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1、第十一章 频率响应 多频正弦稳态电路,11-1 基本概念,11-4 正弦稳态的叠加,11-5 平均功率的叠加,11-6 RLC电路的谐振,11-2 再论阻抗和导纳,11-3 正弦稳态网络函数,在正弦交流电路中，由于电感元件的感抗和电容元件的容抗都与频率有关，当电源电压或电流（激励）的频率改变时，感抗和容抗将随着激励的频率的改变而改变，即使激励的大小不变，在电路中各部分所产生的电压和电流（响应）的大小和相位也将发生变化。电路响应随激励频率变化的关系称为电路的频率响应。,11-1 基本概念,多频正弦稳态电路就是多个不同频率的正弦电源激励下的稳态电路。,多频正弦稳态电路的分析仍可采用相量法，但只能逐
2、个频率分别处理，最后再用叠加方法求得结果。,一. 无源单口网络阻抗的性质,11-2 再论阻抗和导纳,阻抗模 |Z| 可以确定无源单口网络端口上电压有效值与电流有效值的比值关系；由阻抗的辐角 jZ 可以确定端口上电压与电流的相位关系。,可见，确定了无源单口网络的阻抗 Z，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。,同理，确定了无源单口网络的导纳 Y ，也就确定了无源单口网络在正弦稳态时的表现。,解：,R1,R2,b,a,1,jwC,jwL,例 电路如图，求ab端输入阻抗。,Z(jw) = R(w) + jX(w),阻抗的实部和虚部都是频率的函数。实部称为电阻分量，它并不一定只由网络中的电阻所确定
3、；虚部称为电抗分量，它并不一定只由网络中的动态元件所确定。,j = 90 纯电感性电路,j = 90 纯电容性电路,j = 0 纯电阻性电路,0 j 90 电感性, 90 j 0 电容性,RC电路：对所有频率都是电容性电路。,RL电路：对所有频率都是电感性电路。,RLC电路：某些频率是电容性；某些频率是电感性； 某些频率是纯电阻性（谐振状态）。,LC电路：对某些频率是纯电感性；对某些频率是纯电容性。,网络阻抗分析：,阻抗的模 |Z| 和辐角jZ都是频率的函数。,根据网络的输入阻抗 Z(jw) ，即可确定单口网络在各个不同频率下的正弦稳态表现。因此，单口网络的阻抗函数 Z(jw)可用于研究该网络
4、的频率响应。,输入阻抗Z(jw)可看作激励电流10A所产生的电压响应。,Z与频率 w 的关系称为阻抗的频率特性。|Z| 与频率 w 的关系称为阻抗的幅频特性。 j 与频率 w 的关系称为阻抗的相频特性。幅频特性和相频特性通常用曲线表示。,二. 无源单口网络导纳的性质,= |Y|jY,jY = 90 纯电容性电路,jY = 90 纯电感性电路,jY = 0 纯电阻性电路,0 jY 90 电容性,0 jY 90 电感性,输入导纳 Y (jw) 可看作激励电压10V所产生的电流响应。,阻抗与导纳的关系,1.定义：单一激励时，响应相量与激励相量之比称为网络函数。,2.策动点函数：同一对端钮上响应相量与
5、激励相量的比称为策动点函数或称驱动点函数。,11-3 正弦稳态网络函数,策动点阻抗,策动点导纳,3.转移函数：不同对端钮上响应相量与激励相量的比叫 转移函数。,根据指定响应相量与激励相量的不同，转移函数分为以下四种：,(1) 转移阻抗,(2) 转移导纳,(3) 电压转移函数,(4) 电流转移函数,4. 网络函数的求法,根据相量模型，可选择用串联分压，并联分流，支路电流法，节点分析法，网孔分析法，叠加原理，戴维南定理和诺顿定理等等各种方法。,电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通过或者得到有效抑制，这种网络
6、称为滤波电路。,5. 滤波电路,下面以RC 电路组成的滤波电路为例说明求网络函数和分析电路频率特性的方法。,低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输出端，高频信号得到有效抑制。,低通滤波电路,u1是输入信号电压， u2是输出信号电压， 两者都是频率的函数。,电压转移函数,低通滤波电路,幅频特性曲线表明此RC 电路具有低通特性。,w = 0时，|Au| = 1，电容阻抗无穷大,幅频特性,w = 时，|Au| = 0，电容阻抗等于0,输出电压为最大输出电压的0.707倍,wC称为截止频率，0 wC 为低通网络的通频带。,相频特性说明输出电压总是滞后于输入电压的，因此，这一RC电路又称为滞后网络。
7、,幅频特性,w = 0时， j = 0,相频特性,w = 时， j = 90,j = arctgwCR,几种非正弦周期电压的波形,以非正弦规律作周期变化的电压、电流称为周期性非正弦电压、电流。,11-4 正弦稳态的叠加,一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。,设周期函数为 f ( t ), 其角频率为 , 可以分解为下列傅里叶级数 ：,f ( t )= A0 +A1mcos( t+ 1)+ A2mcos(2 t+2)+ ,式中， A0不随时间变化，称为恒定分量或直流分量，也就是一个周期内的平均值:,式中,第二项A1mcos( t+ 1)的频率与非正弦周期函数的频 率相同,称
8、为基波或一次谐波;其余各项的频率为周期函数的频率的整数倍,分别称为二次谐波、三次谐波等等。,几种非正弦周期电压的傅里叶级数的展开式,矩形波电压,矩齿波电压,三角波电压,从上面几个式子可以看出傅里叶级数具有收敛性。,矩形波,锯齿波,三角波,2, t,Um,0,u,u( t )=,4,Um,(sin t+ sin3 t + sin5 t +),例如，矩形波电压可以分解为：,设非正弦周期电压u 可分解成傅里叶级数,u= U0 +U1mcos( t+ 1 ) +U2mcos( 2 t+ 2 )+,它的作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。,非正弦周期信号
9、的谐波分析法,图中,u1 = U1mcos( t+ 1 ),u2 = U2mcos(2 t+ 2 ), ,这样的电源接在线性电路中所引起的电流, 可以用叠加原理来计算，即分别计算电压的恒定分量U0 和各次正弦谐波分量u1 、u2单独存在时，在某支路中产生的电流分量I0 、i1 、i2 而后把它们的瞬时值加起来，其和即为该支路的电流，即,i = I0 + i1 + i2 + ,u,R,L= 5H,C10F,uR,2k,例： 已知图中电压 u=10+12.73cos t +4.24cos3 t V角频率 =314rad/s，试求: uR 、 UR 、 P 。,u=10+12.73cos t +4.
10、24cos3 t V,式中 =2 f =314 rad/s,解：,(1)直流分量 U0单独作用时,j L=j3145=j1570 ,= U0 + u1 + u3,UR0 = U0 = 10V,(2)基波分量 u1单独作用时,电感L视为短路，电容C视为开路。,= 3.18 168.7V,uR1= 3.18cos(314 t 168.7 ) V,(3)三次谐波分量 u3单独作用时,j3 L=j33145=j4710 ,= 0.1 176.9V,u,R,L= 5H,C10F,uR,2k,uR3= 0.1cos(942t 176.9 ) V,瞬时值： uR= UR0+ uR1+ uR3 +,=10+
11、3.18cos(314 t 168.7 )+0.1cos(942t 176.9 ) + V,因为谐波的频率越高，幅值越小，通常可取前几项来计算有效值。,或,依据周期电流有效值定义:,非正弦周期信号的有效值,若某一非正弦周期电流已分解成傅里叶级数,= I0 + I1m cos(wt +j1) + I2mcos(2wt +j2) + ,i2(t) = I0 + I1m cos(wt +j1) + I2mcos(2wt +j2) + 2,Inm2cos2(nwt +jn) 和 Inmcos(nwt +jn)Immcos(mwt +jm),上式展开后只有四种可能形式：,I02,I0 Inm cos(n
12、wt +jn),下面分析后两种可能形式的积分,= 0,非正弦周期电压的有效值为,非正弦周期电流的有效值为,u=15+10cos t +5cos3 t V，i=2+1.5 cos（ t 30） A,例：已知,求电压有效值、电流有效值。,解：,例： 已知非正弦周期电流 i 的波形如图所示，试求该电流的有效值和平均值.,解: (1)有效值,(2)平均值,设us1和us2 为两个任意波形的电压源,us2单独作用时，流过R的电流为i2(t),p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2,电阻消耗的瞬时功率,11-5 平均功率
13、的叠加,依据叠加原理 i(t) = i1(t) +i2(t),式中p1、p2分别为us1 、us1单独作用时，电阻所消耗的瞬时功率。一般情况下， i1i20，因此 p p1+ p2 ，即叠加原理不适用于瞬时功率的计算。,当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t),设us1单独作用时，流过R的电流为i1(t),us2单独作用时，流过R的电流为i2(t),p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2,电阻消耗的瞬时功率,如果p(t)是周期函数，其周期为T，则其平均功率为：,一般情况下， i1i20，因此 P P1+
14、P2 ，即叠加原理也不适用于平均功率的计算。,us1单独作用时 i1(t) = I1mcos(w1t + q1),us2单独作用时 i2(t) = I2mcos(w2t + q2),p(t) =i2R=(i1+i2)2R= I1mcos(w1t +q1) + I2mcos(w2t +q2)2R,电阻消耗的瞬时功率,在正弦稳态下,若w1w2，且w2=rw1，r为有理数，则存在一个公周期T， p(t)的周期即为T ，而T=mT1=nT2, T1、T2分别为i1(t) 、i2(t)的周期， m、n均为正整数。 则平均功率为, 激励同频率时不能用叠加原理求功率，不同频率时可以用叠加原理求功率，即多个不
15、同频率的正弦电流（电压）产生的平均功率等于每一正弦电流（电压）单独作用时产生的平均功率的和。 P = P1 + P2,（2）若w1=w2，则,（1）若w1w2，则,由公式 2coscos=cos()+cos(+) 可知,瞬时功率 p =u(t) i(t), k= uk ik,非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。,一切满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开为傅里叶三角级数。相当于一系列不同频率的激励作用于电路。,u=15+10cos t +5cos3 t V，i=2+1.5cos（ t 30） A,例：已知,求电路消耗的功率。,解：,u,R,L= 5H,C10
16、F,uR,2k,例： 已知图中电压 u=10+12.73cos t +4.24cos3 t V角频率 =314rad/s，试求: uR 、 UR 、 P 。,u=10+12.73cos t +4.24cos3 t V,式中 =2 f =314 rad/s,解：,(1)直流分量 U0单独作用时,j L=j3145=j1570 ,= U0 + u1 + u3,UR0 = U0 = 10V,(2)基波分量 u1单独作用时,电感L视为短路，电容C视为开路。,= 3.18 168.7V,uR1= 3.18cos(314 t 168.7 ) V,(3)三次谐波分量 u3单独作用时,j3 L=j33145=
17、j4710 ,= 0.1 176.9V,u,R,L= 5H,C10F,uR,2k,uR3= 0.1cos(942t 176.9 ) V,瞬时值： uR= UR0+ uR1+ uR3,=10+ 3.18cos(314 t 168.7 )+0.1cos(942t 176.9 )V,计算有效值。,或,在具有电感和电容的电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电压与电流同相位，则称电路发生了谐振现象。,一、 RLC串联谐振,11-6 RLC 电路的谐振,一、 RLC串联谐振,串联谐振条件,即 XL=XC,串联谐振频率,一、 RLC串联谐振,串联谐振电路的特征,I0,R, L,(1) 阻抗模最小,为R。
18、,电路电流最大，为U/R。,(3) 电感和电容两端电压大小相等相位相反。,当XL=XCR时，电路中将出现分电压大于总电压的现象。,(2)电路呈电阻性,电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉。,f0,f0,(4)P=UIcos=UI=I2R Q= UIsin=0,串联谐振曲线,f0,I01,I02,容性,感性,R2,R1,R2 R1,I0,0.707I0,f0,f2,f1,通频带f2 f1,一、 RLC串联谐振,RLC串联谐振电路的品质因数Q,品质因数Q用于表明电路谐振的程度，无量纲。,可见品质因数Q完全由电路的元件参数所决定。,UC= UL=QUR=QU,串联谐振又称电压谐振。,只能为正值,RLC
19、串联谐振电路的通频带BW和fBW,解：,串联谐振角频率,UL= 0LI= 1050.1103 5=50V,例：图示电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。,1. 如果天线上接收的信号有三个，其频率：f1=820103Hz、f2=620103Hz 、f3=1200103Hz。要收到f1=820103Hz信号节目，电容器的电容C调变到多大？2.如果接收的三个信号幅值均为10V，在电容调变到对f1,发生谐振时，在L2中产生的三个信号电流各是多少毫安？对频率为f1的信号在电感L2上产生的电压是多少伏？,L3,L2,L1,C,例：图示电路中，电感L2=250H，其导线电阻R=20。,解：1.,C
20、=150 pF,要收听频率为f1信号的节目应该使谐振电路对f1发生谐振，即,2.,当C=150 pF， L2=250H,时， L2 C电路对三种信号的电抗值不同，如下表所示,UL=(XL/R)U =645 V,其它频率在电感上的电压不到30 V，而对f1信号则放大了64.5倍,R=20 ，C=150 pF， L2=250H,U=10V,解：,串联谐振角频率,UL= 0LI= 1050.1103 5=50V,设 u= U mcos t,R、L、C 并联电路,二、 并联谐振,二、 并联谐振,并联谐振条件：,并联谐振频率,即 XL=XC,并联谐振电路特征,(2)电流I为最小值，I0=U/R,(1)
21、电路呈电阻性，Z=R最大， Y最小。,(3)支路电流IL或IC可能会大于总电流I。,二、 并联谐振,f0,I,所以并联谐振又称电流谐振。,I0,并联谐振曲线,RLC并联谐振电路的品质因数Q,或,RLC并联谐振电路的通频带BW和fBW,RLC并联谐振电路的通频带BW和fBW,RLC串联谐振电路的通频带BW和fBW,例: GCL并联电路中，已知R=1k、L=0.5H、C=50F， 求此电路的谐振频率 f0 ，谐振时的品质因数Q。（4分）,解：,=31.85rad/s,品质因数,解：,Z1= ( jXL ) /(jXC),因i1(t)=0，故1/8F电容与2H电感并联部分的阻抗为无穷大,XL =XC
22、 即,解：,Z2=1+j21.25= (1+j2.5),= 2rad/s,Z4=1+j21.5= (1+j3),P =USIcos(ui)=203.54cos(0+ 45)=50W,解：,R=U0 / I0=15V/ 3A=5 ,ZLC= ( jXL ) /(jXC),XL = L=0.5 ,L=0.125H,XC =1/C=2 , =4rad/s时,Z1= R+jL1+ZLC = 5+j4L1+ j0.67,例:已知u=15+40cost+5cos2tV，i=3+2cos(t75.5) A,设 =4rad/s，试确定无源网络N0中一种可能的元件组成及结构。(设C=0.125F),例:已知u=
23、15+40cos t+5cos2 tV，i=3+2cos( t 75.5) A,设 =4rad/s，试确定无源网络N0中一种可能的元件组成及结构。(设C=0.125F),解得： L1=4.67H,第十一章作业：,1017 , 1019 , 1020 , 1022,第十一章作业：,118 , 1111 , 1114 , 1115,第一次作业：,第二次作业：,1122， 1123， 1124，,解：1、,XC= 8 ,I=12V 3 = 4 A,例 电路如图, 已知 R=3 ,电源电压u=17cos314t V, j XL = j 4 。求：1 容抗为何值（容抗不等于零）开关S闭合前后，电流 I
24、的有效值不变，这时的电流是多少？2容抗为何值，开关S 闭合前电流 I 最大，这时的电流是多少？,U = 17 1.414 =12V,I=12V 5 =2.4A,XC= 4,例. 试证明：当满足 CR =1时 u2与u1大小相等，相位差为90。,证：,当 CR =1,例 电路如图所示, R=40 , U=100V, 保持不变。 (1)当 f=50Hz时, IL=4A, IC=2A,求UR和ULC ; (2)当f=100Hz时, 求UR和ULC 。,(1) 当 f=50Hz时,(2)当 f=100Hz时,XL = 2fL=30,UR=RI= 40 2A=80V,ULC= ZLC I = 30 2A=60V,例: 图示电路中，电压表读数为220V,电流表读数为I1=10A， I2=14.14A, R1 =12 ，R2 = XL, 电源电压 u 与电流 i 同相。求总电流I、R2、 XL、 XC.,10,14.14,10,120,100,u,i,i2,i1,C,R2,L,R1,u1,u2,10A,14.14A,I=10A,U1=1210=120V,U2=220120=100V,XC=,=10 ,R2= XL=5 ,解：,+,+,+,
