概率论习题答案ppt课件.ppt

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1、第一次 1某人射击目标3次,记Ai=第i次击中目标(i=1,2,3),用A1, A2, A3表示下列事件（1） 仅有一次击中目标 （2）至少有一次击中目标 （3）第一次击中且第二三次至少有一次击中 （4） 最多击中一次,（1）,（2）,（3）,（4）,2 袋中有红球，白球，从中抽取三次，每次抽去一个，取出后不放回记Ai=第i次抽出红球（i=1,2,3）,用A1, A2, A3表示下列事件 （1）前两次都取红球（2）至少有一次取红球 （3）第二次取白球 （4）恰有两次取红球 （5） 后两次至多有一次取红球 .,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,3 随机抽查三件产品，A=三件中至少有一件废品

2、 B=三件中至少有二件废品 C=三件正品，问,各表示什么事件（用文字描述）,解,- 三件产品全为正品,-三件中至多一件废品,-恰有一件废品,4 下列各式是否成立 （1)（A-B)+B=A （2） (A+B)-C=A+(B-C）,5 下列各式说明什么关系？ .（1） AB=A (2) A+B=A (3) A+B+C=A,解,第2次 1 罐中有围棋子8白子4黑子，今任取3子 ，求下列事件的概率 (1) 全是白子 (2) 取到2黑子1白子 （3）至少有一颗黑子 .,取3子,解,A= 全是白子 B= 取到2黑子1白子 C=至少有一颗黑子,2 从1至200的正整数中任取一数,求此数能被6或8整除的概率,

3、解,A=此数能被6整除 B=此数能被8整除,=,3 从一副扑克牌的13张红桃中,一张接一张有放回抽取3次,求 (1) 三张号码不同的概率 . (2) 三张中有相同号码的概率 .,解,A=三张号码不同 B=三张中有相同号码,4 袋中有9红球3白球,任取5球,求(1) 其中至少有1个白球的概率(2) 其中至多有2个白球的概率,解,A= 其中至少有1个白球 B= 其中至多有2个白球,5设A,B为两个事件,且P(A)=0.5 P(B)=0.4 P(A+B)=0.8 求 (1),(2),解,6 设, 求证,证明,第三次,1 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1) 第二次取红的概率 (

4、2) 已知第一次取白球,求第二次取红球的概率,解,Ai= 第i次取红球 (i=1,2),2 袋中有3红球2白球,抽取3次,每次取一个,取出后不放回,再放入与取出的球颜色相同的两个球, 求 连续3次取白球的概率,解,Ai=第i次取白球 （i=1，2，3）,3 10件产品中有7件正品，3件次品（1）不放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 （2）有放回地每次从中取一个，共取三次，求取到3件次品的概率 .,解,Ai=第i次取次品 （i=1，2，3）,（1）,（2）,4 100件产品中有10件次品90件正品，每次取1件，取后不放回，求第三次才去到正品的概率,解,Ai=第i次取正品 （i=

5、1，2，3）,5 某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,买股票的概率为0.28,两项同时投入的概率为0.19, 求(1)已知他买入基金的条件下,他再买股票的概率 (2) 已知他买入股票的条件下,他再买基金的概率,解,（2）,A=买基金 B=买股票,（1）,6 某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率,解,Ai（i=1，2，3）B=任取一件产品为次品,(1),(2),第四次,1 设P(A)=0.4, P(A+B)

6、=0.7在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立,解,(1) A,B互不相容,(2)A,B独立,2 设P(A)=0.3, P(A+B)=0.6在下列条件下求P(B) (1) A,B互不相容 (2) A,B独立 (3),解,(1) A,B互不相容,(2)A,B独立,3 两种花籽，发芽率分别为0.8，0.9 ， 从中各取一粒，设花籽发芽独立，求（1）两颗都发芽的概率 （2）至少有一颗发芽的概率（3）恰有一颗发芽的概率 .,解,A=第一种花籽发芽 B=第二种花籽发芽,(1),(2),(3),4 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是1/2,1/3,1/4,求密

7、码被破译的概率,解,A=密码被甲破译 B=密码被乙破译 C=密码被丙破译,密码被破译=A+B+C,5 加工某零件要经过第一 ,第二 ,第三 ,第四道工序,次品率分别为2%, 3% ,4% ,5% ,各道工序独立,求加工出来的零件为次品的概率,解,Ai=第i道工序出次品 ( i=1,2,3,),B=加工出来的零件为次品,6 3次独立重复试验,事件A至少出现一次的概率为,求A在一次试验中出现的概率,解,A在一次试验中出现的概率为p,X表示3次实验中A出现的次数,则XB(3,p),1 判断是否为分布表,第五次,解,等比数列求和公式为,所以此表不是分布表,2 已知离散型随机变量的分布律如下,求常数a=

8、?,(1),(2),m=0,1,2,3,m=1,2,325,解 (1),(2)注意到:,3 袋中有2红球4白球,取3球,求取到的红球数X的分布律 .,解,4 某人有6发子弹,射击一次命中率为0.8 ,如果命中了就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数Y的分布律 .,解,5 有一大批产品的次品率为0.006,现从中抽取500件,求其中只有4件次品的概率 .,解,X-抽取500件中的次品数,则 XB(500,0.006）,6 一本合订本100页，平均每页上有2个印刷错误，假定每页上的错误服从泊松分布,计算合订本各页错误不超过4个的概率 .,解,X-合订本各页错误, 则,第六次,1 若a在(1,

9、6)上服从均匀分布，求x2+ax+1=0有实根的概率,解,x2+ax+1=0有实根的充要条件是:,即: a-2 或a2,P a-2 或a2,a在(1,6)上服从均匀分布,2设随机变量X的概率密度为,(1)求常数C (2) P0.4X0.6(3)若,求a,(4) 若,求b,解,(1) c=2,(2),(3),(4),显然 0b1,3 已知,求 (1),(2),(3),解,(2),(3),(1),4设随机变量X的概率密度为,(1) 求常数C (2),解,(2),(1),5,且,求,解,显然,6 设最高洪水水位X有概率密度为:,今要修建河堤能防100年一遇的洪水(即:遇到的概率不超过0.01),河堤

10、至少要修多高?,解,设河堤至少要修H米,X-连续型随机变量 ,则PX=a=0 但X=a不是不可能事件 .,7 简答题 (1) 随机变量X在闭区间a,b上取每个值得概率均相等,则X服从均匀分布,对吗? (2) 概率为0的事件即为不可能事件,对吗?,注意到连续型随机变量在每点上的概率为0,解,(1) 不对,(2) 不对,1 设随机变量X为分布表,第7次,X,P,-1 2 4,1/4,1/2,1/4,求X的分布函数F(x),并绘图,解,=,2设随机变量X的分布函数为,求 (1) 概率密度函数 (2) (3),解 (1),(2),(3),3设随机变量X的概率密度为,(1) 求X的分布函数F(x),并绘

11、图 (2),解 注意F(x)连续且,4 设随机变量X为分布表,X,P,求下列随机变量的分布律(1),(2),解,5 设随机变量X的分布函数为,求 X的分布律,解,6设随机变量X的概率密度为,求,的概率密度,解法一,解法二,单调上升 ，,其反函数为,1 从1,2,3,4,5中任取3个数,设X,Y分别是这三个数中的最大数 与最小数,求(X,Y) 的联合分布律,第次,解,1,2,3,3,4,5,X,Y,2 (X,Y)的分布律如下,问X与Y是否独立?,X,y,0,1,0,1,2,解,X与Y不独立,3 (X,Y)的分布律如下,且X与Y独立,求a=? b=?,解,X与Y独立,或,4 (X,Y)的分布律如下

12、,求分布律,X,y,0,1,-1,0,1,解,-1,0,1,2,-1,0,1,5 设X与Y各自的分布律为,且X与Y独立,求X+Y的分布律,解,2,3,4,1/4,2/4,1/4,1 设随机变量X为分布表,第9次,X,P,-1 0 0.5 1 2,1/3,1/6,1/6,1/12,1/4,求（）,（2）,解,2设随机变量X的概率密度为,求（）,（2）,解,3设随机变量X的分布函数为,求(1) EX,（2) E(3X+5),解,4 对圆的直径作测量,设其值均匀地分布在区间a,b内,求圆面积的期望,解,X-直径,则XUa, b,5 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客

13、车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,(1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望,解,(1) 旅客8:00到站 X-表示候车时间， 则,5 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,(1) 旅客8:00到站,求他候车时间的数学期望 (2) 旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望,解,(2) 旅客8:00到站 X-表示候车时间， 则,1 设随机变量X为分布表,第10次,X,P,0 1 2 3 4,0.1 0.2 0.1 0.4 0.2,求(1)

14、 D(-X) (2) D(2X+3),解,2 设随机变量X的概率密度为,求(1)k=? (2),解,(3) EX DX (4) E(3X+2) D(-3X+2),3 设随机变量X服从泊松分布,且PX=1=PX=2求 EX,DX,解,4 设随机变量,求Y=3X的概率密度函数,解,Y=3X也是正态分布,且 EY=6 DY=81,5 设随机变量X的概率密度为,已知EX=2, P1X3=3/4, 求a,b,c,解,1 (X,Y)的分布律如下,第12次,求(1) E(X+Y) (2) E(XY),解,2 (X,Y)的分布律如下,求(1),(2),解,3 设X,Y为两个随机变量,且, DX=1 DY=2

15、求,解,4 设随机变量X,Y,相互独立,且都服从正态分布,记,( 常数,)求 (1),(2),解,第13次,1 在总体,中抽取样本,指出,(,已知,未知)，,哪些是统计量?,解,是统计量,2 给定样本观测值 92,94,103,105,106求样本均值和方差,解,=42.5,3 在总体,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率,中随机抽取容量为5的样本，,解,=0.2628,4已知,求(1),（2）若,求,解,5 已知,，求（1）,，,（2）若,求,（3）若,求,解 （1）,（2）,（3）,6设总体,则容量n应取多大,才能使得,是X的样本,解,所以 n最小为35,第14次,1 从某正态总体

16、X取得样本观测值： 14.7,15.1,14.8,15.0,15.2 ,14.6 ,用矩法估计总体均值 方差2,解,2总体x的密度为,样本为,求 的矩法估计量,解,3总体x的密度为,样本为,求 的矩法估计量,解,4 为总体 的样本,证明,均为总体均值的无偏估计量,证明,第14次,1总体,样本观测值为,22.3 21.5 20.0 21.8 21.4,求(1)=0.3时,的置信度为0.95的置信区间,(2)2未知时,的置信度为0.95的置信区间,解,所以置信区间为(21.37 , 21.66),所以置信区间为(20.336, 22.464),第14次,2总体,样本观测值16个.得样本均值为20.

17、8,标准差为1.6,求的置信度为0.95的置信区间,解,所以置信区间为(19.948, 21.652),3 总体,样本观测值为,510,485,505,505,490,495,520,515,求(1)=8.6时,的置信度为0.9的置信区间,(2)2未知时,的置信度为0.95的置信区间,解,所以置信区间为(498.13, 505.20),所以置信区间为(492.253, 511.0809),490,4 设某种电子管的使用寿命服从正态分布,从中随机抽取16个进行检验,得平均寿命1950小时,标准差为S=300小时,试求95%的可靠性求出整批电子管的平均使用寿命和方差的置信区间 .,解,所以置信区间

18、为(1790.138, 2109.863),(2) 方差s2的置信区间,方差s2的置信区间为（49112.34，215586.1）,1 已知某炼铁厂的铁水含碳量(%)正常情况下服从正态分布,且标准铁水含碳量为4.3,若已知标准差=0.108,现测量五炉铁水,其含碳量分别为4.28, 4.4, 4.42, 4.35, 4.37 (%)问这些铁水是否合格?(显著性水平为 =0.05 ) .,第15次,1 提出待检验的假设,H0 ： m= 4.3,解,2 选取检验统计量,若假设成立, N(0, 1),3 对于给定的检验水平a ，确定接受域,a =0.05,查表可得Za/2 =,H0的接受域为,1.9

19、6,4 计算统计量U的值,1.325,接受原假设 H0 ： m= 4.3,均值的检验（方差已知）,2 正常人的脉搏平均为72次/分,现测得10名病人脉搏数据如下54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69 问患者脉搏与正常人的脉搏有无显著差异(显著性水平=0.05 ),均值的检验（方差未知）,1 提出待检验的假设,H0 ： m= 72,解,2 选取检验统计量,若假设成立, t(9),3 对于给定的检验水平a ，确定接受域,a =0.05,查表可得ta/2(9) =,H0的接受域为,2.26,4 计算统计量U的值,-2.45,拒绝原假设 H0 ： m= 72,3

20、某机器生产的垫圈厚度 ,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取9个,算得平均厚度为1.6cm,标准差为0.1cm,检验机器是否正常 (1) 显著性水平为=0.05 (2) 显著性水平为=0.01,均值的检验（方差未知）,1 提出待检验的假设,H0 ： m= 1.5,解,2 选取检验统计量,若假设成立, t(8),3 对于给定的检验水平a ，确定接受域,a =0.05,查表可得ta/2(8) =,H0的接受域为,2.306,4 计算统计量U的值,=3,拒绝原假设 H0 ： m= 1.5,3 某机器生产的垫圈厚度 ,为确定机器是否正常,从它生产的垫圈中抽取9个,算得平均厚度为1.6cm,标准差为

21、0.1cm,检验机器是否正常 (1) 显著性水平为=0.05 (2) 显著性水平为=0.01,均值的检验（方差未知）,1 提出待检验的假设,H0 ： m= 1.5,解,2 选取检验统计量,若假设成立, t(8),3 对于给定的检验水平a ，确定接受域,a =0.01,查表可得ta/2(8) =,H0的接受域为,3.3554,4 计算统计量U的值,=3,接受原假设 H0 ： m= 1.5,1 设总体 样本观测值为1.34 1.41 1.38 1.39 1.38 1.41 1.37 1.38 1.34 1.40 是否认为 ( 显著性水平为=0.05),1 提出待检验的假设,解,2 选取检验统计量,

22、若假设成立,方差的检验,3 对于给定的检验水平a ，查表,4 计算统计量c2 (n-1)的值,8.96,接受原假设H0 ： s2 = 0.0252,第16次,2 抽取10件零件,测得直径的样本均值为 ,样本方差为 , 已知机器正常情况下 ,判断机器工作是否正常(1-=0.95),1 提出待检验的假设,解,2 选取检验统计量,若假设成立,3 对于给定的检验水平a ，查表,4 计算统计量c2 (n-1)的值,4.959,接受原假设H0 ： s2 = 0.392,3 某厂生产的电缆 , 抗拉强度现从改进工艺后生产的电缆中抽取10根,测量抗拉强度,样本均值为 方差为 ,问 新工艺生产的电缆抗拉强度，其方差是否有显著变化 ? (=0.05),1 提出待检验的假设,解,2 选取检验统计量,若假设成立,3 对于给定的检验水平a ，查表,4 计算统计量c2 (n-1)的值,9.358,接受原假设H0 ： s2 = 822,4 零件的直径 ，该厂承诺 ，现从产品中抽取10件，测得直径样本均值为 ，方差为 ,问在显著性水平=0.05下,该厂承诺是否可信?,1 提出待检验的假设,解,2 选取检验统计量,若假设成立,3 对于给定的检验水平a ，查表,4 计算统计量c2 (n-1)的值,14.5,接受原假设H0 ： s2 = 0.392,