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1、小波变换及其应用,傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们找到新的方法小波变换。,小波简史,20 世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909 年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。20 世纪70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家Jean Morlet
2、 提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。进入20 世纪80 年代，法国的科学家Y.Meyer 和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer 于1986 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j ( j =0 的整数)的倍数构造了L2(R) 空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。,小波简史,小波变换的主要算法则是由法国的科学家Stephane Mallat 在1988 年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和
3、快速算法，叫做Mallat 算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。Inrid Daubechies，Ronald Coifman 和Victor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。,小波概念,小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。如果没有现成的小波可用，那么还需要自己开发合用的小波。,小波分析,信号分析一般是为了获得
4、时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。,小波分析,连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此
5、小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。,连续小波变换,数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示，傅立叶变换是信号f(t)与复数指 数之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数F(w)，它是频率w 的函数。连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT )用下式表示，这个式子的含义就是，小波变换是信号f (t) 与被缩放和平移的小波函数 之积在信号存在的整个期间里求和。CWT 变换的结果是 许多小波系数C ，这些系数是缩放因子(scale)和位置(position)的函数。,连续小波变换,CWT 的变换过程
6、可分成如下5 个步骤：步骤1: 把小波y (t) 和原始信号f(t)的开始部分进行比较。步骤2: 计算系数C 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数C 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数C可以反映这种波形的相关程度。步骤3: 把小波向右移，距离为k ，得到的小波函数为y(t-k)，然后重复步骤1 和2。再把小波向右移，得到小波y(t-2k)，重复步骤1 和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f (t) 结束。步骤4: 扩展小波y (t) ，例如开展一倍，得到的小波函数为y(t/2)。步骤5: 重复步骤14。,连续小波变换,小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分
7、产生的。这些小波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用下图表示，该图是用MATLAB软件绘制的，是用二维图像表示的小波变换分析图，x 轴表示沿信号的时间方向上的位置， y 轴表示缩放因子，每个x-y 点的颜色表示小波系数C 的幅度大小。,连续小波变换,小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。,小波分析,离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的
8、计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2j( j .0 的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换。,离散小波变换,使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如下图 所示。图(a)是20 世纪40 年代使用Gabor 开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间-频率关系图；图(b)是20 世纪8
9、0 年代使用Morlet 开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。,离散小波变换,用滤波器执行离散小波变换的概念如下图 所示。图中，S 表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示信号的细节值(detail)。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。,离散小波变换,离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)。分解级数的多少取决
10、于要被分析的数据和用户的需要。,离散小波变换,小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。,离散小波变换,降采样,小波分析,小波重构离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者叫做分析。把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或者叫做合成(synth
11、esis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样(upsampling)和滤波过程。,小波定义,在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小波可由一个定义在有限区间的函数 来构造， 称为母小波(mother wavelet)或者叫做基本小波。一组小波基函数 ,可通过缩放和平移基本小波 来生成 ,其中， a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度(或者叫做尺度)； b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。,当a = 2j 和b= ia
12、的情况下，一维小波基函数序列定义为其中， i 为平移参数， j 为缩放因子。,一维哈尔小波变换,哈尔小波是小波系列中最简单的小波。首先介绍如何使用哈尔小波分解一维函数，然后描述实际的基函数，最后介绍使用哈尔小波分解来压缩数据的技术。,一维哈尔小波变换,哈尔基函数基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，例如用基函数的加权和表示。最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函数在1909 年提出，它是由一组分段常值函数(piecewise-constant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区间0,1) 上，每一个分段常值函数的数值
13、在一个小范围里是“1”，其他地方为“0”。现以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。,一维哈尔小波变换,如果一幅图像仅由20 =1 个像素组成，这幅图像在整个0,1) 区间中就是一个常值函数。用 表示这个常值函数，用V0 表示由这个常值函数生成的矢量空间，即。,我们可以按照这种方法继续定义基函数和由它生成的矢量空间。总而言之，为了表示矢量空间中的矢量，每一个矢量空间Vj 都需要定义一个基(basis)。为生成矢量空间Vj 而定义的基函数也叫做尺度函数(scaling function)，这种函数通常用符号 表示。哈尔基函数定义为哈尔基尺度函数 定义为其中， j为尺度因子，改变j使
14、函数图形缩小或者放大；i为平移参数，改变i 函数沿x 轴方向平移。矢量空间V j是嵌套的，即,哈尔小波函数,小波函数通常用 表示。与框函数相对应的小波称为基本哈尔小波函数(Haar wavelet functions)，并由下式定义，,根据哈尔小波函数的定义，可以写出生成W0 ，W1 和W2 等矢量空间的小波函数。,函数规范化,哈尔基的结构,使用哈尔基函数和哈尔小波函数生成的矢量空间V j 和W j 具有下面的性质，,哈尔小波变换,小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号。什么是小波变换？用一个具体的例子来说明小波变换的过程。,哈尔小波变换,求有限信号的均值和差值例.
15、假设有一幅分辨率只有4 个像素p0 ,p1 ,p2 ,p3 的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为：9 7 3 5计算它的哈尔小波变换系数。步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2 个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应的像素值为：8 4步骤2：求差值(differencing)原始图像就可以用下面的两个平均值和两个细节系数表示，8 4 1 -1,哈尔小波变换,步骤3：重复第1，2 步，把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6 和三个
16、细节系数2,1 和-1 表示整幅图像6 2 1 -1,哈尔小波变换,通过上述分解就把由4 像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表示，这个过程就叫做哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广到使用其他小波基的变换。,哈尔小波变换,用数学方法重新描述小波变换的过程用V2 中的哈尔基表示,哈尔小波变换,用V1和W1 中的函数表示,哈尔小波变换,用V0,W0和W1中的函数表示,哈尔小波变换,例. 对函数f (x)= 2,5,8,9,7,4,-1,-1 作哈尔小波变换。,二维哈尔小波
17、变换,一幅图像可看成是由许多像素组成的一个大矩阵，在进行图像压缩时，为降低对存储器的要求，人们通常把它分成许多小块，例如以88 个像素为一块，并用矩阵表示，然后分别对每一个图像块进行处理。二维小波变换举例,二维小波变换举例,求均值与求差值R0: 64 2 3 61 60 6 7 57N0: 33 32 33 32 31 -29 27 -25N1: 32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25N2: 32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25,其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。根据这个事实，如果从矩阵中去掉表示图像的某些细
18、节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。具体做法是设置一个阈值d ，例如d = 5的细节系数就把它当作“0”看待，这样经过变换之后的矩阵RC A 就变成，,使用线性代数由于图像可用矩阵表示，使用三个矩阵M1,M2和 M3 同样可以对矩阵A进行求平均值和求差值。这三个矩阵分别是第一、第二和第三次分解图像时所构成的矩阵。现以矩阵A的第一行的数据为例，64 2 3 61 60 6 7 57步骤1: 使用 M1 计算,步骤2: 使用 M2 计算,步骤3: 使用 M3 计算,二维小波基的构造,从以上的分析可以看到，构造二维小波基的最简单方法是使用一维小波和尺度函数的单独乘积，生成的尺度函数如下，生成的三个小波函数如下，,作业,给定一个 二维数组f(x,y)，分别计算其傅里叶变换F(u,v)，余弦变换G(u,v)及哈尔小波变换，分步骤写出中间结果。编程实现二维离散傅里叶正、反变换，并处理一幅图像为例。,
