果。,键连接

39、,工作时传递转矩。,连接件的受力和变形一般较复杂，难以进行精确分析。,工程上根据实践经验，采用简化的实用方法进行计算。,一方面对连接件的受力和应力分布进行简化，计算其“名义”应力；同时对同类的连接件进行破坏试验，确定材料的极限应力，从而建立有关的强度条件，进行实用计算。,1. 剪切的概念及特点,以铆钉为例：,受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近 的平行力系作用。,变形特点：构件沿两平行力系间的相 邻横截面发生相对错动。,一、剪切与剪切强度条件,发生相对错动的横截面称为剪切面。,受力过大时铆钉沿剪切面被剪断。,同时存在两处剪切面时称为双剪。,2. 剪切时的内力,截面法：,剪切面

40、上内力 Fs，与截面相切。,SFx= 0 F + F s = 0,F s 称为剪力，为一分布力系。, F s = F,此外剪切时常伴有挤压作用。,挤压：一种局部受压现象。,3. 剪切时的应力,剪力Fs 位于截面内，组成 Fs的应力也位于截面内。,假定：剪切面上的切应力均匀分布。, 剪切面上存在切应力 t 。,t 称为名义切应力(平均切应力)。,As为剪切面的面积。,注意：剪切面与剪力平行。,4. 剪切强度条件,由剪断试验测定剪断时的载荷Fb，,考虑安全因数，得剪切许用切应力 t ：,得材料的剪切极限切应力 t b ：, 剪切强度条件,由剪切强度条件可进行三种类型的剪切强度计算。,常用材料的剪切

41、许用切应力可查阅有关资料。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,挤压的概念及特点,挤压：连接件中受剪切的同时发生的局 部受压现象。,在连接件接触表面局部受压处的力称挤压力 Fbs。,当挤压应力过大时会引起挤压破坏。,二、挤压与挤压强度条件,如铆钉和孔被挤压产生显著的塑性变形、压溃，使连接松动，发生失效。,由挤压力引起的应力称为挤压应力 sbs。,挤压应力只分布于接触面的附近区域，在接触面上的分布也比较复杂，工程中采取简化的实用方法进行计算。,假定：挤压面上的挤压应力均匀分布。,Fbs为挤压力，Abs为挤压面的面积。,挤压强度条件：,sbs为材料的许用挤压应力，可查阅有关设计手册。,由挤压强度条件

42、可解决三种类型的挤压强度计算问题。,挤压面面积 Abs的计算：根据接触面的情况而定。,校核强度,截面设计,确定许可载荷,接触面为平面：如平键。,挤压面面积 Abs按接触面实际面积计算，即,接触面为圆柱面的一部分：如螺栓、铆钉、销等。,挤压应力的分布为：,挤压应力的最大值位于接触面的中点，,计算中以直径平面面积ABCD作为挤压面的面积：,所得挤压应力数值与接触面上实际最大应力值大致相等。,注意：挤压面面积与挤压力垂直。,分析：,例13 一铆钉连接如图示，受力F =110 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d =1.6

43、 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿1-1截面被拉断；,钢板沿2-2截面被拉断，一般较少见。,解：1) 铆钉剪切强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F = 28 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d =1.6 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。,2) 挤压强度, 剪切强度满足。,bs bs 挤压强度满

44、足。,3) 钢板拉伸强度,例13 一铆钉连接如图示，受力F = 28 kN，钢板厚度为 d =1cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用正应力为 = 160 MPa ，铆钉的直 径 d =1.6 cm，许用切应力为 =140 MPa ，许用挤压应力 为 bs = 320 MPa。试校核铆钉连接的强度。, 拉伸强度满足。, 综上，铆钉连接安全。,例14 木榫接头如图所示，a = b =12 cm，h = 35 cm，c = 4.5 cm, F = 40 kN。试求接头的切应力和挤压应力。,如图示：,解：1) 剪切面、挤压面,2) 切应力,3) 挤压应力,解：1) 键的受力分析如图,例15 齿轮

45、与轴由平键(bhl = 2012100)连接，传递的转矩 M = 2 kNm，轴直径 d = 70 mm，键的许用切应力= 60 MPa ，许用挤压应力jy= 100MPa。试校核键的强度。,SMO= 0 F d/2 M = 0,2) 键的剪切强度,例15 齿轮与轴由平键(bhl = 2012100)连接，传递的转矩 M = 2 kNm，轴直径 d = 70 mm，键的许用切应力= 60 MPa ，许用挤压应力jy= 100MPa。试校核键的强度。,3) 键的挤压强度, 键满足强度 要求。,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的

46、直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 = 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 MPa。 试设计键的长度 l 。,解：1) 键的受力分析如图,SMO= 0 F d/2 M = 0,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 = 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 MPa。 试设计键的长度 l 。,2) 由键剪切强度条件,例16 齿轮与轴由平键( b =16 mm，h =10mm)连接，传递的扭矩 M =1600 Nm，轴的直径 d = 50 mm，键的许用切应力为 =

47、 80 MPa ，许用挤压应力 bs= 240 MPa。 试设计键的长度 l 。,3) 由键挤压强度条件, 应 l = 53.3 mm，圆整，取 l = 55 mm,受力分析如图：,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t =1 cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用应力为 = 160 MPa；铆钉直径 d =1.6 cm，许用剪应力 =140 MPa ，许用挤压应力 bs= 320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,假定每个铆钉受力相等。,例17 铆钉连接如图示，受力F=110kN，已知钢板厚度 t =1 cm， 宽度 b = 8.5 cm ，许用应力为 = 160 M

48、Pa；铆钉直径 d =1.6 cm，许用剪应力 =140 MPa ，许用挤压应力 bs= 320 MPa，试校核铆钉连接的强度。,分析：,可能的破坏形式有：,铆钉沿剪切面剪切破坏；,铆钉和钢板挤压破坏；,钢板沿截面2-2或截面3-3被拉断；,截面2-2和3-3为危险面：,解：1) 键的剪切强度,2) 键的挤压强度,3) 钢板的拉伸强度,截面2-2：,截面3-3：, 综上，铆钉连接安全。,例18 已知钢板厚度 t =10 mm，剪切强度极限为tb= 300 MPa。 现需在钢板上冲出直径 d = 25 mm的孔，求冲剪力Fb数值。,分析：,破坏条件为： t t b,解：,Fb t bp d t = 300 106 p 10 25 10-6 = 235619 N = 235.6 kN,