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1、4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？,下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!,1.理解直线与圆的位置的种类.（重点）2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.（重点、难点）3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（难点）,1.直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解析】选A.因为 所以直线与圆相交.,一、预习检测,2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为()A.0或2B.2C. D.无解【解析】
2、选B.由圆心到直线的距离为半径得 所以m=2，故选B.,一、预习检测,3.已知P=(x，y)|x+y=2，Q=(x，y)|x2+y2=2，那么PQ为()A.B.(1，1)C.(1，1)D.(-1，-1)【解析】选C.解方程组,一、预习检测,4.直线x=1与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是_.【解析】因为圆心(-1，0)到直线x=1的距离d=21，所以直线x=1与圆(x+1)2+y2=1相离.答案：相离,一、预习检测,5.直线与圆相交，圆的半径为r，且直线到圆心的距离为5，则r与5的大小关系为_.【解析】因为直线与圆相交，所以d5,一、预习检测,1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.
3、,2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.,3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.,1. 直线与圆的位置关系,二、知识梳理,o,圆心O到直线l的距离d,l,半径r,1.直线l和O相离,此时d与r大小关系为_,dr,提示：,o,半径r,2.直线l和O相切,此时d与r大小关系为_,d=r,o,半径r,3.直线l和O相交,此时d与r大小关系为_,dr,1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：,2.直线与圆的位置关系的判定方法,二、知识梳理,2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：,二、知识梳理,直线l:x=0与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切 B.相交不过圆心C.相交且过
4、圆心 D.相离,【即时训练】,C,类型一：直线与圆位置关系的判断【典例1】求实数k的取值范围，使直线l：y=kx+2与圆M：x2+y2=1.(1)相离； (2)相切； (3)相交.,三、例题讲解,类型一：直线与圆位置关系的判断【典例1】求实数k的取值范围，使直线l：y=kx+2与圆M：x2+y2=1.(1)相离；(2)相切； (3)相交.,三、例题讲解,【解析】方法一(代数法)：将y=kx+2代入x2+y2=1，得(k2+1)x2+4kx+3=0，=(4k)2-4(k2+1)3=4(k2-3).(1)当l与圆M相离时，0，即k2-30.所以k的范围为,(2)当l与圆M相切时，=0，即k2-3=
5、0，即k= (3)当l与圆M相交时，0，即k2-30.即,方法二(几何法)：圆心M(0，0)到直线y-kx-2=0的距离d= 当d 或k1时，即 1- k 直线与圆相离.,【规律总结】直线与圆的位置关系判断的两种方法(1)几何法：把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径；利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，并将此距离与圆的半径作比较；,作判断：当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交.,(2)代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组；利用消元法，得到一元二次方程；求出其的值，比较与0的大小，得出结论.,类型二：圆的切线问题【典例2】求与直线y=x+
6、2平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程.,三、例题讲解,【解析】设直线的方程为y=x+m，即x-y+m=0.(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2，3)，半径为 由 得m=5或m=-3，所以直线的方程为y=x+5或y=x-3.,【延伸探究】1.(变换条件)若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“与直线y=x+2垂直”且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程【解析】设所v为y=-x+m，即x+y-m=0，由 得m=1或m=9，故切线方程为y=-x+1或y=-x+9.,2.(变换条件)若将本例中条件“与直线y=x+2平行”换为“求过点P(5，1)”且与圆
7、(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线的方程？【解析】设所求切线方程为y-1=k(x-5)即kx-y-5k+1=0.由 得k=-62 .故所求切线方程为(-6+2 )x-y+31-10 =0或(-6-2 )x-y+31+10 =0.,【变式练习】,D,【规律总结】圆的切线方程的两种求解方法(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程.,(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接
8、写出切线的方程.,(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.,例3 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 ，求直线l的方程.,解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5. 如图，因为直线l被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为 .,三、例题讲解,因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
9、 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离 因此，,即 两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0,解得k= ，或k=2. 所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3= (x+3),或 y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或 2x-y+3=0.,小结：,1.,2.,3.,直线与圆相交，求弦长问题时，我们经常抓住半径、半弦、弦心距构成的直角三角形求解.,注意数形结合思想、方程思想、运动变化观点的综合运用。,直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为,dr,d=r,dr,d与r,2个,1个,0个,交点个数,图形,
10、相交,相切,相离,位置,r,d,r,d,r,d,则有以下关系：,求圆心坐标及半径r（配方法）,圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）,消去y,判断直线和圆的位置关系,几何方法,代数方法,拓展类型：与弦长有关的最值问题【典例】(1)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).证明不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点.求直线被圆C截得的弦长最短时l的方程.,(2)已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x2+y2-8x-2y+9=0.求证：直线l与圆M必相交；当圆M截l所得弦最长时，求k的值.当圆M截l所得弦最短时，求k的值.,1.若直
11、线x-y+a=0与圆x2+y2=a相切,则a等于()A.2或0B.C.2D.4,C,2.(2015武威高一检测)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离,B,D,C,5.已知圆的方程为x2+y2=4,则经过点(2,0)的圆的切线方程是 .【解析】显然点(2,0)在圆上,可求得过此点的圆的切线方程为x=2,即x-2=0.,x-2=0,【补偿训练】过点A(4，-3)，作圆C：(x-3)2+(y-1)2=1的切线，求此切线的方程.【解析】因为(4-3)2+(-3-1)2=171，所以点A在圆外.,(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以 即|k+4|= 所以k2+8k+16=k2+1.解得k=- .,所以切线方程为y+3=- (x-4).即15x+8y-36=0.,(2)若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x=4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x=4.综上，所求切线方程是15x+8y-36=0或x=4.,不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。,
