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1、1,泰勒公式的应用The Application of Taylor Formula,答辩人：朱青 指导老师：朱琳,2,目录,一、课题意义3 二、研究概况4 三、研究内容5 1 泰勒公式在计算极限中的应用6 2 泰勒公式在证明不等式中的应用8 3 泰勒公式在近似计算中的应用11 结论14 致谢15,3,一、课题意义,泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。,4,二、
2、研究概况,文章针对泰勒公式的应用讨论了十一个问题，即：1 应用泰勒公式求极限; 2 证明根的唯一存在性;3 证明不等式或等式;4 判断级数的敛散性;5 进行近似计算;6 确定无穷小的阶与表达式中的常数;7 求初等函数的幂级数展开式;8 判断函数的极值;9 确定函数的次数;10 求高阶导数在某些点的数值; 11求行列式的值。,5,三、研究内容,1 泰勒公式在计算极限中的应用2 泰勒公式在证明不等式中的应用3 泰勒公式在近似计算中的应用,6,1 泰勒公式在计算极限中的应用,对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为
3、类似多项式或有理分式的极限问题. 满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限：（1）用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁；（2）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式；（3）所遇到的函数展开为泰勒公式不难.,7,8,2 泰勒公式在证明不等式中的应用,如果函数的 二阶和二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式证明不等式。证题思路：（1）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；（2）恰当选择等式 与 两边；（3）根据最高阶导数的大小或界对展开式进行缩放。,9,10,11,3 泰勒公式在近似计算中的应用,利用泰勒公式求极限时，宜将函数用带佩亚诺余项的泰勒公式表示；若用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型表达，以便于误差的估计.,12,13,14,结论,文章主要介绍了泰勒公式以及它的十一个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解, 只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。,15,致谢,在论文写作的过程中，从论文的选题到确定思路，从资料的搜集、提纲的拟定到内容的写作与修改，继而诸多观点的梳理，都得益于我的指导老师朱琳的悉心指导。在此，谨向朱琳老师表示我最衷心地感谢和最诚挚的敬意。 同时，也向四年来所有教授过我和帮助过我的教授老师表示感谢，感谢你们对我的谆谆教诲、耐心指导和无私的帮助。,
