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1、,二、第二类换元法(变量替换法),第二节,一、第一类换元法(凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第五章,求反导数要比求导困难，需要发展一些求反导数的技巧。这些技巧的理论依据就是求反导数的运算是求导数的逆运算，从而有关导数的运算法则可以反过来得到相应的求原函数的运算法则。,第一类换元公式（凑微分法）,使用此公式的关键在于将,说明,化为,一、第一类换元积分法,凑微分法的基本思路,步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。,例 求,解,例 求,解: 原式,熟练后可不把u写出来，心里明白，直接求解.,例. 求,解:,令,则,想到公式,机动 目录 上页 下页
2、返回 结束,例. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,例. 求,解:, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：求,几点注意：要用换元积分法,(2)换元后被积函数容易求原函数，比如可由基本积分表求出的函数.,(3). 用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换.,(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分.,例.,(5) 常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,解: 原式 =,例. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例 求,解,例 求,解,证 (2).,所以,公式,例. 证明:,(1).,再用(2)来证明(1):,例. 求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化
4、和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,课后思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)-(5)小题要掌握方法!)后面的题目感兴趣者自阅.,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,3. 求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,(P196 例16 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6. 求,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7. 求,解: 原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,8. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
