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1、计算物理,http:/125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics,泛函和变分法,泛函和变分法,泛函和变分的基本概念最简泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题泛函和变分用于微分方程边值问题,泛函和变分的基本概念(1/4),泛函的定义例(最短路径)：设 C 为定义在 a, b 上、满足条件 y(a) = y1 和 y(b) = y2 的、所有可微函数 y(x) 的集合。用 L 表示这样一段曲线的长(如右图所示)，L = Ly(x)问题：沿哪一条路径的路程最短函数的形式 y(x) 不同,例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点 A 到点 B 的曲线运
2、动，所需的时间 T 取决于曲线的形状(如右图所示)，T = T y(x)问题：沿哪一条路径的下落时间最短函数的形式 y(x) 不同,泛函和变分的基本概念(2/4),定义：设 C 是函数(形式)的集合，B 是实数集合；如果对 C 中的任一元素 y(x)，在 B 中都有一个元素 J 与之对应，则称 J 为 y(x) 的泛函，记为 J y(x)泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量最短路径：L = Ly(x),捷线问题：T = T y(x),最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函,其中 F ( x, y, y ) 的称为核函数,泛函和变分的基本概念(3/4),函数的变分和泛函的变分定义：设
3、 y(x) 是泛函 J y(x) 的定义域内任意函数，如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x)，则 Y(x) 与 y(x) 之差 d y = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分函数变分和微分的比较变分和微分都是自变量 x 的函数微分是同一个函数 y(x)，由于自变量 x 的取值不同而导致函数值 y 的变化；变分是由于函数形式的不同而导致函数值的变化函数求导和求变分可以交换次序,泛函和变分的基本概念(4/4),最简泛函的一阶和二阶变分,其中 d J 称为泛函的一阶变分，d 2J 称为二阶变分泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0,最简泛函的极值问题(1/9),
4、最简泛函的欧拉方程最简泛函的极值欧拉方程,欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题,等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程,最简泛函的极值问题(2/9),例：求以下最简泛函的极值问题,核函数和微分方程,满足边界条件的极值函数,例：求解最短路径问题,最简泛函的极值问题(3/9),例：求解捷线问题,最简泛函的极值问题(4/9),欧拉方程的其它算法如果 F 中不显含 y,，不满足边界条件，则极值函数不存在,如果 F 中不显含 y,如果 F 中不显含 x,最简泛函的极值问题(5/9),例：再求解捷线问题,最简泛函
5、的极值问题(6/9),例(最小旋转面)：光滑曲线以点 A(x0, y0) 和 B(x1, y1) 为端点(如右图)，求一条曲线使它绕 Ox 轴旋转时所得曲面的面积最小,以 y(x) 表示任意曲线，得旋转面面积,从欧拉方程的极值问题求曲线方程,最简泛函的极值问题(7/9),瑞利-里兹法的步骤选一组相对完备的基函数 w0, w1, , wn, ，线性展开 y,只取前面 n 项，作为 y 的近似，代入泛函，积分,Jy = I(a1, a2, ,an) 按多元函数取极值方法,求解以上 n 个关于 ai 的方程，得到系数 ai，代入展开式即可得到 y 的近似，再计算可得到 Jy,取前面 n+1 项，重复
6、以上2和3步，直至 Jy 收敛,最简泛函的极值问题(8/9),求解以下泛函的极值函数,取满足边界条件的基函数：w i = x i (1-x),只取前面 n 项，作为 y 的近似,最简泛函的极值问题(9/9),瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数幂函数：1, x, x2, = x i 三角函数：1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, 其它：尽量同时满足边界条件,其它类型泛函的极值问题(1/4),依赖于多个函数的泛函泛函的一般形式,欧拉方程,例：求解以下泛函的极值问题,解：,其它类型泛函的极值问题(2/4),例：不均匀的介质中，折射率为 n(x, y, z)，光的传播速度
7、为 c/n。求光从 A(x0, y0, z0) 到 B(x1, y1, z1) 的传播路径设 G 过 A 和 B 的某条光滑曲线：y = y(x), z = z(x)费马原理：光沿由 A 到 B 的所需时间最短的曲线行进,泛函的极值问题：要求 T 取极小值,其它类型泛函的极值问题(3/4),依赖于函数高阶导数的泛函泛函的一般形式,欧拉方程,例：求解以下泛函的极值问题,解：,其它类型泛函的极值问题(4/4),依赖于多元函数的泛函泛函的一般形式,欧拉方程,例：拉普拉斯方程的第三类边界问题,该定解问题转化为以下泛函的极值问题,泛函和变分用于(1/1),斯特姆-刘维型方程 L y = l r (x) y本征值：l1 l2 l3 本征函数：y1(x), y2(x), y3(x), 构成完备正交系,任意函数 f(x) (要求一阶导数连续、二阶导数分段连续、归一)的展开,泛函,如果 l1 是泛函 Jf(x) 的极小值，则必是斯特姆-刘维型方程的最小本征值将最小本征值问题转化为泛函的极值问题,作业,无,
