整数规划(整数规划)ppt课件.ppt

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1、想一想：,在生产管理和经营活动中若要求解：,安排上班的人数,运输车辆台数,第八章 整数规划（IP）(Integer Programming),1 整数规划的模型（掌握）,3 整数规划的应用（掌握） （补充指派问题的匈牙利解法）,2 整数规划的计算机求解（掌握）,主要内容：,一、整数规划的模型,（一）整数规划实例例1：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及托运所受限制如表所示：甲种货物至多托运4件。问：两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？,规划模型：,（二）整数规划的一般数学模型,一般形式,依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规划、全整数规划

2、、混合整数规划、01整数规划。,纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数。,全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外，技术系数aij和常数bi也要求取整数。,混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负整数，另一部分可以取非负实数。,01整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。,对整数规划问题，先按线性规划问题（不受整数约束）求解，然后“舍入化整”，就可得到整数最优解，可以吗？,想一想：,（三）整数规划与线性规划的关系,从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的

3、解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得的解是整数可行解。举例说明。,例：设整数规划问题如下,首先不考虑整数约束，得到线性规划问题。,用 解法求出最优解x13/2, x2 = 10/3且有MaxZ = 29/6,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。,按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。,图,1. 整数规划的解是可数个的，最 优解不一定发生在顶点。2. 整数规划的最优

4、解不会优于其对应线性规划问题的最优解。（定理）,重点,因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。 如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，MaxZ=4。,目前，常用的求解整数规划的方法有： 分支定界法和割平面法（不作为课堂授课内容）； 对于特别的01规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。,在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少）

5、，这类问题称为指派问题或分派问题。,二、指派问题（匈牙利法）,指派问题是01规划的特例。库恩（ww.kuhn）于1955年提出了指派问题的解法。他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理，所以把这解法称为匈牙利法。以后在方法上虽有不断改进，但仍沿用这名称。,四、整数规划问题计算机求解(P165),例2： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 4 4x2 -3x3 2 x1 -3x2 + 2x3 3 x1,x2,x3 0 为整数,用管理运筹学软件求解得： x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2,四、整数规划问题计算机求解(P165),例

6、3： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 s.t. -x1 + 2x2 + x3 4 4x2 -3x3 2 x1 -3x2 + 2x3 3 x3 1 x1,x2,x3 0 x1，x3 为整数 x3 为0-1变量,用管理运筹学软件求解得： x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 z = 16.25,8.3 整数规划的应用,投资场所的选择。例4固定成本问题。例5指派问题（分配问题）。例6分布系统设计。例7投资问题。例8,例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密

7、集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?,五、投资场所的选择。例4(P166),解：设：0-1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。 这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20

8、x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xi 0 且xi 为0-1变量，i = 1,2,3,10,例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个；

9、在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?在西区由A4 ， A5 两个点或者都选，或者都不选。,五、投资场所的选择。例4(P166),在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问

10、题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。,（一）、指派问题的数学模型 设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第i 个人去做第j 件工作的的效率（ 时间或费用）为Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假设Cij 0。问应如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？,六、指派问题,指派问题是01规划的特例。库恩（ww.kuhn）于1955年提出了指派问题的解法。他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素的定理，所以把这解法称为匈牙利法。以后在方法上虽有不断改进，但仍沿用这名称。

11、,【例】下表为某一个分配问题的效率矩阵，其中aij表示 第i个人完成第j项工作需要的时间。要求：1.将此分配问题的求解转化为一个网络图中求始点 与终点之间的最短路问题，画出该网络图，注明 节点和边的含义，并标明每一条边的aij值； 2.以上述网络图为基础，利用01变量建立该最短 路问题的01整数规划模型，列出该模型的数学 表达式。,例6有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。,解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完成第j项工作时)这可以表

12、示为一个0-1整数规划问题：Minz=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+

13、 x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,设决策变量 1 分配第i 个人去做第j 件工作 xij = 0 相反 ( I,j=1.2. n ),其数学模型为：,（二）匈牙利法解题步骤（补充，重点）,指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点

14、可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。,第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即 (1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。,第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为： (1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作 。然后划

15、去 所在列(行)的其它0元素，记作 ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 (2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作 (3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。,(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 （5）若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优

16、解已得到。若m n, 则转入下一步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有的行打号； (2)对已打号的行中所有含元素的列打号； (3)再对打有号的列中含 元素的行打号；,(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止； (5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若 lm n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打各行都减去这最小元素；打各列都加

17、上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。,指派问题,例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作E、J、G、R。有甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需的时间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？,例一：,2,4,9,7,4,2,甲、乙、丙、丁四个人加工A、B、C、D四种工件所需时间（单位：min）如表所示。应指派何人加工何种工件，能使总的加工时间最少？,例二、,指派问题是01规划的特例。库恩（ww.kuhn）于1955年提出了指派问题的解法。他引用了匈牙利数学家康尼格一个关于矩阵中0元素

18、的定理，所以把这解法称为匈牙利法。以后在方法上虽有不断改进，但仍沿用这名称。,复习：,指派问题,例2：有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作E、J、G、R。有甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需的时间如表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少？,例一：,2,4,9,7,4,2,第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即,指派方案是：甲翻译R，乙翻译J，丙翻译E，丁翻译G最少的时间是：minZ=4+4+9+11=28,第二步：进行试指派，以寻求最优解。 (1)从只有一个0元素的行开始，给这个

19、0元素加圈，记作 。然后划去 所在列的其它0元素，记作 ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。,一般指派问题,2、人数和任务不等的指派问题 （1）人少任务多 （2）人多任务少 3、一个人可做几件事的指派问题4、某事一定不能由某人做的指派问题 5、 目标函数不是求最小，求最大？6、经过两步之后，mn，怎么办？,思考,分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。每人完成各项任务时间如表所示。由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间为最少的指派方案。,例三、,由于任务多，人少，所以增加一个虚拟的人，该人完成各项任务的时间都为零。第一步：

20、增加一种泳姿，各位运动员的成绩均为零，得方阵：,已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米），如表所示，试问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使预期比赛成绩为最好。单位：秒,例四、,第一步：增加一种泳姿，各位运动员的成绩均为零，得方阵：,从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项任务。每人完成各项任务时间如表所示。规定每项工作只能由一个人去单独完成，每个人最多承担一项任务。又假定对甲必须保证分配一项任务，丁因为某种原因决定不同意承担第4项任务。在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作所花费时间为最少。,例五、,-2,-5,先增加一种假想工作5，再据题中给的条件列出矩阵：

21、,-8,例六、课后题P182（6）,（2）如果把消耗时间数据看成创造效益的数据，那么应如何指派，可使得总的效益最大？解决办法：转化成最小化问题，找出最大元素，用最大元素分别减去表中各元素求解。,例六、P182（6）,（4）如果再增加一个人戊，他完成A，B，C，D的时间分别为16，17，20，21分钟，这时应指派哪四个人去干这四项工作，使得消耗时间最少？要求建立模型：,解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完成第j项工作时)这可以表示为一个0-1整数规划问题：Minz=20 x11+19x12+20 x13+28x14+18x2

22、1+24x22+27x23+20 x24+26x31+16x32+15x33+18x34+17x41 +20 x42+2443+19x44+16x51 +17x52+2053+21x54s.t. x11+ x12+ x13+ x14 1 (甲最多只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24 1 (乙最多只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34 1 (丙最多只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44 1 (丁最多只能干一项工作) x51+ x52+ x53+ x54 1 (戊最多只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干

23、) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？,例七、,求解过程如下：第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派：,找到 3 个独立零元素 但 m =

24、3 n = 4,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 (1)对没有的行打号； (2)对已打号的行中所有含元素的列打号； (3)再对打有号的列中含 元素的行打号； (4)重复(2)，(3)直到得不出新的打号的行、列为止； (5)对没有打号的行画横线，有打号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数 l 。,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,

25、15,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,指派问题用匈牙利法计算，（1）效益矩阵必须是n阶方阵（2）效益矩阵中每个元素Cij 0，且是常数（3）会不会出现多个最优解的情况？,进一步思考：,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作 用人员,-1,-2,l =m=4 n=5,l =m=4 n=5,此问题有多个最优解,28,用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：,