电磁场课后习题ppt课件.ppt

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1、电磁场课后习题网上答疑,李宝华 东北电力大学电器工程学院 电自036班学号：0314619,目 录,第 二 章 恒定磁场 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 第 三 章 恒定磁场 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18,第 二 章 恒定电场,2-1电导率为 的均匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为 ，其中 是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度 。,解： 利用 与 的关系，再利用 和 的关

2、系可以解决此问题。,2-2一半径为 的均匀带点球，带电总量为Q，该球绕直径以角速度 旋转。求：球内各处的电流密度 ；通过半径为 的半圆的总电流。,解： 以球心为原点，旋转轴为Z轴建立坐标系。球内任一点距球心 处，与Z轴 的夹角为 ，该点运动的线速度为,带电球的电荷体密度为,利用 与 的关系可得,2-3 已知某一区域中在给定瞬间的电流密度 其中 为常数。求：此瞬间点 处电荷密度的变化率 ；求此时以原点为球心， 为半径的球内总电荷的变化率 。,解： 利用电荷守恒定律的微分形式,对点 ，其电荷密度的变化率为, 因为,所以,故,解： 在 的范围内，选一个单位长度的圆柱面，假设通过其上的漏电流为 ，可以

3、得到,2-4 同轴线内、外导体半径分别为 和 ，期间充填介质的电导率为 ，内、外导体间的电压为 ，求此同轴线单位长度的功率损耗。,利用 ，得,圆柱体内的功率密度,由此可得,同轴线单位长度的功率损耗,此题也可以用建立圆柱内电位函数 所满足的边值问题，求解出电位函数 后，利用 求出圆柱内的电场强度，后面求解可与以上方法相同，也可以求出单位长度圆柱的电导或电阻，利用 或 去求解。,2-5 内、外导体的半径分别为 ， 的圆柱形电容器，中间的非理想介质的导电率为 ，若在内外导体间加电压 ，求非理想介质中各点电位和电场强度。,解： 设两导体之间的楼电流为 I ，由于系统的周对称性，电流密度沿径向，且只与

4、有关，由此可得,式中 为圆柱的长度。,由此可以得到非理想介质中各点的电位,已知内外导体的电压为 ，可得,若以外导体为电位参考点，在 内，任一点的电位,电场强度,若以外导体的电位为零，在 的非理想介质内任一点的电位,2-6 球形电容器的内外半径分别为 ， ，中间理想介质的电导率为 ，已知内外导体间电压为 ，求非理想介质中各点的电位和电场强度。,解： 设两导体球间的漏电流为 I ，由于系统具有球对称性，电流密度沿径向，且只与 r 有关。由此可得,已知内外导体间的电压为 ，可得,由此可得非理想介质中任一点的电位,电场强度,2-7 有两块不同电导率薄钢片构成一导电弧片，如图所示。 若 厚度为 ，电极间

5、电压 且 。求：弧片内的电位分布（设 轴上的电极为零电位）; 总电流I和弧片电阻R； 在分界面上 ， ， 是否发生突变； 分界面上的电荷面密度 。,解： 因为 ，电极表面可视为等位面，有对称性分析，电流密度线式沿图示 方向，即垂至于电极表面，而等位线垂至于 线（即 线），因此 只与坐标 有关，而与坐标 无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其边值问题为,其通解可写为,利用边界条件，决定待定系数可得,由此可得弧片内的电位分布为,再利用分界面上电流密度的衔接条件,弧片内的总电流,式中 ，是薄钢片的厚度。,弧片的电阻,利用分界面上的衔接条件 ，则电流密度在分界面上保持连续，没有突变。,因 ， ，故

6、电场强度在分界面上不连续，有突变。又因为两种导体媒质的介电常数均可视为，故电位矢量也不连续，有突变。,利用 ，将 ， 代入得,2-8 如将电极改置于钢片的弧边，重求上题的解。,解： 此时电流密度沿 方向，即垂至于电极表面。等位线垂至于 线，因此 只与 有关，而与 无关。将此系统分为两个均匀的导电媒质区域，写出边值问题为,利用边界条件决定通解中的待定系数,其通解可写为,由此可得弧片内的电位分布为,其中 。弧片内任一点的电流密度为,弧片内的总电流,两媒质分界面上的电场强度沿分界面的切线方向，由分界面上的衔接条件可知 。电场强度在分界面上连续，不突变。又因为两种导体媒质的介电常数均为 ，故 。电位移

7、矢量在分界面上业连续，不突变。但 由于 ，故在分界面上电流密度不连续，有突变。,分界面上无自由电荷面密度分布 。,由于在分界面上电位移矢量 连续，不突变，故,2-9 无限大平行金属板，相距为 ，板间置有两种导电媒质，分界面亦为平面。第一种媒质(电导率 ，介电常数 )厚度为 ，第二种媒质(电导率 ，介电常数 )厚度为 。一只金属板的电位分别为 和 。试求达到稳定状态时分界面上的电位及电荷密度。,解： 无限大平行金属板可以忽略端部的 边缘效应。由对称性分析可知 和 都垂至于极板，故分界面为等位面。,利用在媒质分界面上的衔接条件 。由于 ， ，因此可得到,分界面上的电位为,利用 ，可以得到,若令 ，

8、解上面两式可得,分界面上的自由电荷密度为,2-10 球形电容器的内半径 ，外半径 。其中设有两层电介质，其分界面亦为球面，半径 。若电导率分别为 。若内外导体间施加电压 ，求：球面之间的 ， 和 ；漏电流。,解：设内外导体之间电压为 ，流过的电流为 。有对称性分析可知，电流沿径向且为球对称。,且,在 区域内,若以外球壳为电位参考点，则在 的区域内,若 时， 则,球形电容器的漏电导为,解：由于盐水溶液的电导率要远远大于橡胶的电导率，因此电压主要降在橡胶上。设电缆的内导体半径为 ，橡胶的外表面半径为 ，内外电压为 。假设橡胶内的漏电流为 ，由于电缆的轴对称性可得,2-11 以橡胶作为绝缘的电缆漏电

9、阻是通过下述办法测定的。把长度为 的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而测得电流。有一段3m长的电缆进入溶液后加电压 ，测得电流为 。已知绝缘层的厚度与中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。,由此可得到,其中 ，代入数据可得,解： 根据解的唯一性定理，在保证边界条件不变的情况下，利用镜像法，在距陡壁右侧 处对称地引出接地半球的镜像。由于 ，可近似认为两半球之电流沿球的镜像均匀分布，电流终止于无限远处，由此可得,2-12 半球形电机置于一个直而深的陡壁附近，如图所示。已知 ，半球中心距陡壁的距离 ，土壤的电导率 ，求接地电阻。,半球电极的接地电阻为,式中 和 分别为接地器中心

10、和它的镜像的中心到土壤内任意一点的距离； 、 分别为该距离连线上的单位矢量。若以无限远处为电位的参考点，半球的电位为,解： 半球形接地器沿地面的电流密度为,土壤中电场强度的分布为,2-13 一个电钢条组成的接地体系统，已知其接地电阻为100 ，土壤的电导率 。设有短路电流 从钢条流入地中，有人正以 的步距向此接地体系统前进，前足距钢条中心2m，试求跨步电压。(解题时可将接地系统用一等效的半球形接地器代替之。),设人的两脚与地的接触点为则,第 三 章 恒定磁场,3-1四条平行的载流 无限长直导体垂直地通过一边长为 的正方形定点，求正方形中心点P处的磁感应强度值。,解：利用无限长直导线，若有线电流

11、 通过，在真空中产生的磁感应强度为,由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示垂直向下，大小为,再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载 P点所产生的磁感应强度。,3-2 真空中，在 平面上的 和 范围内，有以线密度 均匀分布的电流，求在点(0,0,5)所产生的磁场感应强度。,解： 如图所示，选择 ，视为半无线长直导线，它在P点产生的磁感应强度的大小为,利用叠加定理，P点的磁感应强度的x分量和z分量分别为,其中 。由右手螺旋法则可判断 的方向，并将分解为x方向和z方向两个分量,3-3 真空中一通有电流(密度 )、半径为 的无限长圆柱内，有一半径为 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 ，如图所示。

12、求空洞内任一点的,解： 若假设空洞处有一大小同为 ，但流向分别为 方向和 方向的电流，这样可将此问题视为半径为 的无限长圆柱内整体载有电流 和半径为 的无限长圆柱内载有电流 的两个圆柱在P点产生的磁感应强度的叠加。,利用安培环路定律，半径为 的大圆柱在空洞内P点产生的磁感应强度大小为,其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心， 为半径圆环的切线方向。对半径为 的小圆柱，在空洞内P点所产生的磁感应强度大小为,其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿 方向。若设大圆柱与小圆柱中心连线为x的正方向，则P点的磁感应强度应为两圆柱各自在P点产生的磁感应强度的矢量和,式中为P点到x轴的垂直距离， 为

13、到x轴上的投影， 为 在x轴上的投影， 为两圆柱轴线的距离。,3-4 真空中由一厚度为 的无限大载流(均匀密度 )平板，在其中心位置由一半径等于 的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。,解： 与上题思路相同，假设空洞中存在 和 的电流，求各点处的磁感应强度可视为一个无限大均匀载流 的平板与一个载流为 的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感应强度的矢量和。,的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出,有 的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出,各处的场强为它们的矢量和,3-5 一电流密度为 的无限大电流片，置于 平面，如取 平面上半径为 的一个圆为积分回路，

14、求,解： 利用安培环路定律,3-6 如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域、中的 , , 。设已知：所有区域中 ；区域中 ，区域、中 。,解：由于两个无限大电流片的电流方向相反，因此在区域，内,在区域内,在区域，内与上面的结论一致，在区域内,3-7半径为 ，长度为 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为 ( 轴就是圆柱的轴线)。求沿轴各处的 及 ;求远离圆柱 处的磁场强度。,解： 先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁化， 是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为,磁化电流线密度为,其 为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 ，代入上式可知端面上 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 ，故侧

15、面上的磁化电流线密度为,由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电流，每个小圆环电流为,式中 是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 在轴线上产生沿轴线方向的磁感应强度为,磁感应强度的方向沿 的方向，故,当 时,当 或 时，,当远离圆柱时，即 ， 时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁偶极矩,它在空间中产生的磁场可用磁矩 表示为,若仍求轴线上 上的磁感应强度，由于 ， ， ，则,3-8 有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 与 ，铁

16、环的 环上绕有50匝通有2A电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度(忽略漏磁，且环外的磁导率为 )。,解： 从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即 及 处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则,所以环的截面以外各处 ， 。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选 为半径，作一安培环路,， 方向均沿安培环路的切线方向。,3-9 已知在 的区域中， ，在 的区域中 ，设在 处 是均的，其方向为 ， ，量值为 ，试求 处的 和 。,解： 利用媒质分界面上的衔接条件，因为 ，则 ， 。利用,由此可得,由于入射面与折射面共面，故,3-10 对真空中下列电流分布求 ,当 空间内距中心

17、处( )选对称的两薄板，其电流线密度分别为 ， 。该两个薄平板在 的空间内产生的磁感应强度为,解 处 ， 处 沿 方向， 处 沿 方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问题，由此可知在 及 的空间内， 。,该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡 的电流片对 的磁场有贡献。因此,所以磁场的分布为,这是轴对称的电流分布，可直接用安培环路定律求解。当时,方向也是沿安培环路的切线方向。,3-11 对于真空中的下列电流分布，求磁矢位及磁感应强度：半径为 的无限长圆柱通有电流，其电流线密度厚度位 的无限长电流片通有电流，其电流面密度,解： 由题意，圆柱侧面通有沿轴线方

18、向的现密度为 的电流。由对称性分析，它产生的磁场为平行平面场，且磁矢位也沿 方向，仅为圆柱坐标系中 的函数,将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。,即,有限值，令 (参考点),方程的通解为,由边界条件决定待定系数,由此可知,如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿 轴和 轴方向都是平行平面场，因此 仅与 有关。所以,将研究的区域分不为三部分，分别写出 满足的边值问题,(参考点),方程通解为,利用边界条件决定解的待定系数,磁矢位为,磁感应强度为,3-12 点出如图所示各种情况下的镜像电流，注明电流的方向、量值及有效的计算区域。,3-13 在磁导率为 的媒质中，由

19、载流直导线与两种媒质分界面平行，垂直距离为 ， ， ，如图所示，求两种媒质中的磁场强度和载流导线每单位长度所受的力，并回答对于 媒质中的磁场，由于 的存在，磁场强度比全部为均匀媒质( )时变大还是变小。,解： 有区域为 所分布的区域时，采用镜像法，镜像电流 为,载流导线单位长度所受之力为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为,磁场强度为,上式中负号表示斥力。当有效区为 所分布的区域时，镜像电流 为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为,磁场强度为,对 媒质中的磁场，若电流 不变，而全部充满 的媒质，则它在 点产生的磁感应强度为,磁场强度为,由此可以看出，存在 媒质时

20、使 媒质内的磁场比全部为均匀媒质 时变大了,当 时,3-14 求如图所示两同轴导体壳系统中储存的磁场能量及自感。,解： 设同轴导体壳长为 ，内部于外部通有大小相等、方向相反的电流 。采用安培环路定律，可分别求出导体壳内外各部分的磁感应强度和磁场强度,当 时,当 时,当 时,当 时,由此可求出储存于导体壳系统的磁场能量,解： 如图所示的电流 ，它在线框处距左方导线中心线 处的磁感应强度为,3-15 如图所示，计算两平行长直导线对中间线框的忽感；当线框为不变性刚体时，求长导线对它的作用力。,该磁场在中间线框产生的磁通和磁通链为,平行长直导线于中间线框的互感为,平行通电导线对通有电流的线框的作用力为

21、,当中间西安矿的电流 的方向为图中所示方向时， 与 在线框中产生的磁场方向一致，互有能为正。此时互有能为,解： 由于有 的无限大导磁媒质在导线的左侧，此题要用镜像法求解。镜像电流在所研究区域之外，位于媒质分界面左侧距分界面 处，镜像电流 ，且与所设导线上的电流方向一致。这样，电流 与镜像电流 在线框中距导线 处的磁感应强度为,3-16 计算如图所示的长直导线与线框之间的互感。请给出所需镜像电流的大小、方向及位置，并给出此时导线与线框的互感。,导线与线框的互感为,电流 与镜像电流在线框中产生的磁通和交链的磁通链为,解： 由于铁磁物质的磁导率 ，磁场限制在磁路内。铁芯内 ，故由安培环路定律得,3-

22、17 对于如图所示厚度为 (垂直纸面方向)的磁路，求： 线圈的自感； 可动部分所受的力。,利用媒质分界面上的衔接条件，可知铁芯内的磁感应强度与气隙中的磁感应强度相同,穿过气隙的磁通为,由此可知电流线圈所交链的磁通链为,由于可得到线圈的自感为,系统存储的磁场能量为,可动部分所受的作用力为,故作用力的方向将使广义坐标 减小，为吸引力。,3-18 试证明在两种媒质分界面上，不论磁场方向如何，磁场力总是垂至于分界面，且总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。,证明；设两种媒质的磁导率分别为 、 ， 为分界面的法向方向，且由媒质1指向媒质2。在两种媒质分界面上的场量分别为 、 、 、 ，将他们的法线分量视为一个力管，切线分量视为一个力管。法线分量力管在分界面处受的是纵张力，则单位面积所受的力为,切线分量力管受到的是侧压力，单位面积的受力为,媒质分界面上单位面积受到的磁场力是它们的叠加,利用分界面上的衔接条件,带入 中可得,当时 ， ，说明力沿 的正方向，由媒质1指向媒质2。当 时，说明力沿( )方向，即从媒质2指向媒质1。由此可知，磁场力总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。,