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1、空,间,角,及,其,求,法,教材地位分析,高考地位分析,地位分析,（1）,立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。,空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何板块的一个重点，也是难点。,（2）,在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。,立体几何高考分析,高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。,高考要求,
2、理解空间角的概念、会求空间角的大小。,空间角,异面直线所成角,直线与平面所成角,二 面 角,图 形,定义,表示,范围,要点,用什么度量？,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（直）角,异面直线a，b所成角,斜线与它在平面内的射影所成的锐角。,线a与平面 所成角,找适当点、,找射影、,二足,作平行线,相连,空间角的求解步骤：,1.作出所求的空间角 ,2.证明所作的角符合定义 ,3.构造三角形并求出所要求角,简言之，空间角的求解步骤为：,“一作”,“二证”,“三算”,过D1作D1E/AM，再过N作NG/D1E，显然 为异面直线A
3、M与CN所成角。通过解 即可。,过D1作D1E/AM，作D1F/CN，显然 为异面直线AM与CN所成角。通过解 即可。,途径一,途径二,途径一,途径二,如图，正方体 ，M、N分别为 ， 的中点，求直线AM与CN所成角。,例1.,典例分析,方法提炼,例1.,典例分析,R,方法提炼,（1）易证，略,（2）如何作出线面角,？,过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD,由（1）知A1P 面AQD，设A1P交AR与S，连接SQ即可。,由以上的作法可知 即为所求角。,S,解析,只需解QSP即可。,在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a
4、，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。,例2.,E,F,典例分析,解析1,定义法,过D作DE PC于E，过E作EF PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解DEF即可。,解析2,N,M,Q,垂面法,易证面PAB面PBC，过A作AM BP于M，显然AM 面PBC，从而有AM PC，同法可得AN PC，再由AM与AN相交与A得PC 面AMN。设面AMN交PC于Q，则 为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。,跳转,易证面PEDA PDC，过E作EF PD于F，显然PF 面PDC，在面PCE内，过E作EG P
5、C于G，连接GF，由三垂线得GF PC 即角EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解EFG即可。,由解析3的分析过程知，PFC为 PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得sin ，余下的问题比较容易解决！,在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。,F,解析3,例2.,典例分析,利用三垂线求解,F,G,把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。,解析4,射影面积法,跳转,在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面
6、ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。,解析5,例3.,典例分析,利用空间余弦定理求解,在面PDC内，分别过D、B作DE PC于E，BF PC于F，连接EF即可。,E,F,利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出 即可。,复习,方法提炼,针对训练1 已知二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到l 的距离为4。求二面角 l 的大小。,A .,O,l,D,针对训练2 如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,KEY:,KEY:,针对训练
7、,撤消,针对训练3 如图P为二面角内一点，PA, PB,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。,B,P,A,O,KEY 120,针对训练4 在直角坐标系中，设A （2 , 3 ）、B（3 ，2 ），沿x轴把直角坐标平面折成大小为 的二面角后， ，则 的值为 。,针对训练,化 归,专题小结,本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：,空间问题,技 巧“移”、“补” 、“换”,平面问题,线线角，用平移，妙选顶点，线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，空间余弦，用定义，三垂线，射影垂面。熟化归，解三角，算准结果，作证求，三环节，环环相
8、扣。,求解的基本思路为：,本专题到此结束，各位领导、老师、朋友，请批评、指正,1.定义,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,?,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。,二面角的平面角,二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上。（2）角的两边分别在两个面内。（3）角的边都要垂直于二面角的棱。,返回,求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。,返回,中点,方法提炼1,方法提炼1 求两条异面直线所成的角
9、关键在于妙选点、作平行线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。,返回,求直线和平面所成角要领 “找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。,方法提炼2,撤消,求二面角的方法比较多，常见的有,（1） 定义法 在棱上的点分别作棱的垂线，,（3） 垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线，,（2） 利用三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线，,(1)定义法（点在棱上）,(3) 垂面法（点在空间内）,o,A,B,A,(2) 三垂线定理法（点在面内）,如例3解析1,如例3解析2,如例3解析3,方法提炼3,（4） 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解,如图所示， 射影DBC、斜面ABC与两面所成的二面角之间有：,A,B,C,D,H,M,（5）空间余弦定理,运用公式 求解，如例3解析5,返回,方法提炼3（续）,推广,E,F,m,n,d,C,l,n,m,c,n,m,c,推广,222,2222abcos ,EF222+d 22abcos ,空间余弦定理脉络,撤消,用此公式为空间余弦定理，可求异面直线上两点的距离，异面直线所成角，还可求二面角的平面角。,如图，CBF= 为二面角的平面角 ，在CBF中，由余弦定理可求得CF,再由RtECF可得,空间余弦定理证明,返回,
