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1、习题课指数函数、对数函数及其性质的应用,1.指数式与对数式的取值范围,提示:(0,+)(2)形如log2x,ln x, 的对数式,自变量取值和代数式的取值范围分别是什么?提示:自变量的取值范围,即为对应函数的定义域(0,+);代数式的取值范围,即为对应函数的值域R.,2.已知a0,a1,则a2a3与loga2loga3是否一定成立?提示:不一定.当01时,a20,a1).当01时,函数f(x)单调递增.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一利用指数函数、对数函数性质解不等式例1 解下列关于x的不等式:,(4)已知log0.72xlog0.7(x-1),求x的取值范围.,分析:(1
2、)先将 化为2-x-5,16化为24,再利用指数函数的单调性求解;(2)讨论a的取值范围,利用指数函数的单调性求解;(3)根据参数a的取值范围,利用对数函数的单调性求解;(4)根据对数函数的单调性以及定义域列出不等关系求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,-x-54,x-9.故原不等式的解集为x|x-9.(2)当01时,a2x+1ax-5,2x+1x-5,解得x-6.综上所述,当01时,不等式的解集为x|x-6.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(4)因为函数y=log0.7x在区间(0,+)上为减函数,解得x1.故x的取值范围是(1,+).,探究一,探究二,探究三,
3、思维辨析,当堂检测,反思感悟1.解指数不等式问题时需注意的三点(1)形如axay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.(3)形如axbx的形式利用函数图象求解.2.解简单的对数不等式,需要注意两点(1)首先注意对数函数的定义域,即真数的取值范围的限制;(2)要根据底数与1的大小关系,分析函数的单调性,进而将对数值大小关系转化为真数的大小关系;若底数中含有参数,需要对参数进行分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:原不等式可化为a2x+1a-(x-5),即a2x+1a5-
4、x.当0a1时,函数y=ax单调递减,故由不等式可得2x+15-x,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究二指数函数性质的综合应用,(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的值域.,解:(1)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2R,且x1x2,f(x2)f(x1),f(x)为R上的增函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.本题第(2)小题是指数型函数求值域.解答时一定要关注指数3x的取值范围是(0,+).2.证明指数型函数的单调性与奇偶性时,一般是利用定义来解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1)
5、求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)0.,(1)解:因为要使函数有意义,需2x-10,即x0,所以函数的定义域为(-,0)(0,+).,所以f(-x)=f(x),又由(1)知函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于y轴对称,故f(x)是偶函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(3)证明:当x0时,2x1,所以2x-10.又因为x30,所以f(x)0.当x0.所以当x(-,0)(0,+)时,f(x)0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究三对数函数性质的综合应用,(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单调性.分
6、析:此函数是由y=logau,u= 复合而成的,求函数的性质应先求出定义域,再利用有关定义,去讨论其他性质.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解得x1或x-1.所以函数的定义域为(-,-1)(1,+),关于原点对称.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)f(x)=0来判断奇偶性比较简便.2.对数型复合函数的单调性应按照复合函数单调性“同增异减”的原则来判断:设y=logaf(x)(a0,且a1),首先求满足f(x)0的x的取值范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上
7、单调递减,则(1)当a1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相同,即y=logaf(x)在I1上单调递增,在I2上单调递减;(2)当0a1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相反,即y=logaf(x)在I1上单调递减,在I2上单调递增.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究本例已知条件不变,求f(x)0时x的取值范围.,解得x1时,x的取值范围是(1,+),当0a1时,x的取值范围是(-,-1).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,因忽略对底数的讨论而致错典例 已知函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上的
8、最大值与最小值的差是1,求a的值.错解因为函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上的最大值是loga4,最小值是loga2,以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中误以为函数y=logax(a0,且a1)在区间2,4上是增函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:(1)当a1时,函数y=logax在区间2,4上是增函数,防范措施在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般分a1与0a1两种情况.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练已知函数f(x)=ax+logax(a0,且a1)在区间
9、1,2上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为(),解析:当a1时,函数y=ax和y=logax在区间1,2上都是增函数,所以f(x)=ax+logax在区间1,2上是增函数;当0a1时,函数y=ax和y=logax在区间1,2上都是减函数,所以f(x)=ax+logax在区间1,2上是减函数.两种情况下最大值与最小值之和均为f(1)+f(2)=a+a2+loga2=6+loga2,即a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故a=2.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,A.(3,5B.-3,5C.-5,3)D.-5,-3解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)0,即log2(3-x)3,03-x8,-5x3.答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,A.y1y2y3B.y1y3y2C.y2y1y3D.y3y1y2,解析:y1=40.9=(22)0.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,由于函数y=2x在R上是增函数,又1.44y3y2.答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,f(x)=2x在R上是增函数,2-x2,即x0.答案:(-,0,答案:2,
