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1、第九节 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、零点定理与介值定理,一、最大值和最小值定理,定义,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.,1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注意,二、零点定理与介值定理,定理2(零点定理) 设 f(x) 在闭区间a,b上连续 , 且 f(a) 与 f(b) 异号(即 f(a) f(b)0 ) , 则至少存在一点 (a,b) 使 f()=0.,几何解释:,1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注意,一个主要
2、应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,几何解释:,定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间a,b上连续 , 且 f(a) f(b) 则对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任意一个实数 , 则至少存在一点 (a,b) 使 f() = .,推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值.,推论2 在闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间.,连通性质: Page 75,例3,证,由零点定理,设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一.,例3,例,例4,例5,三、小结,三个定理,最值定理;介值定理;零点定理.,注意1闭区间； 2连续函数,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零点定理条件,再利用零点定理得出命题的证明.,这两点不满足上述定理不一定成立,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,练 习 题,
