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1、1.2 模糊子集及其运算,模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射 A ：U0,1 x A(x)确定了一个U上的模糊子集A，A 称为模糊集A的隶属函数（membership function），A(x)表示 x 对A的隶属程度（grade of membership）。常记 A = A 。,使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A就是它的特征函数。可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。 U上全体fuzzy集所构成的集合记为F(U)。,注1：,例1 设论域 ，Zadeh给出“年轻”（Y）与“年老”（O）两个模糊集的隶属函数
2、分别为,fuzzy集的表示方法1、序偶表示法,2、单独由隶属函数表示fuzzy集,3、Zadeh表示法若U是有限集 ，则 （级数表示法）。,4、向量表示法,5、图示法,若U是无限集 ，则 （积分表示法）。,注1：级数表示法中，隶属度为0的项 可以略去不写。,若U是有限集 ，则,例2 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法,设,记,分别称suppA、kerA为A的支集（support）与核（k
3、ernel）。当kerA不空时，称A为正规fuzzy集（normal fuzzy set）。,模糊集的运算,相等：A = B A(x) = B(x)；包含：AB A(x)B(x)；并： AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交： AB的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余： Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).,例3 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集 A =“商品质量好”，B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6
4、, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见 Ac B, Bc A 。,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A， AA = A；交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：(AB)C = (AC)
5、(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；还原律： (Ac)c = A ；,对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc .,对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征。,定义1 与 的隶属函数分别为,定
6、义2 与 的隶属函数分别为,注2：对隶属度进行取大和取小运算，这样可能丢掉许多信息。,fuzzy集的其他运算,定义3 映射 ，如果满足条件,则称T为t-模（t-norm）。T(a,b)也可写成aTb 。,定义4 映射 ，如果满足条件,则称S为s-模（s-norm）。S(a,b)也可写成aSb 。,代数和与代数积,注3：当 ，则 且 。,注4：交换律、结合律、0-1律、对偶律。,有界和与有界积,注5：当 ，则 且 。,注6：交换律、结合律、0-1律、对偶律、排中律。,定理1 运算的相互关系,1.3 模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成。,例1 论域U=u1,
7、 u2, u3, u4 , u5 , u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则,A0.9 (90分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6。,定理1 设A, BF(U ) (A, B是论域U 的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质,(1) AB AB；(2) A A；(3) (AB)= AB，(AB)= AB.,(5),证：,证：,定义1 设 定义 其隶属函数为,称 为 与 的数积（scalar produ
8、ct）。,注1：,当 为经典集时， 仍然是fuzzy集。,定理2,设,则有,（1）若,则,（2）,定理3 (分解定理) 设AF(U )，则,证：,设 AF(U )，xU，则A(x) = ，0,1，xA ,推论1,1.4 fuzzy性的度量,定义1 对于有限集U上的fuzzy集A，A的基数（cardinality）|A|定义为,称为fuzzy集A的相对基数（relative cardinality）。,定义2 若映射 ，,满足条件,（1）当且仅当,（2）当且仅当,时,时,当,时,（4）,（3）,称映射,为,上的一个fuzzy度（ measure of,fuzziness ），称,为fuzzy集,
9、的,fuzzy度。,定理1 设,且映射,为,其中,为正的实数，,严格递增,且,而,满足,在 严格递增。,则 是 在 上的fuzzy度。,Minkowski fuzzy度,设 ，且若 ,有,其中 ，,则 为 的fuzzy度。,特别地，当 时，称 为 的 Hamming fuzzy 度，即 。,当 时，称 为 的 Euclid fuzzy 度，即 。,Fuzzy熵,设 ，s(x) 为Shannon函数，即,若 ，,为 的 fuzzy 度。,则,1.5 隶属函数的确定,1. 模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”。,2. 指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3. 借用已有的“客观”尺度,
