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1、冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.10,第三章 应力理论 Theory of stresses,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外 力,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外 力 体 力即分布在物体体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力、运转零件的惯性力等。 面 力即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼上的空气动力、水坝所受的水压力等。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,定 义 式体力：,外力、内力与应力,Cha
2、pter 3.1,定 义 式,面力：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,内 力物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用，是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是为了精确描述内力而引进的。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应 力 应力矢量,外力、内力与应力,Chapter 3.1,若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出工程应力，亦称名义应力，常用于小变形情况。对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称真实应力，简称真应力, 也称柯西应力。,应力矢量：,外力、内力与应力,Cha
3、pter 3.1,应力的定义,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力矢量的大小和方向不仅和 M 点的位置有关，而且和面元法线方向 有关。,外力、内力与应力,作用在同一点不同法向面元上的应力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通过同一点且法线方向相同，则应力矢量也相同。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力矢量和 面力矢量的数学定义和物理量纲都相同。,区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力，而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,正六面体微元: 外法线与坐标轴同向的三个面称
4、为正面，记为dSi，它们的单位法向矢量为iei， ei是沿坐标轴的单位矢量；另三个外法线与坐标轴反向的面元称为负面。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力分量的正负号规定,外力、内力与应力,Chapter 3.1,应力分量的个数,外力、内力与应力,Chapter 3.1,外力、内力与应力,Chapter 3.1,把作用在正面dSi上的应力矢量沿坐标轴正向分解得：即：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,共出现九个应力分量：,外力、内力与应力,Chapter 3.1,第一指标i表示面元的法线方向，称面元指标；第二指标j表示应力的分解方向，
5、称方向指标。 当ij时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当ij 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。,外力、内力与应力,Chapter 3.1,方向规定：正面上与坐标轴同向或负面上与坐标轴反向为正。亦即 “受拉为正，受压为负”。,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.2,柯西公式,四面体OABC，由三个负面和一个法向矢量为的斜截面组成，其中为方向的方向余弦。,斜截面上的应力,Chapter 3.2,斜截面上的应力,柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式,n,柯西公式,Ch
6、apter 3.2,的面积为dS, 则三个负面的面积分别为,斜截面的面元矢量为：,柯西公式,Chapter 3.2,四面体的体积为：dh为顶点 O 到斜面的垂直距离,n,柯西公式,Chapter 3.2,四面体上作用力的平衡条件是：,第五项是体力的合力，由于dh是小量，故体力项可以略去。可得：,柯西公式,Chapter 3.2,根据商判则，知 必是一个二阶张量，于是定义应力张量,柯西公式,这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。,Chapter 3.2,柯西公式,Chapter 3.2,把斜面应力沿坐标轴方向分解：则柯西公式的分量表达式为,柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式应用计算斜截
7、面上的应力斜面上应力的大小,柯西公式,Chapter 3.2,柯西公式应用计算斜截面上的应力斜面上应力的方向即,柯西公式,Chapter 3.2,斜面正应力斜面剪应力,柯西公式应用计算斜截面上的应力,柯西公式,Chapter 3.2,若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应力场的力边界条件：其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为,柯西公式应用给定应力边界条件,柯西公式,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.2,应力转换公式,应力分量转换公式新、老两个笛卡尔坐标系 和坐标间
8、转换关系为：,Chapter 3.2,考虑垂直于新轴 的正截面，其法向矢量即为 。,利用柯西公式，该截面上的应力为,是新正截面上的应力 对老坐标轴 分解的结果。,应力转换公式,Chapter 3.2,将 对新坐标轴 分解可以得到新坐标系中的应力分量：,应力转换公式,上式就是应力分量转换公式，简称转轴公式。,Chapter 3.2,应力转换公式,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,概 念 切应力为零的微分面
9、称为主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主轴，或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主应力。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,主应力和应力不变量假设存在主平面BCD，其法线方向为n(l,m,n)，截面上的总应力 pn ，亦即n方向截面上剪应力为零。则截面上总应力pn在坐标轴方向的分量可以表示为,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,对斜面BCD运用柯西公式，可得：由剪应力互等定理可得：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,由(1)和(2)式得：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,由于 ，所以要有非零解，则上述三个方程必须是线性相
10、关的，亦即系数行列式为零：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,展开行列式得到应力状态的特征方程： 式中,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根： 1，2，3，即为该点的三个主应力。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,若将一个根代入如下方程组：可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,I1、I2和 I3是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们是相互独立的。,通常主应力按其代数值的大小排列，称为
11、第一主应力1、第二主应力2和第三主应力3 ，且,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,主应力的性质,不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。 实数性 即特征方程的根永远是实数。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,极值性主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,正交性 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任选两个相互正交的方向作为主方向； 特征方
12、程出现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向。,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,在任意一点，都能找到一组三个相互正交的主方向，沿每点主方向的直线称为该点的主轴。 处处与主方向相切的曲线称为主应力迹线。 以主应力迹线为坐标曲线的坐标系称为主坐标系。在主坐标系中，应力张量可以简化成对角型,主应力坐标系,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,在主坐标系中，主不变量表示为,主应力坐标系,例：已知受力物体中某点的应力分量为（单位：MPa）试求主应力分量及主方向余弦。解：此点的应力状态张量的矩阵形式为：,主应力 & 应力不变量,首先，求出应力不变量为于是，特征方程为,
13、主应力 & 应力不变量,求解此特征方程，得三个主应力分别为,主应力 & 应力不变量,将三个主应力值依次分别代入上式中的任意两式，并利用关系式 ，联立求解即可得到三个主方向的方向余弦。例如为求1的方向余弦，l1、m1、n1，将1214.6代入上式的前两式得,主应力 & 应力不变量,主应力 & 应力不变量,同样可得其余两组方向余弦为：主应力：主方向方向余弦：,主应力 & 应力不变量,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,应力偏量将应力张量分解成球形张量和偏斜张量其中球形应力张量：,Chapter 3.3,主应力 & 应力不变量,应力偏量,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯
14、西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,最大剪应力,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,最大剪应力 在主应力坐标系中：约束条件：,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,引进拉格朗日乘子，求泛函 的极值。 相应极值条件为于是，可得如下方程组,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,剪应力的三个极值：,方向：与对应的两个主应力夹角为
15、45 。,O,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,正八面体,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,八面体剪应力,Chapter 3.4,最大剪应力&八面体剪应力,八面体剪应力八面体正应力0为,由可得八面体剪应力0 为,冯 西 桥清华大学工程力学系2007.10.17,第三章 应力理论 Theory of stresses,应力理论,Chapter 3,外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,Chapter 3.5,平衡微分方程,笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标
16、表示如下(如图标注)而临近一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得：,Chapter 3.5,平衡微分方程,笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 应力场：,O,Chapter 3.5,平衡微分方程,其中X,Y,Z表示单位体积力(与坐标轴同向为正),图示正六面体代表通过A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)两个点的一个微体，A,B点各有三个正交面。,A,B,Chapter 3.5,平衡微分方程,在前微面上在右微面上在上微面上,见下页图标注,Chapter 3.5,平衡微分方程,Chapte
17、r 3.5,平衡微分方程,考虑微单元体的力的平衡条件，在x方向的合力为零。,O,Chapter 3.5,平衡微分方程,化简后得,此式即为x方向的平衡方程式,Chapter 3.5,平衡微分方程,同理，得到 y 方向和 z 方向的平衡方程式分别为,Chapter 3.5,平衡微分方程,应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：,用指标符号可缩写成,Chapter 3.5,平衡微分方程,对于弹性动力学问题，可把惯性力作为体力，于是由平衡方程导出运动微分方程,其中，为材料密度，ui为位移分量，t为时间。,剪应力互等定理,剪应力互等定理,剪应力互等定理,Chapter 3.5,平衡微分方程,剪应力互等定
18、理,如图所示微正六面体，对通过形心P且沿z轴方向的轴取矩，由力矩平衡条件得,化简,注：凡作用线通过P点或方向与z轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。,Chapter 3.5,平衡微分方程,同理对沿x和y方向的形心轴取矩可得,于是导得,称为剪应力互等定理，或称应力张量的对称性。,Chapter 3.5,平衡微分方程,应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下：,用指标符号表示为：,用实体符号表示为：,Chapter 3.5,平衡微分方程,平衡微分方程另外一种推导方法,Chapter 3.5,平衡微分方程,平衡微分方程另外一种推导方法,平衡条件：,即：,Chapter 3.5,平衡微分方程,圆柱
19、坐标系中的平衡方程 工程实践中常常要分析圆柱、圆筒等物体的受力及变形问题，在这些情况下采用柱坐标系比较方便，为此以下将给出柱坐标系下平衡方程的相应形式。,Chapter 3.5,平衡微分方程,圆柱坐标系中的应力张量,Chapter 3.5,平衡微分方程,圆柱坐标系中的应力张量,或,Chapter 3.5,平衡微分方程,Chapter 3.5,平衡微分方程,在柱坐标系中用r、z确定一点的位置(如图所示), 在所取的扇形微单元体上作用正应力分量r、 、 z，剪应力分量zr、r、z等。,Chapter 3.5,平衡微分方程,将单元体向roz平面投影,Chapter 3.5,平衡微分方程,将单元体向xoy平面投影,Chapter 3.5,平衡微分方程,Chapter 3.5,平衡微分方程,简化，得,由于d是小量，所以可取,Chapter 3.5,平衡微分方程,同理可求得圆周方向(方向)及轴向(z方向)的平衡微分方程，于是可得柱坐标系下的平衡微分方程为：,Chapter 3.5,平衡微分方程,或表示为：,Chapter 3.5,平衡微分方程,球坐标系中的应力平衡方程,应力理论,Chapter 3,应力的定义 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程,谢 谢！,
