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1、直线的位置关系（5） -直线系问题,直线系方程的分类,直线系方程的定义,直线系方程的应用,课堂结构,一、直线系方程的定义,直线系：具有某种共同性质的所有直线的集合.它的方程叫直线系方程。,二、直线系方程的种类1:,1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 （其中mC，m为待定系数）；,直线系方程的种类2:,2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.,直线系方程的种类3:,3. 过定点P（x0，y0）的直线系方程为：A(x-x0)+B(y-y0)0,设直线的斜率为,A(x-x0)+B(y-y0)0 (1),y-y0
2、k(x-x0) (2),说明:(2)比(1)少一条直线,即:(2)应考虑k不存在的情况,问题： 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为：m(A1x+B1y+C1)+n( A2x+B2y+C2)=0 其中m、n为待定系数.,证明：,所以,m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0,直线m(A1x0+B1y0+C1)+n(A2x0+B2y0+C2)=0经过点（x0，y0）,直线系方程的种类4:,4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0相交，交点
3、为P（x0，y0），则过两直线的交点的直线系方程为:m(A1x+B1y+C1 )+n( A2x+B2y+C2)=0(1),其中m、n为待定系数.,A1x+B1y+C1 +k( A2x+B2y+C2)=0(2) 其中k为待定系数.方程(2)比(1)少一条直线。,例.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。,解法2：,令m=1，m= -3代入方程，得：,解得：,解得：,所以直线恒过定点,又因为: 3.5(m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0,三、直线系方程的应用:,例1.求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(
4、m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。,解法1：,将方程变为：,解得：,即：,故直线恒过,若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：,方法小结：,法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。,法一:分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与m的取值无关，故从而解出定点。,例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。,代（2，1）入方程，得：,所以直线的方程为：,x+2y-4=0,解（1）：
5、设经二直线交点的直线方程为：,例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。,解得：,由已知：,故所求得方程是：,4x+3y-6=0,解（2）：将（1）中所设的方程变为：,本题采用先用直线系方程表示所,利用待定系数法来求解.,函数或曲线类型问题中,我们都可以,这种方法称之为待定系数法,在已知,待定常数,从而最终求得问题的解.,求直线方程,然后再列式,求出方程的,方法小结：,练 习 1,一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：,y=x,2x+3y-2=0,4x-3y-6=0,x+2y
6、-11=0,5若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。,得:,解得:,所以无论m为何值,直线均经过定点(4,9/2),解:,将方程化为:,两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程,如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得:,x2 +xy-2y2-x+y=0,那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们.请看下面的例子:,四、一个二次方程表示 两条直线的问题:,例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0表示两条直线？,解（待定系数法）：将方程化作：,设：,则,所以：,解得：,即：k= -6 时方程表示两条直线。,1方程x2-y2=0表示的图形是：,2直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是_.,练习2,垂直,3.方程 表示两条直线，求m的取值范围。,方程应有非负根,故设:t =,所以,0m3,解:,
