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1、空间数据误差处理,Surveying Adjustment,第五章 条件平差,第五章 条件平差,5-1 条件平差原理5-2 条件方程5-3 精度评定5-4 条件平差公式汇编和水准网平差实例 作 业,预备知识,拉格朗日乘数法求函数Z =f（x，y）在满足附加条件 的情况下的极值问题，首先构成辅助函数， 其中为某一常数。即拉格朗日乘数。再来求上式的极值,预备知识,函数向量关于向量的求导规则,基础方程及其解 条件平差的的计算步骤,5-1 条件平差原理,5-1 条件平差原理,函数模型随机模型平差准则,5-1 条件平差原理,平差值方程,5-1 条件平差原理,条件方程,方程闭合差,5-1 条件平差原理,一
2、、基础方程及其解 问题：根据上述方程求解V值 方法：拉格朗日乘数法,5-1 条件平差原理,5-1 条件平差原理,P为对角阵时改正数方程：法方程：,5-1 条件平差原理,二、条件平差的计算步骤根据平差问题的具体情况，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程，条件方程的个数等于多余观测数r。组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。,5-1 条件平差原理,解算法方程，求出联系数K值。将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。,5-1 条件平差原理,例1.设对图中的三个内角做同精度观测，得观测值 L1= 4212
3、20 ，L2= 780909 ， L3= 593840 。 试按条件平差求三个内角的平差值。,5-1 条件平差原理,例2.A,B为已知水准点，其高程为HA=12.013m，HB=10.013m，可视为无误差。为了确定C及D点的高程，共观测了四个高差，高差观测值及相应水准路线的距离为： 试求C和D点高程的平差值。,5-1 条件平差原理,例3.如图，A、B、C三点在一直线上，测出了AB、BC及AC的距离，得4个独立观测值：l1=200.010m，l2=300.050m，l3=300.070m，l4=500.090m。若令100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定A、C之间各段距离的平差值,水准网
4、条件方程 测角网条件方程 测边网条件方程,5-2 条件方程,5-2 条件方程,一、水准网1.水准网的分类及水准网的基准分为有已知点和无已知点两类要确定各点的高程，需要1个高程基准2.水准网中必要观测数t的确定有已知点： t = 网中待定点数无已知点： t = 网中待定点数 - 1,5-2 条件方程,3.水准网中条件方程的分类分为附合条件和闭合条件两类已知点个数大于1：存在闭合和附合两类条件已知点个数小于等于1：只有闭合条件,例：水准网如图，A、B、C三点高程未知，观测值h1h3，列出条件方程,n=3，t=2，r=1,5-2 条件方程,4.水准网中条件方程的列立方法列条件方程的原则：足数、独立、
5、最简（1）先列附合条件，再列闭合条件（2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减1（3）闭合条件按小环建立（保证最简），一个水准网中有多少小环，就列多少个闭合条件。,5-2 条件方程,二、测角网1.测角网的组成由三角形、大地四边形和中点多边形等三种基本图形互相邻接或互相重叠而成。2.测角网的观测值测角网的观测值很简单，全部是角度观测值3.测角网的作用确定待定点的平面坐标,5-2 条件方程,4.测角网的基准数据（起算数据）位置基准2个：任意一点的坐标x0，y0方位基准1个：任意一条边的方位角0长度基准1个：任意一条边的边长S05.测角网中必要观测数t的确定有足够的基准数据：
6、t=2m，m为待定点点数无足够的基准数据：t=2z-4，z为三角网的总点数,两已知点,5-2 条件方程,6.条件方程的列立一般而言，网中全部独立的条件数是一定的，但其列法不唯一。原则：将复杂图形分解成典型图形,5-2 条件方程,7.条件方程的类型图形条件（内角和条件）:三角形内角和等于180圆周条件（水平条件）：圆周角等于360极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等方位角条件坐标条件,5-2 条件方程,（1）图形条件（2）圆周条件,5-2 条件方程,极条件,5-2 条件方程,中点三边形的极条件方程,5-2 条件方程,5-2 条件方程,例1.如图为一三角形，试列出条件方程n=3
7、，t=2，r=11个图形条件,5-2 条件方程,例2.如图为一大地四边形，试列出条件方程n=8，t=4，r=43个图形条件，1个极条件（1）图形条件,5-2 条件方程,（2）极条件,大地四边形的极条件方程,三角形有1个多余观测，应列1个图形条件； 大地四边形有4个多余观测，应列3个图形条件和1个极条件两类条件； 只有中点n边形有(n+2)个多余观测，应列n个图形条件，1个圆周条件和1个极条件。,5-2 条件方程,以虚焦点O为极,O,5-2 条件方程,例3.列出如图模型的条件方程，9个同精度观测值为 试列出条件方程。n=9，t=4，r=53个图形条件，1个圆周条件， 1个极条件,5-2 条件方程
8、,三、测边网1.测边网的观测值测边网的观测值很简单，全部是边长观测值2.测边网的作用确定待定点的平面坐标3.测边网的类型单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形,5-2 条件方程,4.测边网的基准数据位置基准2个：任意一点的坐标x0，y0方位基准1个：任意一条边的方位角05.测边网中必要观测数t的确定有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数无足够的基准数据：t=2z-3，z为三角网的总点数,5-2 条件方程,（1）单三角形：t=2*3-3=3，n=3，r=n-t=3-3=0（2）大地四边形： t=2*4-3=5，n=6，r=n-t=6-5=1（3）中点N边形： t=2*(N+1)-3=2N
9、-1，n=2N， r=n-t=1,在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只有一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。,5-2 条件方程,6.测边网中条件方程的列立（1）以角度改正数表示的条件方程,角度闭合法：利用观测边长求出网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改正数，得到以边长改正数表示的图形条件。,5-2 条件方程,（2）角度改正数与边长改正数关系,任意角的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后在除以该角至其对边的高，并乘以常数,5-2 条件方程,（3）以边长改正数表示的图形条件方程中
10、点多边形,5-2 条件方程,大地四边形,5-2 条件方程,（4）具体计算单位：边长改正数cm，高km， 取2.062,5-2 条件方程,余弦定理：,单位权方差的估值公式 观测值函数的协因数 平差值函数的中误差,5-3 精度评定,5-3 精度评定,一、单位权方差的估值公式VTPV的计算（1）直接计算（2）用常数项与联系数,5-3 精度评定,二、观测值函数的协因数,基本向量关系式,5-3 精度评定,求:QZZ,基本思想：把这些向量表示成已知协因数阵的量L的线性函数，然后用协因数传播律求解。,5-3 精度评定,5-3 精度评定,5-3 精度评定,条件平差基本向量的协因数阵,5-3 精度评定,三、平差
11、值函数的中误差,问题：如何计算平差值函数的中误差？,5-3 精度评定,设有平差值函数： 对上式全微分得： 取全微分式的系数阵为： 代入平差值函数得：,权函数式,5-3 精度评定,5-3 精度评定,例1.如图6个同精度观测值为 图中AB为已知边长，设为无误差，经平差求得测角中误 差 ，试求平差后CD边边长相对中误差。,中误差与观测值之比,公式汇编 水准网平差示例,5-4 公式汇编和水准网平差示例,5-4 公式汇编和水准网平差示例,一、公式汇编函数模型条件方程：,5-4 公式汇编和水准网平差示例,法方程基础方程的解观测量平差值,5-4 公式汇编和水准网平差示例,平差值函数权函数式单位权方差的估值,
12、5-4 公式汇编和水准网平差示例,平差值函数的中误差,5-4 公式汇编和水准网平差示例,二、水准网平差示例如图，A、B是已知的高程点，C、D、E是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按条件平差求：（1）各待定点的平差高程 （2）C至D点间高差平差值的中误差,5-4 公式汇编和水准网平差示例,作 业,1.有水准网如图，A、B、C、D均为待定点，独立同精度观测了6条路线的高差： h1= 1.576m，h2= 2.215m，h3= -3.800m， h4= 0.871m，h5= -2.438m，h6= -1.350m 试按条件平差法求各高差的平均值。,作 业,1. 如图所示三角网，指出条件方程的总数和各类条件方程式的个数，并列出全部改正数条件方程（非线性的要求线性化）,作 业,2.如图测边网中，A、B、C为已知点，D为待定点，观测边长得S1 , S2 , S3，试按条件平差列出线性形式的条件方程，并将方程中的角度用边长表示出来（提示：利用余弦定理）。,3. 如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P2、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表.试用条件平差法求P1、P2、P3点高程的平差值和相应的中误差。,作 业,
