机器人概论第3版课件第4章运动学及动力学概述.pptx

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1、第四章 运动学及动力学概述,4.1 运动学概述,物体的位置通常在三维空间中研究，物体既包括操作臂的杆件、零部件和抓持工具，也包括操作臂工作空间内的其他物体，这些物体可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态，简称位姿。,4.1 运动学概述,正运动学问题：已知各个连杆的几何参数和关节角变量，求机械手臂末端相对于参考坐标系的位姿。逆运动学问题：给定机械手臂末端相对于参考坐标系的期望位置和姿态，求机械手臂能否使其末端达到这个位姿，有几种形态？计算机器人对应位置的全部关节变量，此问题是机械手臂实际控制中的应用问题。,机器人操作手通常为开链空间连杆机构，各杆件通过转动副和移动副连接，一端为自由手部，一端为

2、机身固定，驱动器驱动关节带动杆件的运动，使手部定位。,工业机械手抓取,机械手如何准确到达物体位置？,各个关节的运动之间有何关系？与人体胳膊比较！,机器人运动学问题,以平面两自由度机械手臂为例进一步阐述运动学中的两个问题（运动由连杆机构决定，分析时不考虑驱动器和减速器元件）,4.1 运动学概述,正运动学：已知杆件长度 ,关节变量 ，求末端执行器的位置P（x,y）,逆运动学：已知末端执行器的位置P（x,y）与杆件长度 ,求关节变量 、 。,逆运动学的解不是唯一的（本例中有2个）,机器人逆运动分析是运动规划控制中的重要问题，但由于机器人逆运动问题的复杂性和多样性，无法建立通用的解析算法。逆运动学问题

3、实际上是一个非线性超越方程组的求解问题，其中包括解的存在性、唯一性及求解的方法等一系列复杂问题。（数学的重要性）,4.2 位姿表示与齐次变换,刚体的空间运动可以看成两个分运动的合成，一个分运动是刚体随其上某点（又称为基点）的移动，另一个分运动是刚体绕基点的转动。基础坐标系用来定义机器人相对于其他物体的运动，其位置和方位不随机器人各构件运动而变化，也称惯性坐标系、全局参考坐标系。运动坐标系用来描述独立关节的运动，是固联在机器人各构件上的坐标系，它随构件在空间的运动而运动（旋转或平移），也称为构件坐标系。,4.2.1位姿表示,4.2 位姿表示与齐次变换,Oxyz为基础坐标系O，Oxyz为运动坐标系

4、O，坐标系O以坐标系O为参照系时，坐标原点O的位置称为运动坐标系Oxyz的位置， Ox、Oy、 Oz轴的方向称为运动坐标系Oxyz的姿态，位置与姿态简称位姿。,4.2.1位姿表示,4.2 位姿表示与齐次变换,图中所示 O与O两个坐标系在空间中三个坐标轴的方向相同，所以具有相同的姿态，用矢量相加的方法得到P点相对于基础坐标系Oxyz的坐标：,4.2.2 坐标系之间的变换,1.平移变换,用向量表示为：通常记作为：,4.2 位姿表示与齐次变换,O与O两个坐标系原点位置重合，P点相对于O与O坐标系的坐标为（x,y,z）与（x,y,z），因为z与z坐标轴重合，z=z，坐标之间的关系可以简化为平面图计算。

5、,4.2.2 坐标系之间的变换,2.旋转变换,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,2.旋转变换,绕z轴的旋转变换阵为:,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,2.旋转变换,用类似方法可以推导出绕x轴与y轴的旋转变换阵：,、 、 统称为基本旋转变换阵 。,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,3.齐次变换,坐标系之间的关系包括旋转与平移变换，坐标系Oxyz可以看成是坐标系Oxyz经二次变换而成。先将Oxyz平移，使O点与O点重合，再绕O点转动得到Oxyz，将平移变换与旋转变换对应的式子合成，得到：,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.

6、2 坐标系之间的变换,3.齐次变换,为简化为一个矩阵，引入齐次变换阵：变化过程中的平移量和旋转量均可以在齐次变换矩阵中反映出来。其中左上角的33子矩阵表示坐标系O相对于坐标系O的姿态，称为姿态矩阵或者旋转矩阵，右上角31列矩阵表示坐标系O相对于坐标系O的位置，又称为位置矢量。由此可知，齐次变换阵表明了Oxyz坐标系相对于参照系Oxyz的位置和姿态，也称为位姿矩阵。,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,4.连续变换,所谓连续变换可以是连续转动连续移动或转动与移动交叉进行的变换。（1）连续移动变换 图中，坐标系O是坐标系O沿矢量 平移而成，坐标系O是坐标系O沿矢量 平移而成，

7、显然齐次变换 ，即:,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,4.连续变换,（2）连续旋转变换 图中，假设活动坐标系初始状态与基础坐标系O重合，将动坐标系绕O的z轴旋转 角得到坐标系O，而后又绕轴 旋转角 ，得到坐标系O，则连续变换为：,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,4.连续变换,（2）连续旋转变换总结分析如下几点：,1）连续转动变换时，变换矩阵相乘次序不能更换；因为,2）连续旋转变换，若始终相对于同一轴转动，则变换矩阵相乘与次序无关，且3）如果连续变换是相对于当前系进行的，则依次右乘变换矩阵；如果连续变换是相对于基础坐标系进行的则依次左乘变换矩阵

8、。,4.2 位姿表示与齐次变换,4.2.2 坐标系之间的变换,4.连续变换,（3）移动变换和转动变换交叉进行,在处理交叉变换问题时，只要依据变换顺序，掌握好左乘还是右乘，然后按照矩阵相乘的法则进行运算，即可求得最终的变换。,例4-1：设活动坐标系Oxyz与参考坐标系Oxyz初始重合后，绕z轴旋转90度，再绕y轴旋转90度，再平移向量 ，求齐次变换阵A。,4.3 机器人运动学方程,机器人由多个关节组成，把机器人模型看成一系列关节连接起来的连杆机构，各关节之间的相对运动结合在一起来研究。 假设三维空间中有一点P相对于坐标系On的坐标为 ，P相对于坐标系Oo的坐标为 ，这两个坐标之间的关系与各个连杆

9、的参数及关节变量有关，已知：,次类推得到：,由上式可以得出：确定相邻两杆间的变换矩阵是建立机器人运动学方程的基础。下面将讨论如何建立相邻两杆间的齐次变换矩阵。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,1955年Denavit与Hartenberg提出了矩阵方法，即D-H方法，可用于任何构型的机器人，D-H坐标系的确立即相邻两杆件坐标系关系确立。坐标系的确定模式有前置模式和后置模式两种，这里主要介绍后置模式。,1.机器人杆件的几何参数及关节变量,通常机器人每个杆件两边各连接一个关节，依次与相邻两杆相连接，每个关节可能是转动关节或者是移动关节，为了便于分析问题，现给两个关节以相应

10、的编号。杆i-1的下关节（指靠近机座的关节）编号为i-1，而上关节（靠近末端操作器的关节）编号为i，如图所示。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,（1）杆件的几何参数如图所示，与机器人运动学相关的杆件几何参数只有杆件长度 和杆件扭角 两个。1）杆件长度 ：即两关节轴线之间的公垂线长。当两轴线相交于一点时 。对于机座（0号杆）及末端操作器（n号杆），由于它们只有一个关节，故规定其杆长为0，即 。2）杆件扭角 ：即两关节轴线的交错角。显然机座杆及末端杆的扭角为0，即 。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,（2）关节变量关节变量是用来表示相对运动的参数

11、。当两杆通过转动关节相连接时，相对运动为角位移，以 表示。当两关节通过移动关节相连接时，相对位移为线位移，以 表示。对于转动关节， 是变量，而 为常数。同理，对于移动关节， 是变量，而 是常数。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,2.杆件上坐标系的确定（此处只介绍后置模式）,后置模式是将杆上固连坐标系设置在杆的一个下关节处，将杆 的固连坐标系的 轴置于 关节的轴线上，将杆 的固连坐标系的 轴与 号关节轴线重合。 轴与 轴间的公垂线长度记为连杆长度 ， 轴沿着公垂线，指向离开 轴，如图4所示。 与 的扭转角为 ，以绕 轴逆时针旋转为正， 与 的交错角为 ，以绕 轴逆时针旋

12、转为正， 轴与 的交点为 ， 到 的距离为 ，以 轴指向为正。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,2.杆件上坐标系的确定,相邻两个连杆坐标系的变换可由下述步骤实现：（1） 号坐标系绕 轴旋转 角，记作 ， 转到与 方向平行；（2）沿 轴平移 距离， ，把坐标系原点移到 上；（3）绕 轴旋转 角，记作 ；（4）再沿 轴平移 距离 ，记作 ，过渡到和 i号坐标系完全重合。,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,2.杆件上坐标系的确定,两相邻杆坐标系的齐次变换矩阵又称为A矩阵。它表明i号坐标系相对于 号坐标系的位姿，也就是 坐标系经A矩阵变换而成i号坐标系

13、。变换矩阵为：,4.3 机器人运动学方程,4.3.1 D-H坐标系的确立,2.杆件上坐标系的确定,4.3 机器人运动学方程,4.3.2 运动学方程的解,运动学方程的求解可分为正解问题和逆解问题。 正解问题是指已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位姿，即求 。 逆解问题则是已知满足某工作要求时末端执行器的空间位姿，即已知 矩阵 中各元素的值以及各杆的结构参数，求关节变量。 逆解问题是机器人学中非常重要的问题，是对机器人控制的关键。因为只有求得各关节变量，才能使末端执行器达到工作要求的位置和姿态。,4.3 机器人运动学方程,4.3.2 运动学方程的解,以PUMA560机器人为例介绍机器

14、人连杆坐标系及D-H参数的确定。 PUMA560是一个六自由度机器人，所有关节均为转动关节。和大多数工业机器人一样，PUMA560机器人的后3个关节轴线相交于同一点，这个交点可以选作连杆坐标系4、5和6号的原点，坐标系建立如图所示。,1.运动学方程的正解,4.3 机器人运动学方程,4.3.2 运动学方程的解,PUMA560机器人结构参数表,各齐次变换阵为：,4.3 机器人运动学方程,各齐次变换阵为：,式中，令：,4.3 机器人运动学方程,4.3.2 运动学方程的解,上面介绍了机器人运动学中给定各关节变量时，求坐标变换矩阵的方法， 该坐标变换矩阵表示了从基础坐标系观察到末端执行器的位置和方向。而

15、机器人逆运动学问题就是求机器人运动学的逆解，是上述问题的逆命题，即给定末端执行器位置和方向在基础坐标系中的值，求其相对应的各关节的变位量。并据此控制机器人各关节驱动机构的运动，从而完成所规划的轨迹。,2.运动学方程的逆解,4.3 机器人运动学方程,4.3.2 运动学方程的解,一般当末端执行器的位置和方向给定，求解满足给定条件的各关节的变位量问题时其解不一定是唯一的。例如：当机器人的关节数不足6个时，无论怎样确定各关节的变位量， 都会存在一些不能实现的位置和方向；当关节数大于6个时，实现给定的位置和方向的各关节的变位量又不能唯一确定；即使机器人的关节数为6个，当对各关节的变位量进行解析求解时，也

16、会出现求不出数值解的情况。在6关节的情况下，其具有解析解的充分条件是“连续三个旋转关节的旋转轴交汇于一点”。在大多数工业用多关节机器人上，其手腕的三个关节都设计为满足这一条件。,2.运动学方程的逆解,4.4 微分运动与雅可比矩阵,微分运动（微分变换）是机器人运动学和动力学研究中的一个重要概念。通过微分变换可以获得机器人各杆件间的微动位置、速度及力和力矩的变化关系。在研究微分运动的过程中又将引出一个重要的概念雅可比矩阵，雅可比矩阵是一个重要的微分运动研究分析工具。 微分运动指机构的微小运动，可用来推导不同部件之间的速度关系。机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机器人手部坐标系的微分运动，包括微分

17、平移与微分旋转运动。微分变换是解决机器人实用技术问题的重要手段，例如，在机器人末端执行器前一杆件上设置一个电视摄像机或其他测量器，取得视觉或其他测量信息，经过信息处理后，可以指示和控制末端执行器产生一定的微分运动使末端执行器的位姿达到期望值，偏差得以纠正，进而保证机器人的工作精度。,4.4 微分运动与雅可比矩阵,考虑机械手的手爪位姿 和关节变量 的关系用正运动学方程表示为：,假设手爪位置包含表示姿态的变量，关节变量由回转角和平移组合而成的情况。若上式用每个分量表示： 若nm，手爪位置的关节变量有无限个解，通常工业用机器人有3个位置变量和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。由于工业上一般不采用冗

18、余机器人结构， 所以n=m=6。,4.4 微分运动与雅可比矩阵,J 表示了手爪速度与关节速度之间的关系，称之为雅克比矩阵。将式 两边乘以 ，可得到微小位移之间的关系式：,将式 的两边对时间t 微分，可得到：,4.4 微分运动与雅可比矩阵,以前面讲过的2自由度平面关节型机器人为例：,J1列表示第2关节固定（即 ），仅第1关节转动的情况下，指尖平移速度在基础坐标系上表示出的向量；J2同样。,4.5 动力学概述,机器人是一个复杂的动力学系统，对机器人机构的力和运动之间关系与平衡进行研究，主要研究动力学正问题和动力学逆问题两个方面，在关节驱动力矩（驱动力）的作用下产生运动变化，或与外载荷取得静力平衡，

19、同时机器人控制系统是多变量的、非线性的自动控制系统，也是动力学耦合系统，每一个控制任务本身就是一个动力学任务。 机器人动力学研究机器人运动和受力之间的关系，主要研究产生运动所需要的力，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。,4.5 动力学概述,4.5.1虚位移与虚功原理,机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。 对于非自由质点系，由于约束的存在，系统各质点的位移将受到一定的限制。有些位移是约束所允许的，而另一些位

20、移则是约束不允许的。在给定瞬时，约束所允许的系统各质点任何无限小的位移称为虚位移(Virtual displacement)。,4.5 动力学概述,4.5.1虚位移与虚功原理,虚位移不表示质点系的实际运动，与作用在质点系的力、初始条件及时间无关，由约束的性质决定，它有无数组；实位移是质点系在实际运动中产生的位移，它与作用在质点系的力、初始条件、时间及约束有关，在某一位置，它只有一组。 虚功原理：约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移）施力所作功之和为零。下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚功原理。,4.5 动力学概述,4.5.1虚位移与虚功原理,例：

21、已知作用与杠杆一端的力FA，试用虚功原理求作用于另一端的力FB，杠杆长度已知,当力FA向下取正，FB向上为正，此时，假设FA为正值（向下），根据上式， FB为负值，即FB方向向下。,4.5 动力学概述,4.5.2 机器人静力学关系式的推导,现在虚功原理来推导机器人的静力学关系式。以图所示的机械手为研究对象，要产生图(a)所示的虚位移，推导出图(b)所示各力之间的关系式。这一推导方法本身也适用于一般的情况。,(a)虚位移 (b)施加的力,如果施加在机械手上的力作为手爪力的反力（-F）时，机械手的虚功可表示为：,应用虚功原理：,手爪的虚位移 和关节虚位移 之间的关系，可用雅可比矩阵表示：,代入,得

22、：,上式对任何的 都成立，即：,上式表示产生手爪力F的驱动力,例：在图示位置时，求生成手爪力 FA、 FB 的驱动力A 、B,驱动力的大小为手爪力的大小和手爪力到作用线距离的乘积。,4.5 动力学概述,4.5.3 惯性矩的确定,动力学不仅与驱动力有关，还与绕质心的惯性矩有关。如图所示，若将力F作用到质量为m的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可以表示为:,表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为r的回转运动，则得到加速度和力的关系为：,和N是绕轴回转的角加速度和惯性矩。,因为：,令：,得：,上式表示质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I称为惯性矩，相当于平移运动时的质量。

23、,4.5 动力学概述,4.5.3 惯性矩的确定,对于质量连续分布的物体，求解其惯性矩，可以将其分割成假想的微小物体， 然后再把每个微小物体的惯性矩加在一起。微小物体的质量 及其微小体积 的关系，可用密度 表示为：,微小物体的惯性矩 ，依据 ，得到：,4.5 动力学概述,4.5.4运动学、静力学、动力学的关系,如图所示，在机器人的手爪接触环境时，手爪力F与驱动力 的关系起重要作用，在静止状态下处理这种关系称为静力学（statics）。在考虑控制时，就要考虑在机器人的动作中，关节驱动力 会产生怎样的关节位置 、关节速度 和关节加速度 ，处理这种关系称为动力学（dynamics）。,运动学、静力学和

24、动力学中各变量的关系如图所示。用虚线表示的关系可通过实线关系的组合表示，这些也可作为动力学的问题来处理。,对于动力学来说， 除了与连杆长度 有关之外， 还与各连杆的质量 ，绕质量中心的惯性矩 ， 连杆的质量中心与关节轴的距离 有关，如图所示。,4.6 机器人动力学方程式,机器人动力学主要研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。动力学同运动学类似，也有正逆问题。 正问题是已知机器人各关节的作用力或力矩，求机器人各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主要用于机器人的仿真；逆问题是已知机器人各关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节作用力或力矩，是实时控制的需要。 求解动力学方程的目的，

25、通常是为了得到机器人的运动方程，即一旦给定作为输入的力或力矩，就确定了系统的运动结果。机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss）法、凯恩（Kane）法及罗伯逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg)法等。,4.6 机器人动力学方程式,4.6.1机器人的动能与位能,1.动能 为了导出多关节机器人的运动方程式，首先要了解机器人的动能和位能。刚体的运动能量是由该刚体平移构成的运动能量与该刚体旋转构成的运动能量之和表示的。连杆 的运动能量表示为：,4.6 机器人动力学方程式,4.6.1机器人的动能与位能,1.动能,H称为机

26、器人的惯性矩阵，则机器人的运动能量式简化为：,4.6 机器人动力学方程式,4.6.1机器人的动能与位能,2.势能 机器人的位置能量和运动能量一样，也是由各连杆的位置能量的总和给出的，表示为：,为重力加速度，它是一个在基准坐标系上表示的三维矢量； 为从基准坐标系原点到 i个连杆重心位置的位置矢量。,4.6 机器人动力学方程式,4.6.2牛顿欧拉运动方程式,牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力，以单一刚体为例， 如图所示，其运动方程式可用下式表示：,两式分别被称为牛顿运动方程式及欧拉运动方程式,4.6 机器人动力学方程式,4.6.2牛顿欧拉运动方程式,求解图所示的一自由度机械手的运动方程式。由于关节轴制约连杆的运动，所以可将式 的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假设绕关节轴的惯性矩为I ，取垂直纸面的方向为轴，则得到：,将上述式子综合起来，提取只有分量的回转，则得到,为一自由度机械手的欧拉运动方程式,谢谢各位老师！,