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1、换面法,一、问题的提出(实物),如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线,解决方法：更换投影面V为V1/AB。,换 面 法：,物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的特殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。,换面法中的主要名称：,二、新投影面的选择原则,1. 新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊位置。,2. 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于某一保留的投影面(如图V1H)，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。, 一次换面,A点的投影：a(V), a(H)，a1(V1)-标注规定., 新投影体系的建立,三、点的投影变换
2、规律,V,H,X,a,a,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1, 新旧投影之间的关系（黑板）,1. a1a X1,2. a1ax1= aax,2. 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影 到旧投影轴的距离。,ax,a,点的换面规律（一个垂直，一个相等）,1. 点的新投影与保留投影的连线，必垂直 于新投影轴。,更换H面, 求新投影的作图方法,首先确定好新投影轴，由点的保留投影向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。,ax1,作图规律：, 两次换面, 新投影体系的建立,A,a,V,H,a,ax,X,H面没动，空间点A到H面的距离没变。,V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。
3、,a,a,X,V,H, 求新投影的作图方法,作图规律 a1a2 X2 轴 a2ax2 = aax1,ax,作图规律 aa1 X1轴 a1ax1 = aax,第二次新投影关键：隔面量距,四、换面法的六个基本作图问题,1. 把一般位置直线变换成投影面平行线,用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，V1 / AB 。,空间分析：,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行,求，H面不动；求，V面不动。,2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线,问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。,X1,3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线
4、变成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例：把ABC变换成投影面垂直面。,空间分析： (实物)如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,作图过程：在平面内取一条水平线AD，将AD变换成新投影面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角？,4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面（可求解平面与投影面的倾角）,求，H面不动；求，V面不动。,a,b,c,a,b,c,V,H,A,B,C,X,c1,b1,a1,5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面,一次换面后可求解平面实形,问题的关
5、键： 新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。,V,b,a,c,H,A,B,C,b,a,X1,c,X,6. 把一般位置平面变换成投影面平行面,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作 图：,AB是水平线,空间分析：,X2轴的位置？,平面的实形,与其平行,换面法的六个基本作图问题：,3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面,1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面,4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面,6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面,需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线,5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面,2. 把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面,(f
6、)直线与平面相交,解题思路,1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨迹法。,逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联系，再顺着做题。,轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是答案。,2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。,a1,b1,c1,1.用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。,a,b,c,a,c,b,X,V,H,2.求ABC与EF的交点，并判别可见性.,e,f,e,f,f1,用重影点判别可见性,e1,分析：把ABC换成投影面垂直面,例3：求两平行直线的距离.,b,a,c,d,d,V,H,作图：,分析：把AB、CD换成投影面垂直线，两点的距离即为所求。（
7、逆推法）,距离,d1,如下图：把AB换成投影面垂直线，变成两点的距离，且CD平行于新投影面，其投影反映实长。,作图:,求C点到直线AB的距离，就是过C作AB的垂线CD。,空间及投影分析：,过c1作线平行于x2轴。,如何确定d1点的位置？,例 5： 已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影（轨迹法）。,a,b,X,V,H,c,a,b,空间及投影分析：因为高CEAB，根据直角投影定理，把ab换成平行线，则c1e1 a1b1.,V,H,X,例6：求平面ABC和ABD的两面角。（逆推法）,空间及投影分析：,在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面也垂直于该投影
8、面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角即为所求。,例7: 过C点作直线CD与AB相交成60。#,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作图：,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,空间及投影分析：当AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60），将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面，即得 。（逆推法）,换 面 法 小 结,一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投投
9、影保持垂直关系同时又有利于解题需要，这样才能使用正投影规律。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。, 点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。, 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。,点的换面规律,换面法的六个基本作图问题：,3. 把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面,1. 把一般位置直线变成投影面平行线一次换面,4. 把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面,6. 把一般位置平面变成投影面平行面两次换面,需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线,5. 把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面,2. 把投影面平行线变成投影
10、面垂直线一次换面,4、 求距离（1）点与直线之间 a. 将直线变换成投影面垂直线。 b. 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。,五、换面法的应用,1 、求直线实长和与投影面的倾角 将直线变换成投影面的平行线。,2 、求平面实形和重心 将平面变换成投影面的平行面。,3、 求平面与投影面的倾角 将平面变换成投影面的垂直面。,（4） 两平行平面之间 将两平面变换成投影面垂直面。,（5）两交叉直线之间 将一直线变换成投影面垂直线。,（2） 点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。,（3） 两平行线之间 将两直线变换成投影面垂直线,5 、求夹角（1）两直线之间 将两直线组成的平面变换成投影面平行面
11、。,（2） 两平面之间 将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。,（3）一直线和平面之间 将平面变换成投影面平行面，再将直线换成投影面平行线。,距离:,1.点到直线的距离； 4.线、面平行间的距离；2.平行两直线的距离； 5.点到平面的距离；3.两直线的公垂线； 6.平行两平面的距离。,角度：1.相交两直线的夹角；2.交叉两直线的夹角； 3.两平面的夹角；,解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特
12、殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。, 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。,b,a,a,b,c,d,例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求其公垂线的长度MN及其投影。,空间及投影分析：,V,H,X,作图：,求m点是难点，MN是V1面的平行线，mn/X1,#,*例9：两平行直线的距离为10，求水平投影ab.（轨迹法）,b,a,c,d,d,V,H,作图：,分析：把AB、CD换成投影面垂直线，两点的距离即为所求。,C,b,a,a,b,c,d,*例10：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。（轨迹法）,空间及投影分析：,V,H,X,圆半径=MN,作图：,求m点是难点，MN是P1的平行线，mn/X1,*例11 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。,X,V,H,e,d,c,d,e,c,a,b,c1,分析：当CDE为投影面垂直面时，与直线的距离可直接求出。,
