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1、第三章 扭 转,g：剪切角,切应变,j：相对扭转角,外力偶作用平面和杆件横截面平行,3-1 概 述,一、传动轴上的外力偶矩,3.2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,1分钟输入功：,1分钟me作功,当杆件只受到位于其横截面内的扭转力偶作用时。杆件将会产生扭转变形。 在该杆BC区间内作m-m截面,取截面左侧杆段为研究对象，如图所示，此时杆件横截面上只有Mx，记作扭矩T，其余的内力分量均为零。,对未知的扭矩按正方向设定,扭矩的符号按右手法则规定，即右手四指指向扭矩的转向，拇指离开截面的扭矩为正，指向截面的扭矩为负。,由研究对象的平衡方程可知，m-m截面的扭矩 T=m1-m2 等于其一侧的外力偶矩的代
2、数和。,例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。,解：计算外力偶矩,二、扭矩及扭矩图,1.横截面上的内力：扭矩(T) 2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。,例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。,解：已知,477.5Nm,955Nm,637Nm,作扭矩图如左图示。,R0 -薄壁圆筒,规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正,3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切,扭转实验前,平面假设成立,相邻截面绕轴线作相对转动,横截面上各点的剪（切）应
3、力的方向必与圆周线相切。,纵向线,圆周线,扭转实验后,结论,由几何关系知：,剪切胡克定律（线弹性范围适用）,另外有：,G为材料的剪切弹性模量,1.薄壁圆筒的扭转的切应力,2.剪切胡克定律,3.切应力互等定理,单元体：微小的正六面体,在扭转时，左右两侧面（杆的横截面）上只有切应力，方向与y轴平行，前后无应力。,由平衡条件：,切应力互等定理：两个相互垂直的微面上的切应力（、）成对存在，数值相等，且都指向（或背离）两平面的交线。,注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。,纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）,一、横截面上的应
4、力,1、变形几何关系,3.4 圆轴扭转时的应力 强度条件,2、物理关系(剪切虎克定律),3、静力学关系,极惯性矩,应力公式,1)横截面上任意点：,2)横截面边缘点：,其中：,关于极惯性矩和抗扭截面系数,Ip 称为极惯性矩，Wt 称为抗扭截面系数，它们均与横截面的形状、尺寸有关。,a. 圆截面,b. 空心圆截面,式中：,得：,低碳钢扭转破坏,铸铁扭转破坏,二、斜截面上的应力,三、强度条件,强度条件： ， t许用切应力；,轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。,根据强度条件可进行：强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。,理论与试验研究均表明
5、，材料纯剪切时的许用切应力t与许用正应力之间存在下述关系：,对于塑性材料 t (0.5一0.577) 对于脆性材料， t (0.81.0) l 式中， l代表许用拉应力。,例 某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kNm，t=100MPa，试校核轴的强度。,解：计算截面参数：,由强度条件：,故轴的强度满足要求。,同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。,由上式解出：d=46.9mm。,空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：,计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。,相对扭转角：,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱
6、。,刚度条件,其中： ，许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。,3.5 圆轴扭转时的变形 刚度条件,单位长度的扭转角：,rad,rad/m,d,一、单位长度相对扭转角 相对扭转角,比较拉压变形：,公式适用条件：,1、当p（剪切比例极限）公式才成立,2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）,4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算,3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）,称为抗扭刚度,若圆轴的(T/GIP) 分段为常数，其两端面间的相对扭转角为,例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,解：,t,例：圆
7、截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为 88。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。,解：由,t,例：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩m=10KNm,轴长l=1m,剪切模量G=80GPa，实心轴直径为104mm，空心轴外径为120mm，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角。,解：,实心轴,空心轴,例：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm，G=80GPa， ，,试求截面C相对截面B的扭转角。,解：,假设A
8、截面不动,方向同,第一种解法,第二种解法 叠加法,在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。,负号表明,二、刚度设计,圆轴除应满足强度条件外，还不允许有过大的弹性变形，即要满足一定的刚度条件。单位长度扭转角表示圆轴扭转变形的剧烈程度，因而圆轴扭转刚度条件表达为,单位长度相对扭转角的数值可从设计手册中查到。 利用上式可以解决刚度校核、截面设计和许可载荷计算等三方面的问题，称为刚度设计。,例：传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, 试选择轴的直径。,解：,可选d=95mm,例 图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面
9、A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa， ，0.50m。,解： 1扭转变形分析,利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm,设其扭转角分别为AB和BC，则：,各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。,由此得轴AC的总扭转角为,2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：,该轴的扭转刚度符合要求。,例 钢制空心圆轴的外直径D100 mm，内直径d50 mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超
10、过1.5，材料的剪切弹性模量G80.4 GPa。,解：1确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有,1. 求该轴所能承受的最大扭矩； 2. 确定此时轴横截面上的最大剪应力。,由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为,空心圆轴截面的极惯性矩,轴所能承受的最大扭矩为,9.688103 N.m9.688 kN.m,下面框图表示了求解过程：,若对轴同时提出强度和刚度的要求,三、圆轴扭转时的强度条件和刚度条件,单位长度扭转角,例 如图所示，某传动轴输入功率PA=7.5kW，输出功率PB=5kW，PC=2.5kW，该轴转速n=300r/min，材料为45钢，G=80GPa，=40MPa，=1.510-
11、3/m。求：1）试设计轴的直径； 2）若LBA=1.5m，LAC=1m，试计算 BC。,解：1）设计轴的直径首先计算三处的扭转力偶矩,该轴扭矩图如图b所示，最大扭矩Tmax发生在BA段，且Tmax=159.2Nm。按强度条件,按刚度条件,若要求强度条件与刚度条件均得到满足，可取D=30mm，由计算可知，此例中刚度条件是圆轴设计的控制条件，即,2）若LBA=1.5m，LAC=1m，试计算 BC。,例 实心圆轴受力如图示，已知材料的 试设计轴的直径 d 。,解 1、绘制扭矩图如图。,2、由强度条件设计 d 。,解得直径,3、由刚度条件设计 d 。,从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 d
12、=102mm 。,四、扭转超静定问题,例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,即：,例 圆轴有A，B两个凸缘，在扭转力偶矩Me作用下发生了变形。 把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除Me。 设轴和筒的抗扭刚度分别是GIp1和GIp2，试求轴内和筒内的扭矩。,解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩Me解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形而圆筒则阻抗其恢复。达就使得在轴内和简内分别出现扭矩T1和T2。 设想用横截面把轴与简切开因这时已无外力偶矩，平衡方程是,根据以上条件可解扭转超静定问题,*扭转应
13、变能与应变能密度,1、应变能,2、应变能密度,圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,1、螺旋弹簧簧丝的轴线是一条空间螺旋线，其应力和变形的精确分析比较复杂。但当螺旋角很小时，5，便可忽略 的影响，近似地认为，簧丝横截面与弹簧轴线(即与F力)在同一平面内。这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。 当簧丝检截面的直径d远小于弹簧团的平均直径D时还可以略去簧丝曲率的影响，近似地用直杆公式计算。,2、取以簧丝的任意横截面出上面部分作为研究对象。在密圈情况下，认为压力F与簧丝横截面在同一平面内。为保持取出部分的平衡，横截面上必有一个通过截面形心的剪力Fs和一个扭矩T,内力,3、应力,剪力Fs引起的切应力,扭矩T引起的切应力
14、,两项相比，前者1很小，不到5%，故可略去不计。按扭转计算。对与实际不符的因素，用曲度系数k进行修正,4、,表3-1可查曲度系数k值,弹簧的变形用应变能推出,扭转切应力,应变能密度,=,若弹簧刚度,则,3-6 非圆截面杆的扭转,圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设 的基础上。 对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。 因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,非圆截面杆在扭转时有两种情形:,1、自由扭转或纯扭转 在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有
15、切应力,而没有正应力。,2、约束扭转,扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。,对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。,重点讨论矩形截面杆扭转,矩形截面杆的扭转,1、在截面周边各点处的切应力均与周边平行,且组 成一个与扭转方向相同的环流；2、截面的四个角上切应力均为零；3、最大切应力发生在长边中点处；4、短边中点处的切应力为该边上各点处切应力中的 最大值。,表,3.1,矩形截面杆扭转时的系数,h/b,1.0,1.2,
16、1.5,2.0,2.5,3.0,4.0,6.0,8.0,10.0,0.208,0.219,0.231,0.246,0.258,0.267,0.282,0.299,0.307,0.313,0.333,当h/b10时，截面为狭长矩形：,=1/3,沿长边各点的切应力基本相等，仅在角点处迅速变为零；切应力沿厚度方向近似线性分布。,例：横截面为h=100mm、b=45mm的矩形截面杆，受扭矩T=3KNm作用，试求横截面上长边中点处和短边中点处的扭转切应力。如采用横截面面积相等的圆截面杆，试比较两者的最大切应力。,解：,(1)矩形截面：,h/b=2.0时，=0.246, =0.796h/b=2.5时，=0.258, =0.767,线性插入法,h/b=2.0,=0.246,2.5,0.258,2.22,=?,h/b=2.22时,长边中点处的切应力为横截面上的最大切应力,短边中点处的切应力为该边上各点处切应力的最大值,(2)圆形截面：,圆形截面面积A=,矩形截面面积A=10045=4500,d=75.7mm,在面积相等的情况下，矩形截面的最大切应力比圆形截面的最大切应力大。矩形截面愈狭长，其结果愈显悬殊。,两式中 是与截面尺寸有关的系数，根据 的比值可查教材中表4-1。,最大切应力发生在长边中点处：,单位长度的扭转角为：,当 时，为狭长矩形，此时系数 。,
