电磁场与电磁波（恒定磁场）ppt课件.ppt

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1、第四章 恒定磁场,4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度4.2 恒定磁场的基本方程4.3矢量磁位4.4磁偶极子4.5磁介质中的安培环路定律4.6恒定磁场的边界条件4.7电感4.8磁场能量和能量密度,4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度,图4.1.1 回路 与回路 间的安培力,1820年法国物理学家A.M.安培通过实验总结出：两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。,1. 安培力定律,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路 上的电流元 对载流回路 的电流元 的作用力表示为,l2,真空中的磁导率,整个载流回路 对电流元 的作用力,载流回路 对载流回路 的作用力,2. 磁感应强度,载流回路之间的

2、相互作用是通过磁场来进行的。,载流回路 对电流元 的作用力，可以认为是载流回路 上的电流在空间激励的磁场 ，而磁场 对电流元 施加作用力将载流回路 在空间中激励的磁场表示为,运动电荷在磁场中受的力为：,空间电流I在R处激励的磁场的大小描述：,毕奥-萨伐尔定律,理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感应强度为：,对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流元 代替上式中，积分得,体电流：,面电流：,图4.1.2 空间线电流的磁场,磁感应强度在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，磁感应线的方程与电力线的方程相似，即,例 4.1.1 求载流

3、I的有限长直导线(参见图 4.1.3)外任一点的磁场。,图 4.1.3 直导线的磁感应强度,解： 取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。,从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在 =0， 即场点坐标为(r, 0, z)， 源点坐标为(0，0，z)。,所以,式中：,对于无限长直导线(l)，1=/2, 2=-/2，其产生的磁场为,例4.1.2 计算图4. 4所示真空中一圆形载流回路轴线上的磁感应强度。回路半径为a，电流为I。,解：在圆柱坐标系中，原点位于圆形回路中心，场点P在Z轴上，则：,由对称性得：,在z=0处，,4.2 恒定磁场的基本方程,1. 磁通连续性

4、原理,磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：,如S是一个闭曲面， 则,就是磁通量的面密度，又称为磁通密度,图4.2.1 磁通量计算,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,两端对场点坐标取散度,由于,所以,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,对于在区域 中连续分布的体电流密度 ，在空间中激励的磁感应强度为,应用矢量恒等式：,则有：,因为 ，第二项中 不是场点坐标的函数

5、，则于是有,恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。,应用高斯散度定理，可得：,磁通连续性定理的微分形式和积分形式：,恒定磁场中通过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零,图4.2.2 磁通的连续性,2. 真空中的安培环路定律,真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为,线在垂直于I的平面内，呈同心圆状。,图4.2.3 无限长载流导线周围的磁场,若在垂直于I的平面上以I穿过平面的点o为圆心，以R为半么作一圆，则 在这个圆上的线积分为：,若在平面上取任意围绕I的闭合环路C，设环路C上的线元 到I点的距离为r， 对I 点的张角为 ， 与 的夹角是 如图4.2.4(a)，则有,图4.2.4 任意

6、闭合环路与电流的关系,若积分的闭合环路不绕过I，如图4.2.4(b)所示，则上式的积分变成,安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即,安培环路定律,I为C围成的面上穿过的总电流强度，且电流的方向与回路C的环绕方向符合右手螺旋法则。,闭合回路，当绕行一周后， 因此,例4.2.1 计算图4.2.9所示真空中半径为R的长直圆柱形载流铜导线的磁场。解：在圆柱坐标系中，令导线的轴线与z轴重合。 由真空中安培环路定律，在rR处有：,得：,在rR处有：,得：,例4.2.2 在无限长柱形区域1mr3m中，沿纵向流动的电流，其电流密度为： 其他地方

7、电流密度为0，求各区域中的磁感应强度。,解：在圆柱坐标系中，若将圆柱的轴线与z轴重合，则电流关于z轴对称，若选圆形路径作为积分回路，利用安培环路定律有：,其中I为回路c围成的面积上穿过的电流强度,当r1m时，I=0，,当1mr3m时,当r=3m时，,4.3 矢 量 磁 位,可以令,:矢量磁位(简称磁矢位)，单位:Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米),是一个辅助量。上式仅仅规定了磁矢位 的旋度，而 的散度可以任意假定。因为若 ，另一矢量 ，其中是一个任意标量函数，则,使用矢量恒等式,上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即,4.4 磁

8、 偶 极 子,真空中的磁偶极子，即一个任意形状的小平面载流回路的磁场。,下面通过矢量磁位 , 来求磁感应强度 ：,现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别为 和 ，则它们在场点的矢量磁位 相加后得到的 只有 分量，且 ，故有,因为 ，故得,（4.4.1）,（4.4.2）,将式（4.4.2）代入式（4.4.1）得：,即,（4.4.3）,上式中S是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求 ：,结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。,磁偶极子场的另外表示式：,结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积S对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。,图4.4.3 磁偶极子的场图,矢量

9、磁位又可写成：,磁偶极子的磁感应强度为：,是常矢量，,考虑到 时有 ， ，故有,令 ，则磁感应强度可表示为,可表示为一标量函数的梯度，将标量函数 称为恒定磁场的标量磁位,在无源区域：,标量函数满足的边界条件：,4.5 磁介质中的安培环路定律,磁化现象：,磁介质材料中电子的自旋和电子绕原子核的旋转形成围观电流，称为分子电流或束缚电流，每个分子电流可以视为一个磁偶极子。,束缚电流：,在外磁场作用下，材料中各单元磁矩的取向趋于一致，对外呈现宏观的磁效应，影响磁场分布，这种现象称为磁化现象。,4.5 磁介质中的安培环路定律,1、 磁化强度矢量,为包围点P的一小体积元， 为体积内分子电流磁偶极矩的矢量和

10、， 为点P单位体积中的磁矩矢量和，单位为安/米（A/m）,由：,2、 磁化电流,设单位体积内分子数为N，则：,又因为,注：,所以,又因为,所以,束缚体电流密度,所以,磁介质中的束缚体电流密度为：,磁介质中的束缚面电流密度为：,例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流 和磁化面电流 。,图 3 15 例 3 - 7用图,解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合,磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时 ，磁化电流为,在界面z=0上， ,在界面z=L上， ，,在界面r=a上， ,3、磁场强度,在外磁场的作用下，磁

11、介质内部有磁化电流Im。 磁化电流Im和外加的电流I都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：,令,其中 称为磁场强度矢量，单位是A/m(安培/米)。于是有,相应的微分形式是,这就是磁介质中的安培环路定律,4 、磁导率,式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。,式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。 铁磁材料的 和 的关系是非线性的，并且 不是 的单值函数， 会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。,5、磁介质中恒定磁场基本方程,微分形式,积分形式,磁介质的本构方程,例4.5.1

12、 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I， 两导体之间介质的磁导率为，求各区域的 。,图 3-16 同轴线示意图,解： 以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化. 当ra时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得,考虑这一区域的磁导率为0，可得,(r a),(r a),当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得,(arb),当brc时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为,则,当rc时，这一区域的 为零。,例4.5.

13、2无限长铁质圆管中通过电流I,管的内外半径分别为a和b,已知铁的磁导率为u,求管内、外空气中的磁感应强度 ，并计算铁中的磁化强度和磁化电流的分布。,解：采用柱坐标系，磁场只有 分量，故：,在 的管壁空间内有磁化强度为,管壁内的磁化体电流为：,在分界面r=a和r=b处的磁化面电流为：,在r=a处在r=b处,4.6 恒定磁场的边界条件,图 4.6.1 恒定磁场的边界条件,在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在突变，而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流，因此，B和H在经过分界面时要发生突变。 B和H在分界面两侧的变化关系称为B和H在分界面上的边界条件。,即：,或：,故：磁感应强度的法向分量

14、连续,由安培环路定律可得：,若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为 ，则穿过小矩形面积的电流为 ，如图所示。,另外， 又可以成 ，所以：,即：,故有：,如果分界面无源电流，则：,或 ：,或 ：,故分界面无源时，磁场强度的切向分量连续,磁力线折射定律：,如果介质1是空气，介质2是铁磁物质，则由于 ， ，在空气中磁感应线几乎与铁表面垂直。在铁磁物质中磁感应线几乎与铁表面平行。,证明：,知,由,所以：,与,作比值得：,例4.6.1如图所示，铁心磁环的内半径为a，轴线半径 r0，环的横截面为矩形，且尺寸为dh。已知ah和铁心的磁导率 0 ，磁环上绕有N匝线圈，通以电流为I。试计算环中

15、的B、H和。,解：在忽略环外漏磁的条件下， 由安培环路定律有：,解得：,当磁环上开一很小的切口，即在磁路上有一个小空气隙时，根据磁通连续方程，近似认为磁感线穿过空气隙仍均匀分布在截面上，由边界条件知：,当2个区域磁场强度不同时有：,由边界条件得:,4.7 电感,电感定义:,电感是一种储存磁场能量的元件，通常由N匝导线绕制而成。当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通为，穿过线圈的总磁通称为磁链，用表示。,假定N匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：,在线性介质中，磁感应强度与电流成正比，故：,L称为电感的自感系数，简称自感，单位为H（亨利）。自感取决于线圈的大小、形状、匝数

16、和填充的媒质。,对于两个线圈构成的互感系统，若回路1载有电流I1，在空间产生磁感应强度B1，回路2面积为S2，则B1穿过回路2的磁通量为,1、 12称为回路1产生的磁场在回路2上的互磁通。若回路2有n圈，则互感磁链为12 =n212 。 2、同理 21 =n121 。 3、 在线性媒质中，互磁链正比于 电流即： 12 =M12I1 同理， 21 =M21I2,即互感：,线圈间的互感取决于回路的形状、大小、匝数、两线圈的相对位置和磁介质的磁导率。互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。,与回路电流 I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是 I1本身产生的磁通形成的

17、磁通链 11 ，另一是电流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成的磁通链 21 。,那么，与电流 l1 交链的磁通链1为,电感计算:,由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链i ，对应的自感称为内自感Li，导线外部的磁链称为外磁链o ,对应的自感称为外自感Lo 。,由于,穿过以l为边界的面积上的磁链为：,所以，线圈的外自感为（自感的诺伊曼公式 ）,n匝密绕时，则乘以匝数n,对于内自感的计算，设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形，则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同。若导线截面半径为a，磁导率为，如图所示。则导线内

18、的磁场为,穿过导线中长为l，宽为dr的截面的磁通为,故长度为l的一段圆截面导线的内自感为,d仅与电流的一部分（即半径为r的圆截面内的电流）相交链，因而在计算与I相交链的磁链时要乘以一个比值 ，即它交链的电流占总电流的百分比，即,故内磁链为：,对于两单匝互感线圈，回路1通过的电流在回路2上的磁链为,同理有：,可见：,上式为互感的诺伊曼公式,例 如图所示，求无限长平行双导线单位长度外自感。,解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长外自感为,4.8 磁场的能量和能量密度,磁场系统所具有的

19、磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中，由其它形式的能量转换成磁能的。如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的，那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中，由外电源提供的。 假定回路的形状、位置不变，同时忽略焦耳热损耗。在建立磁场的过程中，回路的电流分别为i1(t)、i2(t) in(t)，最初， i1=0，i2=0in=0，最终，i1=I1, i2=I2， in=In 。 在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量。,根据电路理论可知，回路j有：,dt时间内与回路 j 相连的电源所做的功为：,因此，整个系统在dt时间内增加的磁能为：,回路 j 的磁链为 ：,将此式代入上式可得 ：,系统的

20、建立过程对应于从0到1的变化过程，即,则：,于是：,整个磁场系统的总磁场能为 ：,若N=1时，即单一回路组成的电感，M11=L，则：,若N=2，即双线圈时，M11=L1， M22=L2， M12= M21=M，则：,同时,故，对于分布电流,若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此，R， ， ，,故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：,磁场的能量密度为：,在各向同性，线性磁介质中：,故：,例 1 同轴线的内导体半径为a，外导体内半径为b，外导体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于0，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流I，试计算同轴线单位

21、长度储存的磁场能。,解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为,因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为,在回路的电流从零到I1的过程中，电源作功为,计算当回路1的电流I1保持不变时，使回路2的电流从零增到I2，电源作的功W2。若在dt时间内，电流i2有增量di2，这时回路1中感应电势为E1=-d21/dt，回路 2 中的感应电势为E2=-d22/dt。 为克服感应电势，必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压。在dt时间内，电源作功为dW2=M21I1di2+L2i2di2,积分得回路 1 电流保持不变时， 电源作功总量为,电源对整个电流回路系统所作的总功为,推广到N个电流回路系统， 其磁能为,式中：,代入后得：,对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得,注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到,磁场能量密度为,例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。 解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为,单位长度的磁场能量为,单位长度的内自感为,