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1、27.2.1常见圆中相似问题,第一部分 圆中的相似模型,母子型（尤其是直角三角形的母子型）,如图，AB是 O的直径，点C在圆上，CDAB，DEBC，则图中与ABC相似的三角形的个数有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个,如图，A、B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，ACEBDE (2) ABEADB (2)求AB的长度,如图，AB是O的直径，点E是上的一点，DBC=BED,（1）求证：BC是O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长,如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径作O，交AC于点D，连接DB，过点D作DEBC，垂足为E,（1）求证
2、：DE为O的切线；（2）求证：DB2=AB * BE,第二部分 圆中辅助线,1.直径所对的圆周角是90度2.有切线连切点和圆心,如图，直线 与半径为4的相切于点 ， 是 上 的一个动点（不与点重合），过点 作 ，垂足为 ，连接 。,设 ， ，,则 的最大值是_,如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 。,（1）求证： 。（2）若 ， ，求 的长。,如图，以 的一边 直径的半圆与其它两边 ， 的交点分别为， ，且。,（1）试判断 的形状。（2）已知半圆的半径为5， ，求AD的值。,如图， 是 的直径， 点在 上，,的平分线交 于点 ，过点 作 的,垂线交 的延长线于点 ，连接 交
3、于点,（1）猜想 与 的位置关系，并证明你的猜想。（2）若 ， ，求 的长。,圆和相似三角形,圆与相似三角形综合题解题思路,对应角相等,对应边成比例,在O中，弦AB，CD相交于点P,连接AC.已知AC=2，BD=4，AP=1。,(1) 证明ACP DBP; (2) 求线段DP的长.,在O中，弦AB，CD相交于点P,点A为CD弧中点,连接AC,BD,AD,已知AP=2，BP=4.,(1) 证明ADP ABD (2) 求线段AD 的值,2,如图,已知AB是O的直径,点C是O上一点,连接AC,过点C作CDAB于D点，E是AB上一点,直线CE与O相交于点F,连接AF与线段CD的延长线交于点G.(1)试
4、说明:ACGAFC.(2)若AG=2，AF=6，求以AC为边的正方形面积.,在半径为r的O中，直径AB直径CD，P为弧BC上任意一点，PD 交AB于E点，PA交CD于F点.求证:(1) (2)四边形ADEF的面积为r2,圆结合三角形外角内角等知识综合演绎找等角.,O,圆与相似三角形综合题解题思路,在圆中找到相等角的方法:,（ 作辅助线构造） 同弧或等弧所对圆周角相等。,结合三角形外角内角等知识综合演绎。,直径配垂直。,练习1 如图，AD是ABC的高，AE是ABC外接圆O的直径，且AC=5，AD=4，AB=求圆的直径AE的长（改为求圆的面积呢）,中考题解析,练习2,中考题解析,考查了圆周角定理、
5、垂径定理 ,相似三角形的判定与性质,分析：（1）证明：如图A与B都是对弧CD的圆周角， A=B， 又1=2， ADEBCE；,中考题解析,考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质此题难度不大，注意数形结合思想的应用,2）证明：如图，AD2=AEAC，又A=A，ADEACD，AED=ADC，又AC是O的直径，ADC=90，即AED=90，直径ACBD，CD=CB,练习3ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E。若AB=6，CD=2，求CE的长。,A,B,C,D,O,图1,典型例题分析,圆与相似三角形综合题,证明：AB是O的直径， ACB=90，又CDAB于D，BCD
6、=A，A=F，F=BCD=BCG，在BCG和BFC中，BCGBFC,解：延长CG交O于点M,练习5 ABC内接于O，D是O上一点，连结BD、CD、AC、BD，交于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证明；(2)若D=45，BC=2，求O的面积。,相似基本图形,1. 平行相似,2.两角相等,“A”字型,“X”字型,（1=C）,(DEBC),平移,双垂图,角特殊化,特别注意直角三角形的相似,中考题如图3，在RtABC中，C=90，点D是AC的中点，且A+CDB=90，过点A，D作O，使圆心O在AB上，O与AB交于点E（1）求证：直线BD与O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求O的直
7、径,分析：连接OD，由A=ADO,进而得到ODB=90,直线BD 与O相切；连接DE,利用ADEACB,进而得到AC：AB=4：5,求出结果。,1.如图，已知O的两条弦AB、CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则CE=_.,9,2、已知：如图，ABC内接于O，AD是O的直径，AEBC于点E，AB=6，AC=5，AE=4，求AD的长。,3、如图，ABC是O的内接三角形，D是AC的中点，BD交AC于点E。(1)CDE与BDC相似吗？为什么？(2)若DEDB=16，求DC的长。,D,练习1：如图，A、B、C、D是O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为_,练习2
8、：如图,等边ABC中内接于圆O,D为弧AC上一点,CD的延长线与BA的延长线交于E,若AB=根号15,DE=2,则CD的长为,4.（2012黄冈）如图，在ABC中，BABC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D连接DB，过点D作DEBC，垂足为点E（1）求证：DE为O的切线（2）求证：DB2ABBE,5.如图，AB是O的直径，C是O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分BAD(1)求证：CD是O的切线；(2)若AC2根号6，AD4，求AB的长,练习1（2012大连）如图，AB是O的直径，点C在O上，CAB的平分线交O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点
9、F（1）猜想ED与O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长,练习2 如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC12.（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD3，求ABC的面积.,练习3 如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC（1）求证：BC平分PDB；（2）求证：BC2=ABBD；（3）若PA=6，PC=6根号2，求BD的长,6.如图，已知AB为O的直径，点C
10、是O上一点（不与A、B重合），过点C作O的切线CD,过点A作CD的垂线，垂足是M点. 若AB=6，AM=4，求AC的长.,7已知：如图，AB为O的直径，弦ACOD, BD切于B,联结CD（1）判断CD是否为O的切线，若是请证明；若不是请说明理由（2）若AC=2,OD=6,求O的半径,8. 如图，AB为O的直径，AB=4，点C在O上， CFOC，且CF=BF. 求证：BF是O的切线;设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求AC的长；求M的大小；MCF的大小.,题型分类深度剖析,【例 1】(2014玉林)如图的O中，AB为直径，OCAB， 弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作O的切线交于点
11、G，并与AB延长线交于点E. (1)求证：12. (2)已知：OFOB13，O的 半径为3，求AG的长,典例精析,题型分类深度剖析,【例 2】(2014咸宁)如图，已知AB是O的直径，直线CD 与O相切于点C，ADCD于点D. (1)求证：AC平分DAB； (2)若点E为 的中点，AD ，AC8，求AB和CE的长,典例精析,题型分类对点训练,1. (2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任 意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使ADC与 ABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错 误的是 () A. ACDDAB B. ADDE C. AD2BDCD D. AD
12、ABACBD,对点训练,题型分类对点训练,2. (2014内江)如图，RtABC中，ACB90，AC4， BC6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与 AC、BC相切于点D、E，则AD为 () A. 2.5 B. 1.6 C. 1.5 D. 1,对点训练,题型分类对点训练,3. (2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点， OQBC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于 点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是 (),对点训练,题型分类对点训练,4. (2014南宁)如图，ABC是等腰直角三角形，ACBC a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于
13、点 E、F，与AB分别交于点G、H，且EH的延长线和CB的延长 线交于点D，则CD的长为_,对点训练,题型分类对点训练,6. (2014陕西)如图，O的半径为4，B是O外一点，连接 OB，且OB6，过点B作O的切线BD，切点为D，延长BO 交O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分BAC； (2)求AC的长,对点训练,题型分类对点训练,7. (2014资阳)如图，AB是O的直径，过点A作O的切线 并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交 AC于E，连接AD. (1)求证：CDECAD；,对点训练,题型分类对点训练,8. (2014宜昌)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以 CD为直径作O，O与边BC相交于点F，O的切线DE与 边AB相交于点E，且AE3EB. (1)求证：ADECDF； (2)当CFFB12时，求O与平行四边形ABCD的面积 之比,对点训练,题型分类对点训练,9. (2014呼和浩特)如图，AB是O的直径，点C在O上，过 点C作O的切线CM. (1)求证：ACMABC； (2)延长BC到D，使BCCD，连接AD与CM交于点E，若O 的半径为3，ED2，求ACE的外接圆的半径,对点训练,构造相似图形间接求,已知相似图形直接求,相似基本图形的运用,学会从复杂图形中分解出基本图形,课堂小结,
