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1、1,第十一章 压杆稳定问题,2022年11月13日,中国民航大学,2,第十一章 压杆稳定问题,第一节 稳定性的概念,第二节 临界载荷的欧拉公式,第三节 中、小柔度杆的临界应力,第四节 压杆稳定条件与合理设计,3,第一节 稳定性的概念,动画：两端铰接细长杆,一、稳定性概念,稳定的平衡,不稳定的平衡,稳定性：承载物体在外界干扰下保持原有平衡状态的能力。,二、 弹性细长受压直杆的稳定性,4,一旦干扰力撤去，压杆仍可回到原来的直线平衡状态。,（2）当轴向力P 较大时，如有一微小的侧向干扰力，压杆产生弯曲变形；,此时，原来的直线平衡状态是稳定的,此时，原来的直线平衡状态是不稳定的,当侧向力去掉后，杆不能
2、回到原来的直线平衡状态。而是处于曲线平衡状态。,稳定的平衡,不稳定的平衡,失稳（曲屈）,使杆件保持稳定平衡状态的最大压力,临界载荷,（1）当轴向力P 较小时，其平衡形态为直线。,细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。,研究压杆稳定性的关键是确定临界载荷。,第一节 稳定性的概念,5,动画：连杆失稳,三、 工程中常见的压杆,第一节 稳定性的概念,6,三、 工程中常见的压杆,第一节 稳定性的概念,7,三、 工程中常见的压杆,第一节 稳定性的概念,8,第二节 临界载荷的欧拉公式,一、两端铰支细长压杆的临界载荷,将其代入挠曲线近似微分方程：,引入记号：,此方程的通解：,边界条件：,挠曲线是一条
3、正弦曲线,9,两端铰支细长压杆的临界载荷Fcr的计算公式, 两端铰支压杆的欧拉公式。,说明：,( 1 ) Fcr与 EI 成正比，与杆长 l 成反比；,( 2 ) 如果截面对于不同轴的惯性矩 I 不同，确定临界压力需根据最小惯性矩 Imin 计算。即失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内；,( 3 ) Fcr与 杆件的支承条件有关。,第二节 临界载荷的欧拉公式,10,例1：图示两端铰支矩形截面细长压杆，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料为Q235钢，s=235MPa, E=206GPa，试按欧拉公式计算其临界压力。,解：由于两端铰支压杆，各个方向约束相同，故必在最小刚度平面内失稳。,
4、由截面形状可知：,代入欧拉公式，有,若使连杆压缩屈服，则轴力为：,说明压杆的承压能力还是由稳定性决定的。,11,二、其他支座条件下细长压杆的临界载荷,第二节 临界载荷的欧拉公式,12,三、欧拉临界压力公式的普遍形式,相当长度（为把压杆折算成两端铰支压杆的长度）, 长度系数，与约束性质有关。,第二节 临界载荷的欧拉公式,13,动画：细长压杆失稳,第二节 临界载荷的欧拉公式,14,例2：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Fcr是原来的多少倍？,解：,15,例3：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界压力为原压杆的；
5、若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。,解：,（1）,（2）,为原压杆的,16,例4：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能断定P1和P2的关系,解：对图（a），,节点B：,节点A：,（受拉）,（受压）,节点D：,（受拉）,先分析各杆的内力,17,对图（a）中受压杆件作稳定性分析,杆AD：,（受压）,对图（b）,类似于图（a）的分析，可得：,杆AB、BD受压,由欧拉公式，得,比较得,18,作 业,P34111-3，11-5,19,问题的提出,能不能应用欧拉公式计算四根压杆
6、的临界载荷？,四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？,材料和直径均相同,第三节 中、小柔度的临界应力,20,临界应力：,将I 用截面的惯性半径 i 表示：,反映杆端约束情况、杆长、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响,欧拉临界应力公式,令,称为压杆的柔度或细长比，无量纲量,一、临界应力、柔度或细长比,第三节 中、小柔度的临界应力,21,二、 欧拉公式的适用范围,即：,记：,欧拉公式的适用范围为：,满足此式的压杆，称为大柔度杆或细长杆。,仅与材料的性质有关，如，Q235钢：,第三节 中、小柔度的临界应力,22,三、临界应力的经验公式,当柔度小于 时，采用经验公式计算临界应力,合金钢，铸铁与松木等材料,
7、其中：a 、b 为与材料有关的常数。,适用范围：, 塑性材料, 脆性材料,1、直线公式,直线公式的适用范围：,称中柔度杆或中长杆,第三节 中、小柔度的临界应力,23,2、抛物线公式,结构钢，低合金钢等材料,其中：a1 、b1 为与材料有关的常数。,此时压杆一般不发生失稳，其破坏大多由强度不够引起：,第三节 中、小柔度的临界应力,24,四、临界应力总图,大柔度杆,中柔度杆,小柔度杆,抛物线公式,第三节 中、小柔度的临界应力,25,1. 压杆的临界载荷计算,对大柔度杆：,对中柔度杆：,2. 压杆的稳定性条件,称为压杆的稳定性条件,用应力表示的压杆稳定性条件,为压杆的稳定安全系数,为压杆的稳定许用压
8、力,第四节 压杆稳定条件与合理设计,26,3. 折减系数法,为许用压应力, 称为稳定系数或折减系数,为稳定许用压应力,稳定条件为：,其中：,影响压杆稳定性因素：,（2）横截面的形状；,（4）压杆的长度。,（3）约束条件；,（1）材料的性能；,4. 压杆的合理设计,第四节 压杆稳定条件与合理设计,27,( 1 ) 合理选择压杆的材料,a 对大柔度杆，临界压力与材料的弹性模量E有关，而不同金属 E 相差不大，故选择优质钢材对提高稳定意义不大;,b 对中柔度杆，临界压力与材料的强度有关，故选择高强度优质钢材对提高稳定具有一定意义。,( 2 ) 选择合理的截面形状,a 在同样的截面面积情况下，增大截面
9、惯性矩 I 的值，如：,第四节 压杆稳定条件与合理设计,28,( 3 ) 改变压杆的约束条件,一般地，增强压杆的约束，可大大提高压杆的稳定性。,b 在选择截面形状与尺寸时, 还要考虑失稳的方向性.,压杆两端为球形铰或固定端时，尽量选择截面,压杆两端柱状铰时，一般 .,或,( 4 ) 改变压杆的长度,此时，理想的设计是使压杆,在两个方向的柔度相等，即：,第四节 压杆稳定条件与合理设计,29,例5：图示托架，AB 杆外径 D=50mm，内径d=40mm，两端为球铰，材料为Q235钢，E=206MPa，p=100，稳定安全系数nst=3，试确定托架的许可载荷P。,解：分析杆AB 的受力,杆AB 的惯
10、性半径：,杆AB 的长度：,杆AB 的柔度：,杆AB 为大柔度杆(细长杆),30,杆AB 的稳定性条件：,例5：图示托架，AB 杆外径 D=50mm，内径d=40mm，两端为球铰，材料为Q235钢，E=206MPa，p=100，稳定安全系数nst=3，试确定托架的许可载荷P。,31,例6：五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。,杆BD受压，其余杆受拉,解：对于(a),BD杆的临界压力为：,故杆系所能承受的最大载荷为：,对于(b),杆BD受拉，其余杆受压,四根受压杆的临界压力为：,故
11、杆系所能承受的最大载荷为：,32,例7：图示结构，、两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的角（设0/2）。,解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：,两杆的临界压力分别为：,要使P最大，只有F1、F2都达到临界压力，即：,后式除以前式得：,由此得：,33,例8：图示梁、柱结构，梁用16号工字钢，柱由两根636310mm的角钢组成。材料均为Q235钢，E=200GPa，s=240MPa，p=100，0=57，规定强度安全系数 ns=1.4，稳定安全系数nst=2，试校核结构是否安全。,解：由型钢表查得：,16号工字钢,636310角钢组成的柱：,求解超静定问题：梁的支座及杆 CD 的受力,选择图基本静定结构，,变形协调条件为,（1）,34,（2）,计算得,作梁 AB 的弯矩图，对梁作强度校核,梁满足强度要求,35,杆 CD 的稳定工作安全系数：,压杆 CD 满足稳定性要求。,校核压杆 CD 的稳定性,柔度（长细比）：, 欧拉公式成立,36,本章作业,p3441112 1115,
