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1、1,第五章 留数,第一节 孤立奇点第二节 留 数第三节 留数在定积分计算上的应用,第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,3,一、孤立奇点的概念,4,解,的奇点存在,函数的奇点为,总有,5,2. 分类,以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：,特点：,没有负幂次项,特点：,只有有限负幂次项,特点：,有无穷多负幂次项,6,孤立奇点的分类,内的洛朗级数的情况分为三类:,1可去奇点,1可去奇点; 2极点; 3本性奇点.,如果洛朗级数中不含 的负幂项,那末孤立奇点 称为 的可去奇点
2、.,1) 定义,7,说明: (1),补充定义,8,2) 可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,9,如果补充定义:,时,10,解,无负幂项,另解,11,2. 极点,即,或写成,1) 定义,负幂项,12,说明:,1.,2.,特点:,(1),是二级极点,是一级极点.,13,2)极点的判定方法,限项.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,14,课堂练习,答案,15,本性奇点,3.,例如，,含有无穷多个z的负幂项,16,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值
3、,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,17,二、函数的零点与极点的关系,1.零点的定义,能表示成,的 m 级零点.,例6,注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,18,2.零点的判定,零点的充要条件是,证 (必要性),由定义:,19,其中,展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略 .,20,例如,21,(1)由于,课堂练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,22,3.零点与极点的关系,证,当 时 ,23,由于,只要令,那末,当 时,解析且,24,说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法.,解,这些奇点是,是孤立奇点.,2
4、5,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,26,三、函数在无穷远点的性态,1. 定义,27,令变换,规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,28,结论:,规定:,m级奇点或本性奇点 .,29,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 级极点;,3)本性奇点 .,判别法1 (利用洛朗级数的特点),2.判别方法:,30,判别法2 : (利用极限特点),如果极限,31,不含正幂项,32,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,33,解,34,所以,因为,35,36,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类; 掌握可去奇点、极
5、点与本性奇点的特征; 熟悉零点与极点的关系.,37,思考题,38,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,39,第二节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、典型例题,五、小结与思考,40,一、留数的引入,.,的某去心邻域,41,42,定义,43,二、利用留数求积分,说明:,2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,44,证,证毕,两边同时除以 且,如图,45,2.留数的计算方法,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,成洛朗级数求,46,如果 为 的 级极点,规则2,证,那末,47,+(含有 正幂的项),证毕,得,
6、48,规则3,如果,证,的一级极点,且有,49,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,50,三、在无穷远点的留数,注意积分路线取顺时针方向,说明,记作,1.定义,C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,51,证,由留数定义有:,证毕,52,说明: 由定理得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点: 使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),53,3.在无穷远点处留数的计算,规则4,说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法:,此法在很多情况下此法更为简单.,54,现取正向简单闭曲线C为半径足够大的,正向圆周 :,于是有,证,55,证毕,
7、56,四、典型例题,解,57,分析,由规则3得,计算较麻烦.,58,解,59,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,60,解,61,解,为一级极点,为二级极点,62,63,其他奇点.,解,根据定理 2与规则4:,64,与以下解法作比较 :,由规则3,65,可见, 利用无穷远点的留数更简单.,解,点外, 其他奇点为,66,则,所以,67,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理. 应重点掌握
8、计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复积分.,68,思考题,69,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,70,一、形如 的积分,二、形如 的积分,三、形如 的积分,第三节 留数在定积分计算上的应用,四、小结与思考,71,一、形如 的积分,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,72,形如,73,z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,74,例1 计算积分,解,则,75,76,例2 计算,解,令,77,极点为 :,
9、(在单位圆内),(在单位圆外),78,例3,解,故积分有意义.,79,80,81,因此,82,若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.,一般设,分析,可先讨论,最后令,即可 .,二、形如 的积分,83,2. 积分区域的转化:,取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x),可取 f(z)=R(z) .,84,这里可补线,(以原点为中心 , R为半径,的在上半平面的半圆周),内部(除去有
10、限孤立奇点）处处解析.,取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点,都包在这积分路线内.,85,根据留数定理得 :,当 充分大时, 总可使,86,87,例4 计算积分,解,88,89,积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次,数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上,无孤立奇点.,与,曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点,包在这积分路线内 .,同前一型: 补线,一起构成封闭,都,三、形如 的积分,90,对于充分大的 , 且 时, 有,91,从而,92,由留数定理:,93,例5 计算积分,解,在上半平面只有二级极点,又,94,95,例6 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,96,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,97,98,当 充分小时, 总有,99,即,100,例7,证,如图路径，,101,102,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,103,四、小结与思考,本课我们应用“围道积分法”计算了三类实积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.,104,思考题,105,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,
