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1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程,通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？,1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（重点）2掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）,探究点1 椭圆的定义,根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？,3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？,讨论
2、：若把绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c0).（1）当2a2c时，轨迹是 ；（2）当2a=2c时，轨迹 是 ； （3）当2a2c时， ；,椭圆,以F1,F2为端点的直 线段,不存在,|MF1|+ |MF2|F1F2|,|MF1|+ |MF2|=|F1F2|,|MF1|+ |MF2|F1F2|,探究点2 椭圆的标准方程,思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？,（1）建系设点;,（2）写出点集；,（3）列出方程；,（4）化简方程；,（5）检验.,回顾圆的画法根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？,第一步： 如何建立适当的坐标系呢？,想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标
3、轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？,方案一,设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a2c0) .,请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.,解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).,设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,x,F1,F2,M,O,y,由椭圆的定义得,因为,移项，再平方,整理得,两边再平方，得,
4、它表示焦点在y轴上的椭圆.,它表示焦点在x轴上的椭圆.,1,2,y,o,F,F,M,x,椭圆的标准方程有哪些特征呢？,【提升总结】,图 形,方 程,焦点坐标、位置,F(c，0)在轴上,F(0，c)在轴上,a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,两类标准方程的对照表：,注:,哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！,判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a2、b2，并写出焦点坐标,答：在 x 轴。（ - 3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，- 5）和（0，5）,分析：椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。,练一练：,随堂练习,例1
5、.椭圆 的焦点坐标是（ ）A.(5,0) B(0, 5) C(0, 12) D(12,0)例2. 椭圆上 一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10,A,C,作 业,课本p64 练习1 1、3,例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,所以,能用其他方法求它的方程吗？,另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,【变式
6、练习】,已知椭圆经过两点 和 ，求椭圆的标准方程.,解：设椭圆的标准方程为,则有,解得,所以，所求椭圆的标准方程为 .,x,y,O,D,M,P,例2 如图，在圆 上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则,因为点P（x0,y0）在圆,把点0=x，y0=2y代入方程，得,即,所以点M的轨迹是一个椭圆.,从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？,例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.,y,
7、A,x,M,B,O,解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简，得点M的轨迹方程为,1.已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（ ） A.10 B.20 C.30 D.40,B,D,2.椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），则椭圆的标准方程是_.答案：,3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程.,解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为,根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆的标准方程为,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c的关系,P|PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|,每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.,
