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1、1,第四章 扭转,4-1 工程实际中的受扭杆,4-2 受扭杆的内力扭矩 扭矩图,4-3 薄壁圆筒的扭转,4-4 圆轴扭转时的应力与应变,4-5 圆轴扭转时的应力状态分析,4-6 圆轴扭转时的破坏现象,4-7 圆轴扭转时的强度与刚度计算,*4-8 非圆截面杆在扭转时的应力与变形,2,4-1 工程实际中的受扭杆,变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . 杆表面的纵向线变成螺旋线； . 实际构件在工作时除发生扭转变形外， 还伴随有弯曲或拉、压等变形。,受力特点： 一对转向相反、作用在垂直于杆轴线的两个平面内的外力偶。,3,圆轴扭转变形,工程实例：如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、钳工用
2、双手转动丝锥攻螺纹时的丝锥杆、汽车方向盘下的轴等。,4,生活中的受扭杆件,5,工程中的受扭杆件,6,7,8,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,9,4-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图,. 传动轴的外力偶矩,作用在轴上的外力偶之矩通常不是直接给出的，往往要由轴所传递的功率和轴的转速来计算。,如上图，设动力经主动轮输入、然后由从动轮输出。若已知轴的转速为n(r/min),主动轮的输入功率为 （Kw) 则在t秒内输入的功为 。,10,输入的功由带轮以力偶（其矩为m ）的形式作
3、用于轴上。外力偶m在t秒钟所作的功，应等于带轮输给轴的功，即,由此求出计算外力偶矩m 的公式为,其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（r/min）,11,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。,第四章 扭转,12,. 扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩Mn 可利用截面法来计算。,第四章 扭转,13,扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,第四章 扭转,14,例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 NK1=500kW，从动轮输出 NK2=150kW，NK3=150kW，NK4=200
4、kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,15,求扭矩（扭矩按正方向设）,16,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,17,扭矩图简洁画法,扭矩图应与原轴平行对齐画,18,作内力图要求：,1 . 正确画出内力沿杆轴分布规律,2 .标明特殊截面的内力数值,4 . 注明单位,3 . 标明正负号,19,1、变形现象的观察,实验前：,绘纵向线，圆周线；,4-3 薄壁圆筒的扭转,施加一对外力偶 m。,20,薄壁圆筒的扭转,21,实验后：,圆周线不变；纵向线变成斜直线。,结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度 。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平
5、行四边形。,22,2、横截面上的应力, ：, = 0 ， 0, 方向：对轴线的矩与扭矩一致。, 垂直于计算点所在半径；,假设 沿壁厚均匀分布；,（为什么？）,23,由,薄壁圆筒横截面上剪应力的计算公式：,， 于是有,根据应力分布可知,24,3、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，方向共同指向或共同背离两平面的交线。,25,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,26,4、剪切虎克定律：,27,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，剪应力与剪应变成正比关系。,
6、28,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,29,思考题：图示薄壁圆筒，其截面厚度 ，求横截面上的剪应力。,作业：4-7,30,4-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,. 横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面)
7、,内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),31,32,1. 表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度g 。平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有剪应力，且垂直于半径。,(1) 几何方面,33,2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：,即,34,式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用 j （或u）来表示，对于给定的横截面为常量。,可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的剪应变gr 均相同
8、；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。,第四章 扭转,35,(2)物理方面,由剪切胡克定律 t = Gg 知,可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的剪应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。,36,(3) 静力学方面,其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处剪应力计算公式,以 代入上式得：,37,式中Wp称为抗扭截面模量，其单位为 m3。,横截面周边上各点处(r = r)的最大剪应力为,38,实心圆截面：,圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp,39,思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？
9、,空心圆截面：,40,例题4-2 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大剪应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,41,解：,由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得,42,两轴的重量比即为其横截面面积之比：,空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。,43,. 强度条件,此处t为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表达强度条件。,44,低碳钢扭转
10、试验开始,低碳钢扭转试验结束,45,低碳钢扭转破坏断口,46,铸铁扭转破坏试验过程,铸铁扭转破坏断口,47,例题4-3 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用剪应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,48,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大剪应力,49,3. 校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件
11、。,50,4-5 等直圆杆扭转时的变形刚度条件,. 扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。,51,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,52,解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：,例题4-4 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截
12、面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。,53,3. 横截面C相对于B的扭转角：,2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：,54,. 刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴j0.150.30 ()/m；,对于一般的传动轴j2 ()/m。,55,解: 1. 按强度条件求所需外直径D,例题4-5 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用剪应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Mnmax = 9.56
13、kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。,56,2. 按刚度条件求所需外直径D,3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知,57,思考： 从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上剪应力沿直径CD的分布规律，由剪应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的剪应力。试问此径向截面上剪应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？,58,作业：4-8,4-9,4-16,59,4-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横截面不再保持为平
14、面而发生翘曲。平面假设不再成立。,自由扭转(纯扭转)等直杆，两端受外力偶作用，端面可自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度完全相同，横截面上只有剪应力而无正应力。,60,约束扭转非等直杆，或非两端受外力偶作用，或端面不能自由翘曲。由于各横截面的翘曲程度不同，横截面上除剪应力外还有附加的正应力。,第四章 扭转,61,. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,62,(1) 一般矩形截面等直杆,横截面上的最大剪应力在长边中点处：Wt扭转截面系数，Wt=bb3，b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的剪应力： t =ntmaxn 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,单位长度扭转角： It相当极惯性矩， , a 为与m = h/b 相关的因数(表3-1)。,63,表4-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b 和 n,64,(2) 狭长矩形截面等直杆,65,思考：如图中所示，矩形截面杆在扭转时其横截面上边缘处的剪应力总是与周边相切，而横截面顶点处的剪应力总是等于零。为什么？,一般矩形截面等直杆,狭长矩形截面等直杆,
