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1、相似三角形复习,你能说出判定两个三角形相似有哪些方法？,1、定义：三边对应成比例，三角对应相等。2、基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、两角对应相等4、两边对应成比例，它们的夹角相等5、三边对应成比例6、传递性（2种）7、直角三角形相似的特殊性,相似三角形的性质,1、相似三角形的对应角相等；2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例，且等于相似比；3、相似三角形的周长比等于相似比；4、相似三角形的面积比=（相似比）25、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,用实战来证明自己,2、教学楼旁边有一颗树
2、，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？,D,B,A,C,E,H,F,G,解：首先在图上标上字母，,过点C作CEAB，垂足为E,根据题意，可得：,AECFGH,2.7m,2.7m,1.2m,1.2m,1m,0.9,AE,FG,=,CE,HG,AE,1,=,2.7,0.9,AE= 3 m
3、,树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m,F,E,D,C,B,A,例.如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交AC于E,交BA的延长线于F. 求证：AD2=DEDF,由AD2=DEDF，得,故只要证明ADE FDA即可,分析：,例.如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交AC于E,交BA的延长线于F. 求证：AD2=DEDF,证明：, F= C =DAC, BAC=90, BD=DC, DEBC, C+ B= 90, ADE= FDA, AD=DC,从而DAC= C, F+ B= 90, ADE FDA, AD2=DEDF,点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例
4、式，然后找相似三角形（或平行线）,例2.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点， 直线DF 交AC于E,且FEA=AFE . 求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,由BDCE=CDBF，得,分析：,但DBF与 DCE不相似,因此，需作辅助线构造相似三角形,例2.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点， 直线DF 交AC于E,且FEA=AFE . 求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,G,方法一：,过点C作CGAB,交DF于G,则DCG DBF,故,再证CG=CE 即可,F,E,D,C,B,A,G,方法二：,过点C作CGDF,交AB于G,故,再证FG=CE 即可,例2
5、.如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点， 直线DF 交AC于E,且FEA=AFE . 求证：BDCE=CDBF,F,E,D,C,B,A,G,如图：D为ABC的底边BC的延长线上一点， 直线DF 交AC于E,且FEA=AFE . 求证：BDCE=CDBF,方法三：,过点B作BGDF,交DF的延长线于G,故,再证BG=BF 即可,则DCE DBG,例3.如图：在RtABC中,有正方形 DEFG,且E、F 在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上. 求证：EF2=BEFC,G,F,E,D,C,B,A,分析：,由EF2=BEFC，得,但EF、BE、FC都在同一直线上无法利用相似三角形.,由于EF是正
6、方形的边长，故可用BE、FC相关的三角形的边DE与FG来代替.,只要证GFCBED即可.,例3.如图：在RtABC中,有正方形 DEFG,且E、F 在斜边BC上，D、G分别在AB、AC上. 求证：EF2=BEFC,证明：,又 B+C=90，B+BDE=90,点评：证明共线的线段比例式时，将某些线段用其他线段代替，以便构成相似三角形.这是证明比例式和乘积式的常用方法之一.,练习2 如图： 已知ABC 中，AD平分BAC ， EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F . 求证：FD2=FCFB,F,E,D,C,B,A,分析：,由FD2=FCFB，得,但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相
7、似三角形.,由于FD=FA，替换后可形成相似三角形.,只要证FABFCA即可.,D,2、如图，在ABC中，BAC=900，D是BC中点，AEAD交CB延长线于点E，则结论正确的是 （ ） A E B D C A、 AED ACB B、 AEB ACD 、 C、 BAE ACE D、 AEC DAC 、,C,3，将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。 A B D E C G F,有相似三角形，它们是：ADE BAE BAE CDAADE CDA,4、如图，在ABC中，ACB=900，C
8、DAB，垂足为D，AD=6，BD=2，则CD的长为,C A D B,( 2 ),5、如图，D，E分别是ABC的边AB,AC上的点，1=B，AE=EC=4，BC=10，AB=12，则ADE和ACB的周长之比为（ ） A， B， C， D，,A,D E,B C,B,6、厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是（ ）,7、如左图，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明 成立（此处不要求证明）。若将左图中的垂直改为斜交，如右图，A
9、B/CD，AD，BC相交于点E，过E作EF/AB，交BD于F，则（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出SABD，SBED和SBDC之间的关系式，并给出证明。,A A E C E C B F D B F D,由三角形相似证线段成比例的一般步骤：,1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形；2、再找这两个三角形相似所需要的条件；3、如这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换等）；（注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引平行线的方法。）,思考题：如图，已知D，E和F，G分别在ABC的边AB，AC上，DF/EG/BC，AD=DE=EB，则S
10、梯形DEGF S梯形EBCG =（ ）,A， B，C， D，,A,D F,E G,B C,例题讲解 例1、如图（4），已知，：，且，求和,分析：由已知得，联想到相似三角形的面积比等于相似比的平方。由：，则： ：从而=4又同高的两个三角形面积比等于底边之比， ：， ，又：， 。,例2.有一块三角形余料ABC,它的BC=120mm，高线AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？,解：正方形的边长为xmm，则PNBC APNABC AE：ADPN：BC 80-x：80 x：120 得x=48（mm）答：正方形
11、的边长为48mm。,变题1：增加条件QM=42mm，把正方形PQMN换 成矩形PQMN，试求矩形PQMN的面积.,变题2：增加条件QM:MN=3:2，把正方形PQMN 换成矩形PQMN,试求矩形PQMN的面积 与三角形的面积比.,变题3：把正方形PQMN换成矩形PQMN，试 求矩形PQMN的最大面积,例1：已知：ABC中，D是BC上一点，EGBC,分别交AB,AD,AC与E,F,G.求EFDC=FGBD,A,B,C,E,F,G,D,分析：将等积式改写成比例式：EF/BD=FG/DC,设法利用相似三角形解得EF/BD=AF/AD,FG/DC=AF/AD.,证明:在AEF和ABD中, EFBD,
12、AEF ABDEF/BD=AF/AD.同理FG/DC=AF/AD. EF/BD=FG/DC EFDC=FCBD.,例2:如图AB,CD交于O点,ACBD,E是A点,EO的延长线交BD于F点.求证F是BD的中点.,A,O,B,D,F,E,C,分析:利用AE=CE,设法找到BF,DF与AE,CE的联系,即证出AE/BF=CE/DF.,证明:ACBDAOE BOF AE/BF=CE/DF.同理CE/DF=EO/FO, AE/BF=CE/DFAE=CE, BF=DF.即F是BD的中点.,例3:如图ABC是等边三角形,DAE=120交直线BC于D,E求证AB/EC=BD/AC.,A,D,B,C,E,1,
13、2,3,分析:将线段AB,EC,BD,AC划归到两个三角形中,再设法证明它们相似,从而对应边成比例.,利用60 120证明ABD ECA.,例4:如图, ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E是AB中点.求证2CE=CD.,A,B,C,E,D,分析:设法利用三角形相似加以解决.EC,DC划归到哪两个相似三角形去?如何证明?请讨论.,证明:AB=AC=BD,AE=EB, AE/AC=AC/AD=1/2, EAC=DAC,AEC ACD, AE/AC=EC/CD=1/2.即2EC=CD.,例5,已知, ABCD中,E是CB延长线上的点,.DE交AB于F.求证BCCD=AFCE.,A,
14、F,E,B,C,D,分析：ADF CED 得AD/CE=AF/CD，再由AD=BC，等量代换即可。,例6：如图，ABC中，D是BC上的一点，E是AC上的一点，EFAD交BC于F，EG AB交BC于G。求证：CFGB=CGFD。,A,B,C,E,F,D,G,分析：将CFGB=CGFD改写为CF/FD=CG/GB。利用平行线，可推出CF/FD=CE/EA，CG/GB=CE/EA，借助于等比代换即可。,课内追踪练习、如图（）， 中，则:四边形:四边形=_,答案：,巩固练习1、两个相似三角形的面积比为5，周长比为m，则5/m=_2、如图（8），AC AB于A，BD AB于B，AD和BC相交于E，EF
15、AB于F，已知AC=20，BD=30，则EF的长为_,答案：（1）,答案：（2）12,3.若如图所示，ABCADB，那么下列关系成立的是 ( ),A.ADB=ACBB.ADB=ABCC.CDB=CABD.ABD=BDC,B,C,练习,5.(2004年上海市)如图所示，在ABC中，AB=AC,A=36，BD平分ABC，DE/BC，那么在下列三角形中，与ABC相似的三角形是 ( ),A. DBE B. ADEC. ABD D. AEC,B,6(2004西宁)如图，正方形ABCD边长是2，BECE,MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM= 时， ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。,
16、7.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 。,图6-2-10,A.12/7 B.3/2C.10/7 D.2/7,A,9.如图所示，RtABC中，C=90，AB=4，BC=3，DEBC，设AE=x，四边形BDEC的面积为y，则y可表示成x的函数，其图像的形状是 ( ) A.开口向上的抛物线的一部分 B.开口向下的抛物线的一部分 C.线段(不包括两个端点) D.双曲线的一部分,B,课前基础练习1、如图（1），ABC的中线A
17、D、CE相交于点F，则AF：AD的比为_,2、在ABC中，DEBC，E、D分别在AC、AB上，EC=2AE，则S ADE：S四边形DBCE的比为_,答案：2：3,答案：1：8,3、如图（2），ABC中， C=Rt ，CD AB于D，DE BC于E，DF AC于F，CE=4，CF=2，AC+BC=_,4、如图（3）， ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，角平分线AG交DE于点F，已知AD：AB=AE：AC=2：3， AG=6，则AF=_,答案：15,答案：4,例、已知如图（），是边上的一点，分别交、于点、， 。（）图中哪个三角形与全等？证明你的结论。（）求证：*。,分析（）图中与全等。由， 得 且 ，得；（）由 ，而 ，于是 可证*。,3、如图（9），在 ABC中，D是BC的中点，AD=AC，DE BC，DE与BA交于点E，EC与AD相交于F，（1）求证： ABC FCD；（2）若S FCD=5，BC=10，求DE的长。,解：（1）证明： ED是BC的中垂线 B=ECB AD=AC ADC=ACD ABC FCD（2）过A作AG BC于G ABC FCD S ABC ：S FCD=（BC：CD）2=4 S ABC=20 又BC=10 AG=4由已知得BD：BG=2：3 ED AGED：AG=BD：BG ED=8/3,
