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1、微分方程模型,传染病模型2 经济增长模型,2022年11月11日星期五,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,2022年11月11日星期五,1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,2022年11月11日星期五,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以
2、使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,2022年11月11日星期五,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日接触率,SI 模型,2022年11月11日星期五,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,2022年11月11日星期五,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日
3、接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,2022年11月11日星期五,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,2022年11月11日星期五,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,2022年11月11日星期五,模型4,SIR模型,2022年11月11日星期五,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨
4、线 的图形，进行分析,2022年11月11日星期五,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/ 阈值,2022年11月11日星期五,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,2022年11月11日星期五,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例, 小, s0 1,提高阈值1/ 降低被传染人数比例 x,s0 - 1/ = ,2022年11月11日星期五
5、,新产品销售模型 经济学家和社会学家们一直关注新产品的销售速度问题， 希望能建立一个数学模型来描述它，并用来指导生产。记t时 已售出的产品数为x(t)。假设该产品使用方便，这些正在使用 的新产品实际上起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客， 使每一个新产品实际上在单位时间内平均吸引r个顾客，由此 得到下列关系式：,把它变形写成微分的形式：,两边积分得：,即,若x(0)=x0，则可得销售函数为,积分结果为：,2022年11月11日星期五,当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数x(t)=x0ert使 在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。 但这个函数有缺陷： 取t=0表示新产品诞生的时刻，即
6、x(0)=0，这时销售函数 为x(t)=0，显然不符合事实。原因是我们只考虑了实物广告的 作用，而忽略了厂家可以通过其它方式宣传新产品，从而打开 销路的可能性。 在x(t)=x0ert中，若令t+，则有x(t) +，这也与事 实不符。事实上，x(t)应该有一个上界。设需求量的上界为K， 则尚未使用新产品的户数为K-x(t)。由统计规律可知，,两边积分得：,写成显函数为,若x(0)=x0，则可得销售函数为,其图像称为增长曲线或Logistic曲线。,直接求导是麻烦的，我们转而考虑,由以上讨论可知，当销售量小于最大需求量的一半时，销 售速度越来越大；当销售量大于最大需求量的一半时，销售速 度越来越
7、小。而当销售量等最大需求量的一半时，销售速度最 大，产品最畅销。 国外学者普遍认为，对于某一新产品，当有3080的 用户采用时，正是该产品大批量生产的合适期。当然，还应注 意在初期可小批量生产并辅以广告宣传，而后期则应适时转产 或开发新产品，这样可以使厂家获得较高的经济效益。,5.2 经济增长模型,增加生产 发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,产值 Q(t),F为待定函数,资金 K(t),劳动力 L(t),技术 f(t),
8、= f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减,1. 道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK 单位资金创造的产值,QL 单位劳动力创造的产值, 资金在产值中的份额,1- 劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1. Douglas生产函数,w , r , K/L ,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金) ，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率 r,劳动力付工资 w,2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,3) 经济(生产率)增长的条件 (
9、动态模型),要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产),劳动力相对增长率为常数,Bernoulli方程,产值Q(t)增长,3) 经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长,3) 经济增长的条件,5.6 人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,
