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1、一、静定静不定概念 1、静定问题仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。,第六章 简单超静定问题,6.16.2 概述及拉压静不定问题,材料力学,1,.,一、静定静不定概念第六章 简单超静定问题6.16.2,3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。,未知力：4个平衡方程：2个静不定次数 = 42 = 2需要补充2个方程此结构可称为2次静不定结构,材料力学,2,.,3、静不定次数：未知力数目
2、与平衡方程数目之差。未知力：4个材,5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目,4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定),材料力学,3,.,5、多余约束力：多余约束提供的约束力。4、多余约束：结构保持,二、拉压静不定问题的解法 1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需 具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几
3、何方程即得 变形协调方程 。,材料力学,4,.,二、拉压静不定问题的解法材料力学4.,拉压静不定问题的解法,（1）静力平衡方程力学原有基础,（2）变形协调方程几何灵活思考,（3）材料本构方程物理构筑桥梁,（4）方程联立求解代数综合把握,材料力学,5,.,拉压静不定问题的解法（1）静力平衡方程力学原有基础（,解：1、判断：一次静不定。,2、列平衡方程,3、列几何(变形协调)方程,Dl3,Dl1,4、列物理方程,5、列补充方程,将物理方程代入几何方程得补充方程,材料力学,6,.,解：1、判断：一次静不定。图示结构，求各杆轴力。FE2A2,解得,材料力学,7,.,解得材料力学7.,Dl1,Dl2,D
4、l1,材料力学,8,.,OAB为刚性梁，写几何方程。llF450OABlllFa,Dl1,Dl2,解：变形协调关系,即,由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。,小技巧,材料力学,9,.,aaF450OABOAB为刚性梁，、两杆材料相同，E,Dl3,Dl2,解：平衡方程为,变形协调方程,300,300,300,300,300,化简得,材料力学,10,.,Dl3Dl2FABCD300300l图示支架承受力F,物理关系为,代入变形协调方程得补充方程,联立平衡方程求得,材料力学,11,.,物理关系为代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得求拉压静,2Dl
5、2=Dl1 +Dl3,2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1,2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3,几何方程,材料力学,12,.,2Dl2=Dl1 +Dl3 2(Dl2+Dl1 ) = D,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。,材料力学,13,.,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图,内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？,刚度较大内力较大,静不定结构的特点（1）,刚度增加内力不变,材料力学,14,.,内力按刚度比分配。刚度较大静不定结构的特点（1）FABCDF,静不定结构的特点（2） 装配应力,静定结构 无装配应力,静不定结构 ？产生
6、装配应力,材料力学,15,.,静不定结构的特点（2）,解：因制造误差，装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。,一次静不定问题。,几何方程：Dl1Dl2 / cosq =d,平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq =0,Dl1,Dl2,物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得,材料力学,16,.,解：因制造误差，装配时各杆必须变形，一次静不定问题。几何方程,装配应力是不容忽视的，如：d /l=0.001， E=200GPa， q =30 s1 =113MPa ，s2 = s3 =65.2MPa,正确,注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。,不正确,材料力
7、学,17,.,装配应力是不容忽视的，如：d /l=0.001， E=200,解：1、平衡方程,FN1FN2+FN3=0FN1=FN3,2、几何方程,Dl1,Dl2,Dl3,即,3、物理方程,3杆用理论长度计算变形,材料力学,18,.,图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短，求各杆装配应,4、补充方程,补充方程与平衡方程联立解得:,变形协调关系,平衡方程,两杆均为拉力，计算杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。,材料力学,19,.,4、补充方程补充方程与平衡方程联立解得:变形协调关系平衡方程,静不定结构的特点（3） 温度应力,升温T oC,结构不因温度变化产生内力,升温T oC,结构会因温度
8、变化产生内力,材料力学,20,.,静不定结构的特点（3）,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。 几何方程： Dl = Dlt-DlF = 0 物理方程： Dlt=alt， DlF =FNl / EAa为材料的线膨胀系数,对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆件的变形为：,式中：a 材料的线膨胀系数。,FN,材料力学,21,.,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，,解：受力图如图示（设二杆均受压）,列平衡方程 SMA=0,杆在温度影响下伸长，在轴力作用下缩短，杆在轴力作用下缩短。刚体绕A转动，变形几何关系图如图示。,Dl1,Dl2,由图可列出变形几何关系
9、方程,2Dl1=Dl2,得,结合平衡方程，求得,材料力学,22,.,解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，EA及线膨胀系数a,变形协调方程为,材料力学,23,.,刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1,物理方程为,物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN,由此求得应力为s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPa,材料力学,24,.,物理方程为物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程,解: 受力分析,建立平衡方程,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定,变形分
10、析,列变形协调方程,联立求解方程(a)与(b),建立补充方程,代入上式,试求图示轴两端的约束力偶矩。,6.3 扭转超静定问题,材料力学,25,.,解: 受力分析,建立平衡方程未知力偶矩2个，平衡方程1,A,B,设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。,解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为,T1-
11、T2=0,材料力学,26,.,AB设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这,焊接前轴在M作用下的扭转角为,j,j2,变形协调条件,T1T2=0,材料力学,27,.,焊接前轴在M作用下的扭转角为MMjj2j1变形协调条件T1,一、相当系统的建立 1、相当系统的特点： 静定结构； 含有多余约束力； 主动力与原结构相同。 2、建立相当系统的步骤： 判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余约束力； 其余照原问题画。,6.4 弯曲简单超静定问题,材料力学,28,.,一、相当系统的建立6.4 弯曲简单超静定问题材料力学28,解：建立相当系统,=,处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程
12、相结合，求全部未知力。,确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。,几何方程变形协调方程,物理方程变形与力的关系,材料力学,29,.,解：建立相当系统=处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方,补充方程,求解其它问题（应力、变形等）,弯矩图,材料力学,30,.,补充方程求解其它问题（应力、变形等）FBqlAEIB+=,解：相当系统如图，任意x截面弯矩为,时弯矩取极值,固定端处弯矩为,当 时，梁的受力最合理。,材料力学,31,.,解：相当系统如图，任意x截面弯矩为lFBABqx时弯矩取极值,支座B端上移,两种情形弯矩图的对比。,材料力学,32,.,支座B端上移两种
13、情形弯矩图的对比。FBlABqDEIMlA,几何方程 变形协调方程,解：建立相当系统,物理方程变形与力的关系,材料力学,33,.,几何方程解：建立相当系统=FBqlAEIB物理方程,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（内力、应力、 变形等）,材料力学,34,.,物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（内力、,解：各梁的相当系统如图,材料力学,35,.,ABClldllABCd超静定梁的装配应力BBdAClldF,解：温度升高后，斜面对梁的约 束力如图所示，其变形为伸 长和弯曲同时发生。,变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即,解得：,材料力学,36,.,l450F悬臂梁的自由端与
14、光滑斜面恰好接触。l450解：温度,悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果。P209，6-17,解：1、静不定分析,2、加固效果分析,最大弯矩减少 62.5%,与 相比，减少39.1%,加固后,材料力学,37,.,悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果。P209，6-1,悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆BC的轴力。,解：梁的轴向变形一般忽略不计,如考虑梁的轴向变形，如何求解?,解除约束代约束力并考虑变形几何关系。,材料力学,38,.,悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆BC的轴力。解：梁的轴向变形一般,FB,FB,解：解除B处约束代之以约束力，使超静 定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理
15、关系,物理关系代入变形协调方程得补充方程：,材料力学,39,.,梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI,FA,FC,FS（kN）,4.4375m,材料力学,40,.,由此可以确定A端和C端的约束力。FAFCMCMAFS（kN）,解：此结构为对称结构承受对称外力作用，所以在对称轴处对称内力(弯矩)不等于零，反对称内力(剪力)等于零。对称轴处对称位移(挠度)不等于零，反对称位移(转角)等于零。于是相当系统如图所示。,补充方程为,跨中挠度为,求得,材料力学,41,.,长为l，刚度为EI的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯,解：相当系统如图所示，其变形 几何关系为,M图,P
16、209，6-19,高度为h的等截面梁两端固定,支座B下沉D，求smax=?,求得,材料力学,42,.,解：相当系统如图所示，其变形M图P209，6-19高度为h的,解：解除A端约束，并代之以 约束力得到相当系统。,变形协调方程为wA=0，qA=q。,即,材料力学,43,.,lABqFAMA解：解除A端约束，并代之以变形协调方程为wA,若解除B端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。,变形协调方程为 wB=lq，qB=q。,即,材料力学,44,.,若解除B端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。变形协调方程,解：解除B处阻止截面相对转动的约束，代之以一对约束力偶MB。得到由两个简支梁组成的静定基。因为两个简支梁各自作用的荷载互不影响，相对简单。,变形协调方程为,物理方程为,材料力学,45,.,ABCDlabFq连续梁弯曲刚度EI=5106Nm2，q=,物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得MB=-31.8kNm,材料力学,46,.,物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得FS图(k,本章结束,材料力学,47,.,本章结束材料力学47.,
