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1、第2节,一、矩形区域上二重积分的计算,二、一般区域上二重积分的计算,直角坐标系下 二重积分的计算,第21章,一、矩形区域上二重积分的计算,在,定理1.,也存在,且,上可积,且对,每个,存在,证:,直线网T :,先用平行于坐标轴的,则累次积分,分割D成rs个小矩形:,令,下面证,在,可积,且积分值为二重积分.,因为,在,上可积,故必有界.,定积分估计式得,由确界原理及,其中,由积分区间的可加性,其中,由于二重积分存在,故,由于当,因此由定积分定义,上式左边亦可写为,即,由迫敛性,得,类似可证下面结论:,在,定理2.,也存在,且,上可积,且对,每个,存在,则累次积分,特别当,在,上连续时,则,例1
2、. 计算,其中,解法1. 利用定理1, 则,解法2. 利用定理2, 则,二、一般区域上二重积分的计算,1. D为 X 型区域,平面区域D的两种简单类型:,D为Y 型区域,2.,定理3.,在X 型区域D上连续,其中,上连续,则,先 y 后 x,在Y 型区域D上连续,其中,上连续,则,先 x 后 y,证：,说明:,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域(如图) ,则,(1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,例2. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,
3、解法2. 将D看作Y型区域, 则,例3. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,例5. 将二重积分,其中D 如下图所示.,化为累次积分，,(1),(2),例6. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,例7. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此先对 y 积分：,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序
4、.,解：,例8.,计算积分,例9 计算,其中 D 是由直线,所围成.,解：,例10. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,内容小结,(1)直角坐标系下二重积分化为 累次积分的方法:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,(2) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),利用对称性,应用换元公式,（两边夹，一线穿）,作业,P222 1 (2), (4); 2 (2), (4); 3; 5.,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,解：,原式,2.,给定,改变积分的次序.,
