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1、现代控制理论复习,一、 线性系统的状态空间描述,状态：,状态是指系统的运动状态。,1.1 状态空间描述,状态变量： 系统状态是由描述系统的最小一组变量来确定，这组最小变量就是系统的状态变量x1(t),x2(t),xn(t) .,状态向量：,由状态变量组成的列矩阵。,状态空间表达式：,状态方程是描述状态变量与输入信号之间关系的一阶微分方程组。,状态方程：,输出方程：,描述系统输出量与状态变量、输入信号之间关系的数学表达式。,1 根据系统机理建立状态空间表达式2 根据传递函数(微分方程)建立状态空间表达式,1.2建立状态空间表达式,2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式,考虑单入单出的线性
2、定常系统：,相应的传递函数为：,相应的微分方程为：,传递函数没有零点,能控标准形,传递函数有零点,先考虑这种情况：,当 时:,（1） 串连分解,A友矩阵,A，b 可控标准型,写向量-矩阵形式的动态方程,A,b,x,C,当 时:,状态方程不变，A，b 阵不变,（2） 并联分解法,令,展开，得,化成了n个彼此独立的系统解耦,（3） 含重极点,若其它变量选取与单实极点相同,状态变量选取:,约当标准型,二、线性定常连续系统状态方程的解,齐次状态方程的解,定义：矩阵指数,又称为状态转移矩阵，记为,求解的关键：求状态转移矩阵,根据拉普拉斯矩阵法：,2.状态转移矩阵的运算性质,(1),(2),是下面微分方程
3、的唯一解,上式表明：,(3),(4),(5),(6),(7),3. 非齐次状态方程的解,在输入作用下的响应。,对输入作用的响应,对初始状态的响应,三、传递矩阵,1.传递矩阵,初始条件为零时，进行拉氏变换,q维,维,qxp维,对于多输入多输出系统：,2.特征方程和特征值,令,为特征方程,的根为特征值,3.特征向量,设A阵具有不相同的特征值(i)，如果一个非零的向量pi，满足下式：,称pi为特征向量。,4. 状态方程的线性变换,选取不同的状态变量有不同形式的状态方程，两组状态变量之间存在着线性变换。,P变换，,变换矩阵：,这里,对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。,化A阵为对角阵,a) A阵具有
4、不相同的实数特征值，即i,P阵由A阵的实数向量Pi组成,特征向量满足：,b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特征值i,则范德蒙特矩阵使A对角化:,四、线性离散系统状态空间表达式的建立及其解,(1) 从差分方程状态方程,4.1 离散系统状态空间表达式建立,(2) 从脉冲函数状态方程,离散系统状态方程：,4.2 定常连续系统状态方程离散化,微分形式状态方程,差分形式状态方程,离散化,离散化状态方程：,4.3 定常离散系统状态方程的解,离散状态方程的解,如果,离散状态转移矩阵,输出方程：,如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制而由任意的初态达到任意期望的状态，则系统是完全可控的，
5、或者状态完全可控；否则，就称系统是不完全可控的。,如果系统所有状态变量的运动都可以由输出来完全反映，则称系统是状态完全可观测的；否则，就称系统是不完全可观的。,状态完全可控：,状态完全可观：,五、可控与可观测性,判别准则,n为矩阵A的维数。,5.1 线性定常连续系统的可控性,可控标准型,只要系统状态可控，一定可以变换到“可控标准型”,对角线规范型,互不相同,充要条件： 当A为对角阵时，可控充要条件是：B阵中任何行向量不是零向量。,A阵是约当阵J,J矩阵中约当块，最后一行对应B阵中的行向量不是零向量。,判定准则：,5.2输出可控性,定义： 如果存在一个无约束控制函数u(t)，在有限时间间隔(t0
6、tf)内，将输出由任意初始状态Y(t0)转移到终端状态Y(tf)，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。,判别准则,q为输出y的维数。,注意,状态可控性与输出可控性是两个同的概念，二者没有什么必然的联系。,判别准则,n为矩阵A的维数。,或者,5.3 线性定常系统的可观测性,可观标准型,A,b 可控标准型,可观标准型,变换关系,可观测型另一种形式,互不相同的实数特征值，,对角规范型,判据：C阵中不包含元素全为0的列。,可控性判定准则,n为矩阵G的维数。,5.4 线性离散系统的可控性与可观测性,可观性判定准则,5.5可控规范型与可观测规范型,1 化可控系统为可控标准型,变换矩阵P阵,可控性矩阵：
7、,P1可控性矩阵S-1最后一行(n行),关键求P1,2 对偶原理,系统的状态表达式：,系统的状态表达式：,系统对偶,可控条件与 可观条件相同,可控条件与 可观条件相同,可控与可观的对偶性质：,3 化可观测系统为可观测标准型,系统可观：,则，其对偶系统一定可控,将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，可以得到可观测标准型。,变换后，特征值不变；,变换后，系统的传递矩阵不变；,变换后，系统的可控性，可观测性不变；,4 非奇异变换的特性,六、结构分解,系统状态变量可分解为四部分：,可控可观：,可控不可观：,不可控可观：,不可控不可观：,1 按可控性进行分解,2 按可观性进行分解,7.1 线性定
8、常系统的反馈结构,状态反馈,七、线性定常系统的反馈结构,输出反馈至参考输入：,2. 输出反馈,输出反馈至状态微分：,7.2 反馈结构对系统性能的影响,1 只要开环系统可控，引入状态反馈后，闭环系统状态仍可控；,2 如果开环系统可观，引入状态反馈后，有可能破坏系统状态可观性；,2. 输出反馈,（1）输出至参考输入的反馈不改变系统的可控性和可观性。,（2）输出至状态微分的反馈不改变系统的可观性，但可能改变系统的可控性。,1. 状态反馈,7.3 极点配置,极点配置：,通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在s平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。,用状态反馈进行极点配置的设计方法：,已
9、知期望极点,求状态反馈增益K,条件：只要开环系统可控，可以通过任意选择k实现极点任意配置。,设计步骤：,（1） 分析系统（A,b,c）的可控性；,（2） 根据期望极点i，计算希望特征多项式，,（3） 计算,（4） 两式系数对应相等，求出K,1 状态反馈对传递函数零点影响：,7.4 状态反馈对系统影响分析,引入状态反馈后只改变闭环极点，不影响系统零点位置。闭环系统零点与开环系统零点相同；,2 状态反馈对系统稳定性影响：,系统稳定是控制系统正常工作的必要条件。状态反馈和输出反馈都能影响的稳定性。,3 状态反馈对系统稳态性能影响：,引入状态反馈有可能改变系统类型。,八、状态观测器设计,状态观测器：,
10、利用系统已知量y,u，构造一个模型，将系统状态变量进行估计。实现状态变量估计的物理装置。,状态变量,可测量的,不可测量的,用状态观测器重构,全维闭环状态观测器,如果利用输出对状态误差进行校正，构成闭环状态观测器。,状态观测器：,闭环系数阵。,误差：,只要A,b,C 可观，可以任意配置H,因此，必须A,b,C 可观，才能存在状态观测器。,状态观测器设计,判别可观性,建立希望闭环特征式,计算,两式系数对应相等，求出H,带状态观测器的状态反馈系统,1 用 反馈与X反馈是否一样？,观测器状态方程：,反馈控制律：,反馈：,2 分离定理,分离定理,如果系统(A,B,C)可控可观，则系统的状态反馈矩阵K和观
11、测器反馈矩阵H可分别进行设计。这个性质成为闭环极点设计的分离性。,8.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义,1 平衡状态,2 李雅普诺夫意义下的稳定性,(2) 渐近稳定,(3) 大范围渐近稳定,(1) 系统稳定定义,(4) 不稳定,八、李雅普诺夫稳定性,定理一：,设系统 其平衡状态xe，如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x) ，且满足下列条件：,则xe是大范围渐近稳定。,如果,有,则xe是渐近稳定。,8.2 李雅普诺夫第二法,定理二：,设系统 其平衡状态xe，如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，且满足下列条件：,则xe是渐近稳定。,3. 当tt0，除x=0 , 外， 不恒为零，则
12、系统渐近稳定。,定理三：,设系统 其平衡状态xe0，如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，且满足下列条件：,则xe是不稳定。,8.3 李雅普诺夫第二法的应用,分析系统的稳定性,线性定常系统 的原点平衡状态xe=0为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵P使 成立。,先选QI求P看P是否正定？,系统数学模型,状态方程：,边界条件,初始条件：初始时刻,初始状态,终端条件：终端时刻,终端状态,九、最优控制,9.1 最优控制问题,容许控制（输入）,称为容许控制。,即u(t) 受约束:极小值原理求解,可任意取值,无约束 经典变分法求解。,性能指标,综合型性能指标：,表示对整个
13、控制过程和终端状态x(tf)都有要求。,最优控制问题：,从可供选择的容许控制集中，寻求一个控制矢量u(t)，使受控系统在时间域t0,tf内，从初态x(t0)转移到终态x(tf)时，性能指标J取最小(大)值。,十、最优控制中的变分法,在动态最优控制中目标函数J是一个泛函，求解最优化问题可以归结为求解泛函极值的问题。,最优控制性能指标：,J是 的函数， 是t的函数。,10.2 泛函极值的必要条件欧拉方程,求泛函,的极值，就是要确定一个函数x(t)使J达到极小（大）值。,欧拉方程,横截方程,欧拉方程的全导数形式：,欧拉方程是一个二阶微分方程，极值曲线x*(t)是满足欧拉方程的解。,10.3 用古典变
14、分法求最优控制问题,1. tf固定, x(tf)无约束,考虑系统：,其中 ：,为n维可微的向量函数。,设给定,初始状态,终端状态 自由,性能泛函为：,最优控制问题：,寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态 转移到终端状态 ，并使性能指标泛函J取得极值。,令,H(t,x,u,)哈密而顿函数,根据极值存在的必要条件：,控制方程,伴随方程,因此，得,状态方程,边界条件,横截条件常用于补充边界条件：,若始端固定，终态自由,若始端和终端都固定,2. tf固定, x(tf)有约束,控制系统方程：,初始状态,终端状态 满足：,式中，N为q维向量，,性能指标泛函：,增广泛函：,哈密而顿函数：,(1)控制方程,(2)伴随方程,(3)状态方程,(4) 边界条件,则有：,(5) 终端约束,3. tf自由 t*f 最优时间,边界条件：,
