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1、专题3：最短路径,1,2,3,最短路径的定义,Dijkstra算法,Floyd算法,在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。,6.4 最短路径,最短路径,AE：1ADE：2 ADCE：3ABCE：3,最短路径,在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。,AE：100ADE：90 ADCE：60 ABCE：70,6.4 最短路径,问题描述：给定带权有向图G(V, E)和源点vV，求从v到G中其余各顶点的最短路径。,单源点最短路径问题,应用实例计算机网络传输的问题：怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。,迪杰斯特拉（Dijkst
2、ra）提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法Dijkstra算法。,6.4 最短路径,基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对viV-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, , vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, , vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。,Dijkstra算法,6.4 最短路径,Dijkstra算法伪代码,6.4 最短路径,设源点v，w表示从顶点v到顶点vj的权值，dist(v, vj)表示从顶点v到顶点vj的最短路径
3、长度，Dijkstra算法的基本思想用伪代码描述如下：,1. 初始化：集合S = v；dist(v, vj) = w, (j=1.n)；2. 重复下述操作直到S = V 2.1 dist(v, vk) = mindist(v, vj), (j=1.n)； 2.2 S = S + vk； 2.3 dist(v, vj)=mindist(v, vj), dist(v, vk) + w；,10,50,30,10,100,20,60,S=AAB:(A, B)10AC:(A, C)AD: (A, D)30AE: (A, E)100,Dijkstra算法,6.4 最短路径,10,50,30,10,100,
4、20,60,S=A, BAB:(A, B)10AC:(A, B, C)60AD: (A, D)30AE: (A, E)100,Dijkstra算法,6.4 最短路径,10,50,30,10,100,20,60,S=A, B, DAB:(A, B)10AC:(A, D, C)50AD: (A, D)30AE: (A, D, E)90,Dijkstra算法,6.4 最短路径,10,50,30,10,100,20,60,S=A, B, D, CAB:(A, B)10AC:(A, D, C)50AD: (A, D)30AE: (A, D, C, E)60,Dijkstra算法,6.4 最短路径,10,
5、50,30,10,100,20,60,Dijkstra算法,S=A, B, D, C, EAB:(A, B)10AC:(A, D, C)50AD: (A, D)30AE: (A, D, C, E)60,6.4 最短路径,图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构,数组distn：每个分量disti表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则disti为弧上权值；否则置disti为。,数组sn：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。,数据结构 :,6.4 最短路径,1. 初始化数组dist和s；2. while (s中的元素个数n) 2.1 在distn
6、中求最小值，其下标为k； 2.2 输出distk； 2.3 修改数组dist； 2.4 将顶点vk添加到数组s中；,Dijkstra算法伪代码,6.4 最短路径,Dijkstra算法伪代码,6.4 最短路径,Dijkstra算法C+描述,6.4 最短路径,void Dijkstra(MGraph G, int v) for (i = 0; i distk + G.arcki) disti = distk + G.arcki; ,Dijkstra算法C+描述,6.4 最短路径,void Dijkstra(MGraph G, int v) for (i = 0; i distk + G.arcki
7、) disti = distk + G.arcki; ,时间复杂度？,因此，时间复杂度是O(n2)。,6.4 最短路径,数组pathn：pathi是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则pathi为vvi；否则置pathi空串。每次迭代依据下式进行修改：,如何修改存储结构，使得在求得最短路径长度的同时求得最短路径？,if (disti distk + G.arcki) pathi = pathk + G.vertexi,Dijkstra算法C+描述,每一对顶点之间的最短路径,问题描述：给定带权有向图G(V, E)，对任意顶点vi,vjV（ij），
8、求顶点vi到顶点vj的最短路径。,解决办法1：每次以一个顶点为源点调用Dijkstra算法。显然，时间复杂度为O(n3)。 解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。,6.4 最短路径,基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。,Floyd算法,6.4 最短路径,0
9、 4 116 0 23 0,有向网图 邻接矩阵,Floyd算法,3,4,6,11,2,6.4 最短路径,Floyd算法,dist-1 =,0 4 116 0 23 0,path-1 =,ab ac ba bc ca,初始化,6.4 最短路径,Floyd算法,dist-1 =,0 4 116 0 23 0,path-1 =,ab ac ba bc ca,第1次迭代,dist0 =,0 4 116 0 23 7 0,path0 =,ab ac ba bc ca cab,6.4 最短路径,Floyd算法,第2次迭代,dist0 =,0 4 116 0 23 7 0,path0 =,ab ac ba
10、bc ca cab,dist1 =,0 4 66 0 23 7 0,path1 =,ab abc ba bc ca cab,6.4 最短路径,Floyd算法,3,4,6,11,2,第3次迭代,dist2 =,0 4 65 0 23 7 0,path2 =,ab abc bca bc ca cab,dist1 =,0 4 66 0 23 7 0,path1 =,ab abc ba bc ca cab,6.4 最短路径,图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构 数组distnn：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式： 数组pathnn：存放从vi到vj的最短路径，初始为pathij=vivj。
11、,数据结构,6.4 最短路径,void Floyd(MGraph G) for (i=0; iG.vertexNum; i+) for (j=0; jG.vertexNum; j+) distij=G.arcij; if (distij!=) pathij=G.vertexi+G.vertexj; else pathij=; for (k=0; kG.vertexNum; k+) for (i=0; iG.vertexNum; i+) for (j=0; jG.vertexNum; j+) if (distik+distkjdistij) distij=distik+distkj; pathij=pathik+pathkj; ,Floyd算法C+描述,6.4 最短路径,时间复杂度？,因此，时间复杂度是O(n3)。,
