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1、,第三章 扭 转,Mechanics of Materials,Chapter 3 Torsion,材料力学,第三章 扭 转 (Torsion),3-1 扭转的概念和实例(Concepts and example problem of torsion),3-2 扭转内力的计算 (Calculating internal force of torsion ),3-3 薄壁圆筒的扭转(Torsion in thinwall circular tube),3-4 圆轴扭转的应力分析及强度条件(Analyzing stress of circular bars & strength condition
2、),3-8 开口和闭合薄壁截面杆的自由扭转 (Free torsion of open and closed thin-walled members),3-5 圆杆在扭转时的变形 刚度条件(Torsional deformation of circular bars & stiffness condition),3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形 (Calculation of the stress and deformation in close-coiled helical springs）,3-7 非圆截面杆的扭转 (Torsion of noncircular prismatic bar
3、s),3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion ),一、工程实例（Example problems),5,扭转引例,扭转引例续,二、受力特点（Character of external force),杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.,三、变形特点（ Character of deformation ),杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.,变形特点,3-2 扭转的内力的计算(Calculating internal force of torsion ),从动轮,主动轮,从动轮,一、外
4、力偶矩的计算 (Calculation of external moment),Me作用在轴上的力偶矩( N m ),P轴传递的功率(kW),Ps 轴传递的功率(PS),n轴的转速( r/min ),在n n 截面处假想将轴截开取左侧为研究对象,二、内力的计算 (Calculation of internal force),1、求内力(Calculating internal force),截面法 (Method of sections),采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正，反之为负.,2、扭矩符号的规定(Sign convention for torque),3、扭矩图（
5、 Torque diagram),用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方.,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,例题1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图.,解:计算外力偶矩,Me4,A,B,C,D,Me1,Me2,Me3,n,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上
6、的扭矩 .假设 T 2为正值.,结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,A,B,C,D,Me1,Me3,Me2,同理，在 BC 段内,Me4,A,B,C,D,同理，在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同.,Me4,Me1,Me3,Me2,作出扭矩图,从图可见，最大扭矩在 CA段内.,3-3 薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thinwalled cylindrical Vessels),1.实验前,1）画纵向线，圆周线；2）施加一对外力偶.,一、应力分析（Analysis of stress),2.实验后, 圆筒表面的各圆周线的形
7、状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；, 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.,薄壁圆筒扭转示例,3、推论（Inference),横截面上无正应力，只有切应力；,切应力方向垂直半径或与圆周相切.,圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.,此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.,4、推导公式 (Derivation of formula),薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致.,二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem),1、在
8、单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于 y 轴平行.,可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。,由平衡方程,其矩为( dy dz) dx,2、 要满足平衡方程,在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为,此力偶矩与前一力偶矩,数量相等而转向相反，从而可得,( dy dz) dx,3、切应力互等定理 （Shearing Stress Theorem),单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线.,纯剪切单元体：（Element in pure shear ),单元体平面上
9、只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.,切应力互等示例,式中， r 为薄壁圆筒的外半经.,三、剪切胡克定律（Hookes law for shear),由图所示的几何关系得到,薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 Me （在数值上等于 T ）成正比.,弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比的 关系,从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间的线性关系.,该式称为材料的剪切胡克律.(Hookes law for shear),G 剪切弹性模量,思考题：指出下面图形的切应变,2,0,变形几何关系,物理关系,静力关系,3-4 圆杆扭转的应力分析 强度条件（Analyzing s
10、tress of circular bars & strength condition),1、变形现象(Deformation phenomenon),1) 轴向线仍为直线，且长度不变；,2) 横截面仍为平面且与轴线垂直；,一、变形几何关系(Geometrical Relationship of Deformation),3) 径向线保持为直线，只是绕轴线旋转.,2、平面假设（Plane assumption)变形前为平面的横截面 ，变形后仍保持为平面.,O1,O2,3、几何关系（Geometrical relationship),倾角 是横截面圆周上任一点A 处的切应变, d 是 b-b截面
11、相对于a-a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度.,经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度，它也就是横截面半径上任一点E处的切应变,同一圆周上各点剪应力 均相同 ，且其值与 成正比， 与半径垂直.,二、 物理关系(Physical Relationship),由剪切胡克定律,三、静力关系 (Static Relationship）,1、公式的建立（Establish the formula),结论,代入物理关系中得到,式中：T 横截面上的扭矩, 求应力的点到圆心的距离,IP 为横截面对圆心的 极惯性矩,Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.,2、 的计算
12、（Calculation of max ),(Maximum Shear-Stress Formula),r,O,T,dA,dA,（1）实心圆截面 (Solid circular section),3、极惯性矩和抗扭截面系数的计算,（2）空心圆截面 (Hollow circular section),其中,例题2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.,(1) 画轴的扭矩图；,(2) 求轴的最大切应力，并指出其位置.,形变分析动画示例,（1）画轴的扭矩图,BC段,T1+M2=0,T2+M2-M1=0,T2 =2kN
13、m,AB段,（+）,最大扭矩发生在BC段Tmax=4kNm,（2）求轴的最大切应力，并指出其位置,max,最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.,max,1、 数学表达式（Mathematical formula),四、强度条件 (Strength Condition),A,B,C,解：作轴的扭矩图,MA,MB,MC,分别校核两段轴的强度,例题3 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC 段的直径 d2=100mm. 扭转力偶矩为MA = 22 kNm，MB = 36 kNm ，MC =14 kNm . 已知材料的许用切应力 = 80 MPa，试校核该轴的强度.,因此，该轴满足强
14、度要求.,例题4 实心圆轴和空心圆轴（图a、b）材料、扭转力偶矩 m 和长度 l 均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.,l,l,(a),(b),分析：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T .,已知：,d,d2,D2,因此,解得,两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比，,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.,1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的,3-5 杆在扭转时的变形 刚度条件(T
15、orsional deformation of circular bars & stiffness condition）,一、扭转变形 (Torsional deformation),其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角.,长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算, 称作许可单位长度扭转角(Allowable angle of twist per unit length),3、刚度条件（Stiffness condition),2、单位长度扭转角(Angle of twist per unit length),扭转角GIP 称作抗扭刚度,例题5 图示等直杆，已知直径
16、d=40mm，a=400mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa，DB=1. 试求：（1） AD杆的最大切应力；（2）扭转角 CA.,解：画扭矩图,计算外力偶矩M, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,（1）AD杆的最大切应力,（2）扭转角 CA,例题6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kNm,材料的许用剪应力 = 100MPa，剪变模量为 G = 80GPa ，轴的许可扭角 = 2 /m . 试校核轴的强度和刚度.,解：轴的扭矩等于轴传递的转矩,轴的内，外径之比,由强度条件,由刚度条件,将空心轴改为同
17、一材料的实心轴，仍使 max=96.1MPa,两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.,其截面面积为,空心轴的截面面积为,例题7 两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一个扭转力偶矩M 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIP，试求杆两端的支反力偶矩.,解：去掉约束，代之以支反力偶矩,这是一次超静定问题，须建立一个补充方程.,C截面相对于两固定端A和B的相对扭转角相等.,杆的变形相容条件是,C,M,a,b,A,B,l,（1）变形几何方程,（2）由物理关系建立补充方程,解得,例题8 图 示一长为 l 的组合杆，由不同材料
18、的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度 GaIPa 、GbIPb . 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为 M 的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩.,解：列平衡方程,这是一次超静定问题.,变形相容条件是，内、外杆的扭转变形应相同.,变形几何方程是,物理关系是,M,代入变形几何方程，得补充方程,Mb,Ma,M,弹簧的螺旋角 5,且Dd,这样的弹簧称为密圈螺旋弹簧. 推导这种弹簧的应力与变形的计算公式.,3-6 密圈螺旋弹簧的应力和变形(Calculation of the stress and deformation in
19、 close-coiled helical springs）,一、弹簧丝横截面上的应力,1、内力的计算（Calculation of internal force),(Calculation of the stress on spring wire cross section),簧丝的横截面上有两个内力分量即,作为近似计算，通常可略去与剪力 FS相应的 ，且 D/d 很大时，还可略去簧圈曲率的影响，所以簧杆横截面上最大切应力为,2、应力的计算(Calculation of stress),为便于分析，将杆的斜度视为0.,截面法,公式修正的原因：（1)当D/d 较小,会引起很大的误差； （2)假
20、定剪切引起的切应力是均匀分布的.,式中,c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表3.1,3、强度条件(Strength condition),若只考虑簧杆扭转的影响， 可得簧杆内的应变能为,二、弹簧的变形(Deformation of the spring),1、应变能的计算(Calculation of strain energy),3、功能原理 v = W （Work-energy principle),当弹簧的变形为 时，外力所做的功为,2、外力做的功（Work of the external force),c 弹簧刚度,例题9 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经R=59.5 mm，簧丝
21、横截面直径d=14mm，有效圈数n=5. 材料的 = 350MPa ，G=80GPa 弹簧工作是总压缩变形（包括预压变形）为 =55mm 试校核弹簧的强度.,解：求出弹簧所受的压力F为,由R及d求出,查表3.1查处弹簧的曲度系数k=1.17,弹簧满足强度要求.,3-7 非圆截面杆的扭转(Torsion of noncircular prismatic bars),非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲(warping) 而不再是平面.,矩形截面扭转时，横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流.,整个横截面上的最大切应力发生在 长边的中点.,一、矩形截面（Rectangu
22、lar cross section),短边中点的切应力 是短边上的最大切应力，且,切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值 除在靠近顶点处以外均相等.,二、狭长矩形（Long narrow rectangle),狭长矩形截面的 It 和 Wt,狭长矩形截面上切应力的分布情况见图,表3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数,例题10 一矩形截面的等直钢杆, 其横截面尺寸, h=100mm, b = 50mm, 长度 l = 2m, 在杆两端作用一对矩 M = 4 kNm 的扭转力 偶. 钢的许用切应力 = 100 MPa , 剪切模量 G = 80GPa, 许可 单位长度扭转角 =1/m . 试校核该杆的强度和刚度.,解：横截面上的扭矩,由表 3-1 查得,一、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚度中点处，切应力为零；,3-8 薄壁杆件的自由扭转（Free torsion of thin- walled members),二、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），同一厚度处，切应力均匀分布.,为厚度中线所包围面积,例12 图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mmb=75mm，厚度t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000Nm，试求此杆的最大切应力.,解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力,第三章结束,
