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1、1(1),5.,在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的字母个数,写出X的分布律并求E(X).,“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”,解 共有8个单词,随机取到每个单词的概率都是1/8,设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个随机变量,其概率密度为,求E(X).,解,X的分布律为,X的取值为2,3,4,9,6.,7.,设随机变量X的分布律为,求E(X),E(X2),E(3X2+5).,解,或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4,设随机变量X的概率密度为,求(1)Y=2
2、X;(2)Y=e-2X的数学期望.,解,8.,设(X,Y)的分布律为,PX=i 0.4 0.2 0.4,(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);,(3)设Z= (X-Y)2,求E(Z).,解(1)先求出关于X,Y的边缘分布律如右,故 E(X)=10.4+20.2+30.4=2,E(Y)=-10.3+00.4+10.3=0,(2)先求出Z=Y/X的分布律如下,Z,pk,-1,0.2,-1/2,0.1,-1/3,0.0,0,0.4,1/3,0.1,1/2,0.1,1,0.1,故,(3)先求出Z=(X-Y)2的分布律如下,Z,pk,22,0.2,32,0.1,42,0.0,12,
3、0.1,22,0.0,32,0.3,02,0.1,12,0.1,22,0.1,整理得,Z,pk,0,0.1,1,0.2,4,0.3,9,0.4,故 E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4=5,9.,设(X,Y)的概率密度为,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).,解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域,也可以先求边缘概率密度,11. 一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布, 概率密度为,工厂规定,出售的设备若在售出一年,之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需化费300元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.,解 设Y
4、(元)表示厂方出售一台设备的净赢利,则 Y只能取两个值: Y=100 和 Y=100-300= -200 .,而 Y=100 时,设备的寿命必须在一年以上,即X1,故 PY=100=PX1,而 PY= -200=1-PY=100,或 =PX1=1-PX1,厂方出售一台设备净赢利的数学期望,E(Y)=100e-1/4 +(-200)(1- e-1/4 )=3000.7788-200=33.64(元),14.,设随机变量X1,X2的概率密度分别为,(1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22); (2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2).,解 法一:利用已知概率密度计算积分,(1) E(X
5、1+X2)=E(X1)+E(X2),E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22),(2)E(X1X2),法二:利用已知结果直接求解,由所给概率密度可知,X2服从参数=1/4的指数分布,故E(X2)=1/4, D(X2)=2=1/16 .,从而E(X22)=D(X2)+E(X2)2=1/8.,X1服从参数=1/2的指数分布,E(X1)=1/2.,按照数学期望的性质, E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=3/4,E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)=5/8,由于X1,X2相互独立, E(X1X2)=E(X1)E(X2)=1/8.,15. 将n只球(1n号)随机地放进n
6、只盒子(1n号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对.记X为总的配对数,求E(X).,解,设随机变量Xi=,0, 第i号盒子中装的不是第i号球,1, 第i号盒子恰好装第i号球,(i=1,2,n),而 X=X1+ X2+ + Xn ,第i号球放进n个盒子中有n种放法,故其恰好放进第i号盒子中的概率,PXi=1=1/n,由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=PXi=1=1/n, (i=1,2,n),故E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(Xn)=nE(Xi)=1.,16. 若有n把看上去样子相同的钥匙, 其中只有一把能打开门上的锁,用它们去试开门上的锁.设取到每只
7、钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去.试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.,(1)写出X的分布律;(2)不写出X的分布律.,由于第i次试开前,巳试了(i 1)把钥匙都未打开门,而在剩下的n-(i-1)把钥匙中只有一把能打开门,所以前(i-1)次试开未打开门的条件下,第i次试开能打开门的概率为,而第i次试开不能打开门的概率为,X=k表示第1,2,k-1次试开不能打开门,第k次试开能打开门,故 PX=k=,(k=1,2,n),(2),设随机变量Xi=,0, 第i次未抽到开门钥匙,1, 第i次抽到开门钥匙,(i=1,2,n),基本事件是从n把钥匙中抽取一把, 故基本事件总数为n.而取到每把钥
8、匙是等可能的.由于只有一把钥匙能打开门上的锁,每把钥匙试开一次后除去,所以第i次抽到开门钥匙,只能从n-(i-1)把中抽取.,故 PXi=1=(n-i+1)/n,由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=PXi=1=(n-i+1)/n, (i=1,2,n),而 X=X1+ X2+ + Xn ,18.,设随机变量X服从瑞利分布,其概率密度为,其中0是常数,求E(X),D(X).,解 法一:利用,令t=x/,则,法二:利用函数的定义及性质,令 t=x2/22 ,则,19.,设随机变量X服从分布,其概率密度为,其中0,0是常数,求E(X),D(X).,解,令 t=x/, 则 x=t, dx=dt ,D(
9、X)=E(X2)-E(X)2,=(+1)2-22= 2,讨论:(1)当=1时,得到参数为的指数分布,E(X)=,D(X)=2 .,(2)当=n/2,=2时,得到自由度为n的2分布,E(X)=n,D(X)=2n .,19.,设随机变量X服从几何分布,其分布律为,PX=k=p(1-p)k-1 ,k=1,2,其中0p1是常数,求E(X),D(X).,解 先复习无穷级数的有关知识,当|x|1时,两边对x求导,两边乘x,两边再对x求导,令1-p=q,则 p=1-q ,分布律为 PX=k=pqk-1 , k=1,2,21.设长方形的高(以m计)XU(0,2),己知长方形的周长(以m计)为20,求长方形面积
10、A的数学期望和方差.,解 法一: X的概率密度为,A=x(10-x)=10 x-x2,法二:利用已知均匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解,D(A)=D(10X-X2),=D(10X)+D(X2)-2Cov(10X,X2),=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-2E(10X3)-E(10X)E(X2),=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-20E(X3)+20E(X)E(X2),22.(1),设随机变量 X1,X2,X3,X4相互独立,且有E(Xi)=i, D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4.设,求E(Y),D(Y).,解,E(Z2)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=720
11、-640=80.,D(Z2)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 Z2N(80,1525) .,E(X+Y)=E(X)+E(Y)=720+640=1360 ,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 X+YN(1360,1525) .,PXY=PX-Y0=PZ20=1-PZ20,PX+Y1400=1-PX+Y1400,设随机变量 X,Y相互独立,且 XN(720, 302), YN(640, 252) ,求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布,并求概率PXY,PX+Y1400.,解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640,
12、 D(Y)=252 .,E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080,D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652,故 Z1N(2080,652),22.(2),28.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试验证X和Y是不相关的, 但X和Y不是相互独立的.,解 先求边缘概率密度,同理,显然,在单位圆内,即 时,因此X和Y不是相互独立的.,同理,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.,29.,设随机变量 X,Y的分布律为,PX=i 3/8 2/8 3/8,验证X和Y是不相关的, 但X和Y不
13、是相互独立的.,解 先求出关于X,Y的边缘分布律如右,显然,对每一组(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此X和Y不是相互独立的.,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.,30.设A和B是试验E的两个事件,且P(A)0,P(B)0并定义随机变量X,Y如右,X=,1, 若A发生,0, 若A不发生,Y=,1, 若B发生,0, 若B不发生,证明,若XY=0,则X和Y必定相互独立.,证,PX=1=P(A),故PX=0=1-P(A),PY=1=P(B),故PY=0=1-P(B),由此得X,Y的边缘分布并设其联合分布如右
14、,PX=i 1-P(A) P(A),由表中得,a11+a21=1-P(A),a12+a22=P(A),a11+a12=1-P(B),a21+a22=P(B),显然E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而 E(XY)=00a11+10a12+01a21+11a22=a22,由于XY=0,故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,从而有 a22=E(XY)=E(X)E(Y)=P(A)P(B),代入得 a12=P(A)-a22=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B),代入 a21=P(B)-a22=P(B)-P(A)P(B)=1-P(A) P(B),代入a11=1-P(B)-
15、a12=1-P(B)P(A)1-P(B)=1-P(A)1-P(B),由此可见完全满足PX=i,Y=j=PX=iPY=j(i,j=0,1), X和Y相互独立,31.,设随机变量(X,Y)具有概率密度,求E(X),E(Y),Cov(X,Y).,解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域G,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.,法一:,法二:先求出边缘概率密度(利用p86.14的结果),Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),32.,设随机变量(X,Y)具有概率密度,求E(X),E(Y),Cov(X,Y), XY,D(X+Y).,解,同理E(Y)=7/6,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=,同理E(Y2)=5/3,同理D(Y)=11/36,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=20/36=5/9,
