模糊计算和模糊推理ppt课件.ppt

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1、1,模糊计算和模糊推理,经典二值（布尔）逻辑在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类都被假定为有明确的边界；（突变）任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不属于这一类；一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非真非伪的情况。（确定）,2,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,3,模糊数学,模糊概念,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨。,模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。,4,模糊数学的产生与基本思想,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发

2、表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于聪明的程度为0.8, 另一个人属于,聪明的程度为0.3等.,5,模糊数学的发展,1975年之前，发展缓慢；1980以后发展迅速；,1990-1992 Fuzzy Boom,杂志种类,1978年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems,每年1卷共340页，1999年8卷每卷480页,Int. J. of Approximate Reasoning,Int. J. Fuzzy Mathematics,Int

3、. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems,6,IEEE 系列杂志,主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种,国际会议,IFSA (Int. Fuzzy Systems Association),EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,7,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐,8,国

4、内状况,1976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一（美国、西欧、日本、中国）,9,为什么研究模糊数学,人工智能的要求,取得精确数据不可能或很困难,没有必要获取精确数据,模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用。,10,模糊性与随机性之区别,随机性事件本身具有明确含意事件是否出现的

5、不确定性0,1上概率分布函数描述模糊性事物的概念本身是模糊的概念的外延的模糊不确定性：模糊性0,1上的隶属函数描述,11,1.1 经典集合集合是数学中最基本的概念之一。所谓集合，是指具有某种特定属性的对象的全体。讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。,1模糊数学理论,12,表示集合的几种方法（1）列举法： 列写出集合中的全体元素。 适用于元素有限的集合。（2）定义法： 以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。 适用于有许多元素而不能一一列举的集合。,模糊数学理论,13,集合的特征函数：设A是论域U上的一个集合，对任意 ，令,则称CA

6、(u)为集合A的特征函数。,模糊数学理论,14,例：设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，A= 1,3,5 ，求其特征函数。解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4,15,称为F的隶属函数， 称为u对A的隶属度。模糊子集F完全由其隶属函数所刻画。隶属函数 把U中的每一个元素都映射为0,1上的一个值，表示该元素隶属于F的程度，值越大表示隶属的程度越高。当 的值仅为0或1时，模糊子集F就退化为一个普通的集合，隶属函数也就退化为特征函数。,16,例：设有论域：U=高山，刘水，秦声 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度。 假设他们的平均成绩分别为：98

7、分，72分，86分，设映射为平均成绩除以100。则有隶属度：A(高山)=0.98，A(刘水)=0.72，A(秦声)=0.86模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 ,对于一般的模糊子集A可表示为A=1, 2, ,n ,其中i表示论域中第i个元素对A的隶属度。,17,18,1.3模糊集的扎德表示法若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以表示为：123,“/”不是表示相除，它只是一个记号，其分母是论域中的元素，分子是该元素对模糊子集F的隶属度。,也不是表示相加，它只是一个记号。,19,F(ui)/ ui表示ui对模糊集F的隶属度。当某个隶属度为0时，可以略去不写。如：A=1/ u1+

8、0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4它们是相同的模糊集。,20,无论论域是有限的还是无限的，连续的还是离散的，扎德都用如下记号作为模糊 子集的一般表示形式：这里的积分号不是数学中的积分，也不是求和，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括，是一个记号。,21,22,23,0.5,24,例：设U= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3求：AB, AB及,25,解：AB =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3AB =0.6 / u1+0.8

9、/ u2+0.7 / u3 =(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3,A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3,26,27,A(u),A(u),A(u)0,A(u)=1,截集是把模糊集向普通集合转化的一个重要概念。,28,1.5 模糊集的截集,29,1.5 模糊集的截集,例:设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的截集、核及支集。,30,解：（1）截集

10、A1= u3 A0.6= u2,u3,u4 A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集KerA= u3 SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 ,A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5,31,2 普通集合上的“关系”,笛卡尔乘积(直积，代数积) 设U与V是两个集合，则称 UV= (u,v) | uU, vV 为U与V的笛卡尔乘积。若R是UV上的一个子集，则称R为从U到V的一个关系。记为：对于UV中的元素(u,v) ，若(u,v) R，则称u与v有关系R，否则，称U与v没有关系R。,32,2 普通集合上的“关系”

11、,例3、设U= 红桃，方块，黑桃，梅花 V= A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J, Q, K 求UV解：UV (红桃，A)，（红 桃, 2），（梅花, K） ，共52个元素。,33,3 模糊关系,在普通集合上定义的“关系”都是确定性关系，u和v或者有某种关系，或者没有这种关系。但是，在现实世界中，很多事物的关系并不是十分明确的，如：人与人之间的相像关系，人与事物之间的爱好关系等。,34,模糊二元关系R是以UV为论域的一个模糊子集，序偶(u,v)的隶属度为uR(u,v),35,3 模糊关系,对于有限论域U=u1, u2 , um ， V=v1, v2 , vn ,则U对V的模糊关系的隶

12、属函数可以用mn阶模糊矩阵R来表示，即 R=(rij)mn,36,3 模糊关系,例：设有一组学生U: U= 张三，李四，王五 他们对球类运动V: V= 篮球，排球，足球，乒乓球 有不同的爱好，其爱好程度可以用下面的模糊关系来表示：,37,：,U与V可以是相同的论域，此时，称R为U上的模糊关系。,38,模糊集的笛卡尔乘积,模糊集A和B的笛卡尔乘积为：,39,模糊关系的合成,40,41,设R1与R2分别是UV及VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为：R1R2其隶属函数为 R1R2 (u,w)= R1 (u,v) R2 (v,w) ,模糊关系的合成,42,例：设有如

13、下两个模糊关系： 0.4 0.5 0.1R1= 0.2 0.6 0.2 0.5 0.3 0.2 0.2 0.8R2= 0.4 0.6 0.6 0.4求 R1R2,(,),(,),方法：取R1的第i行元素分别与R2的第j列的对应元素相比较，两个数中取其小者，然后再在所得的一组最小数中取最大的一个，并以此数作为 R1R2第i行第j列的元素。,43,模糊推理,模糊命题1 张三是一个年轻人。2 李四的身高为1.75m左右。3 他考上大学的可能性在60左右。4 明天八成是个好天气。5 今年冬天不会太冷的可能性很大。,模糊概念,模糊数据,对相应事件发生的可能性或确信程度作出判断。,44,模糊推理,模糊命题

14、含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。它的一般表示形式为：xis A 或者 x is A(CF)其中，A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模糊语言值。,45,模糊谓词 设xU，F为模糊谓词，即U中的一个模糊关系，则模糊命题可表示为 x is F其中的模糊谓词F可以是大、小、年轻、年老、冷、暖、长、短等。 模糊量词 模糊逻辑中使用的模糊量词，如极少、很少、几个、少数、多数、大多数、几乎所有等。这些模糊量词可以很方便地描述类似于下面的命题： 大多数成绩好的学

15、生学习都很刻苦。 很少有成绩好的学生特别贪玩。 模糊概率、模糊可能性和模糊真值 设为模糊概率，为模糊可能性，为模糊真值，则对命题还可以附加概率限定、可能性限定和真值限定： (x is F) is (x is F) is (x is F) is 其中，可以是“或许”、“必须”等；可以是“非常可能”、“很不可能”等；可以是“非常真”、“有些假”等。 例如，“常青很可能是年轻的”可表示为 (Age(Chang qing ) is young) is likely,模糊知识的表示,46,模糊修饰语 设m是模糊修饰语，x是变量，F谓模糊谓词，则模糊命题可表示为 x is mF，模糊修饰语也称为程度词，常

16、用的程度词有“很”、“非常”、“有些”、“绝对”等。 模糊修饰语的表达主要通过以下四种运算实现： 求补 表示否定，如“不”、“非”等，其隶属函数的表示为, 集中 表示“很”、“非常”等，其效果是减少隶属函数的值：, 扩张 表示“有些”、“稍微”等，其效果是增加隶属函数的值：,模糊知识的表示,47, 加强对比 表示“明确”、“确定”等，其效果是增加0.5以上隶属函数的值，减少0.5以下隶属函数的值：,则“非常真”、“有些真”、“非常假”、“有些假”可定义为,在以上4种运算中，集中与扩张用的较多。例如，语言变量“真实性”取值“真”和“假”的隶属函数定义为：,模糊知识的表示,48,模糊知识的表示,（

17、1）模糊产生式规则的一般形式是：IFETHENH(CF,)其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的模糊结论；CF是知识的可信度因子，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。是匹配度的阈值，用以指出知识被运用的条件。例如：IFx is A THEN y is B (CF,)（2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为xisA或者xisA(CF)（3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配；如果匹配，如何利用知识及证据推出结论。,49,模糊匹配与冲突消解,在模糊推理中，知识的前提条件中的A与证据中的A不一定完全相同，因此首先必须考虑匹配问题。例如：IF

18、 x is 小THENy is 大(0.6) x is 较小两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度。常用的计算匹配度的方法主要有贴近度、语义距离及相似度等。1. 贴近度设A与B分别是论域U=u1,u2,un上的两个模糊集，则它们的贴近度定义为：(A,B)= AB+(1-AB) /2其中,内积,外积,50,2. 语义距离(1)海明距离(2)欧几里得距离(3)明可夫斯基距离(4)切比雪夫距离匹配度为：1-d(A,B),51,3. 相似度(1) 最大最小法(2) 算术平均法(3) 几何平均最小法,52,(4) 相关系数法(5) 指数法,53,匹配度举例,设U=a,b,c,dA=0.3/a+0.4/

19、b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d贴近度：AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.7AB=(0.30.2)(0.40.5)(0.60.6)(0.80.7)=0.3(A,B)=1/2AB+(1-AB)=1/20.7+(1-0.3)=0.7,54,匹配度举例,设U=a,b,c,dA=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d海明距离：d(A,B)=1/4(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.6-0.6|+|0.8-0.7|)=0.075(A,B)=1-d(A

20、,B)=1-0.075=0.925,55,匹配度举例,设U=a,b,c,dA=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/dB=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d相似度：最大最小法：r(A,B)=(0.30.2)+(0.40.5)+(0.60.6)+(0.80.7)/(0.30.2)+(0.40.5)+(0.60.6)+(0.80.7)=1.9/2.2=0.86,56,(1) 分别计算出每一个子条件与其证据的匹配度例如对复合条件E=x1 is A1 AND x2 is A2 AND x3 is A3及相应证据E:x1 is A1 , x2 is A2 , x3 is A3分别算出A

21、i与Ai的匹配度match(Ai,Ai),i=1,2,3。,复合条件的模糊匹配,57,(2) 求出整个前提条件与证据的总匹配度。目前常用的方法有“取极小”和“相乘”等。match(E,E)=minmatch(A1,A1),match(A2,A2), match(A3,A3)match(E,E)=match(A1,A1)match(A2,A2)match(A3,A3)(3) 检查总匹配度是否满足阈值条件，如果满足就可以匹配，否则为不可匹配。,复合条件的模糊匹配,58,模糊推理,模糊推理实际上是按照给定的推理模式，通过模糊集合与模糊关系的合成来实现的。主要讨论： 模糊关系的构造 模糊推理的基本方法

22、,59,模糊关系Rm Rm是由扎德提出的一种构造模糊关系的方法。设F和G分别是论域U和V上的两个模糊集，则Rm定义为,其中，号表示模糊集的笛卡尔乘积。 例6.19 设U=V=1，2，3，F和G分别是U和V上的两个模糊集，且 F=1/1+0.6/2+0.1/3, G=0.1/1+0.6/2+1/3，求UV 上的 Rm 解：,模糊推理1. 模糊关系的构造(1/3),如：Rm(2, 3) =(0.61)(1-0.6)=0.60.4=0.6,60,模糊关系Rc Rc是由麦姆德尼(Mamdani)提出的一种构造模糊关系的方法。 设F和G分别是论域U和V上的两个模糊集，则Rc义为,例：对例6.12所给出的

23、模糊集 F=1/1+0.6/2+0.1/3, G=0.1/1+0.6/2+1/3 其Rc为,如Rc(3, 2)：,模糊推理1. 模糊关系的构造(2/3),61,模糊关系Rg Rg是米祖莫托(Mizumoto)提出的一种构造模糊关系的方法。 设F和G分别是论域U和V上的两个模糊集，则Rg定义为,其中,例：对例6.12所给出的模糊集 F=1/1+0.6/2+0.1/3, G=0.1/1+0.6/2+1/3其Rg为,模糊推理1. 模糊关系的构造(3/3),62,模糊假言推理 设F和G分别是U和V上的两个模糊集，且有知识 IF x is F THEN y is G若有U上的一个模糊集F，且F可以和F匹

24、配，则可以推出y is G ，且G是V上的一个模糊集。这种推理模式称为模糊假言推理，其表示形式为： 知识：IF x is F THEN y is G 证据：x is F - 结论： y is G,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(1/7),在这种推理模式下，模糊知识 IF x is F THEN y is G表示在F与G之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为R。则有 G=FR其中的模糊关系R，可以是Rm、Rc或Rg中的任何一种。,63,例6.13 对例4.19所给出的F、G，以及所求出的Rm，设有已知事实：x is 较小，并设“较小”的模糊集为：较小=1/1+0.7/2+0.2/3，求在此已

25、知事实下的模糊结论。 解：本例的模糊关系Rm已在例6.12中求出，设已知模糊事实“较小”为F，F与Rm的合成即为所求结论G。,=0.4, 0.6,1即所求出的模糊结论G为 G=0.4/1+0.6/2+1/3,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(2/7),64,模糊拒取式推理 设F和G分别是U和V上的两个模糊集，且有知识 IF x is F THEN y is G若有V上的一个模糊集G，且G可以和G匹配，则可以推出x is F ，且F是U上的一个模糊集。这种推理模式称为模糊拒取式推理，其表示形式为： 知识：IF x is F THEN y is G 证据： y is G - 结论：x is F 在

26、这种推理模式下，模糊知识 IF x is F THEN y is G也表示在F与G之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为R，则有 F=RG其中的模糊关系R，可以是Rm、Rc或Rg中的任何一种。,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(3/7),65,例6.14 设F、G如例4.19所示，已知事实为 y is 较大且“较大”的模糊集为：较大=0.2/1+0.7/2+1/3，若已知事实与G匹配，以模糊关系Rc为例，在此已知事实下推出F。 解：本例的模糊关系Rc已在前面求出，设模糊概念“较大”为G，则Rc与G的合成即为所求的F。,即所求出的F为 G=1/1+0.6/2+0.1/3,模糊推理2. 模糊推理

27、的基本方法(4/7),66,模糊假言三段论推理 设F、G、H分别是U、V、W上的3个模糊集，且由知识 IF x is F THEN y is G IF y is G THEN z is H则可推出: IF x is F THEN z is H 这种推理模式称为模糊假言三段论推理。它可表示为： 知识：IF x is F THEN y is G 证据：IF y is G THEN z is H - 结论：IF x is F THEN z is H,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(5/7),67,在模糊假言三段论推理模式下，模糊知识 r1: IF x is F THEN y is G表示在F与G之

28、间存在着确定的因果关系，设此因果关系为R1。 模糊知识 r2: IF y is G THEN z is H表示在G与H之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为R2。若模糊假言三段论成立，则模糊结论 r3： IF x is F THEN z is H的模糊关系R3可由R1与R2的合成得到。即 R3=R1R2 这里的关系R1、R2、R3都可以是前面所讨论过的Rm、Rc、Rg中的任何一种。,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(6/7),68,例6.15 设U=W=V=1, 2, 3，E=1/1+0.6/2+0.2/3，F=0.8/1+0.5+0.1/3，G=0.2/1+0.6+1/3。按Rg求EFG上的关系R。 解：先求EF上的关系R1,再求EG上的关系R2,模糊推理2. 模糊推理的基本方法(7/7),最后求EFG上的关系R,