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1、金融时间序列模型,第五章：波动率的估计,金融时间序列模型,其它ARCH类模型,ARCH(q)模型,Vt是独立白噪声过程为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件方差 表示为滞后残差平方的线性函数,引入GARCH模型的背景：,ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动性聚类的特点往往需要很多参数，即要提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参数估计不再精确，由此计算出的条件方差也不精确，存在较大误差。为克服这一问题，Bollerslev1986提出了广义的ARCH模型。,GARCH（p,q）广义条件异方差模型,相比ARCH模型：1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展,即GARCH模
2、型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线性函数。,2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性,GARCH(1,1),ht是条件方差，随时间变化而变化。,无条件均值,无条件方差,GARCH(1,1)的性质：,1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程,是无穷阶ARCH过程,2) 过程 是一个ARMA(r,p)过程,其中,对于GARCH(p,q),变形有,令,合并同类项有,时,时,满足：,但 一般不是独立同分布的,而,GARCH(1,1)过程的峰度公式,GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性峰度=4阶原点
3、矩/标准差的四次方正态分布的峰度=3意味着 GARCH(1,1)过程的峰度,GARCH性质,1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义的原因。2)GARCH过程的含义是条件方差ht是ht-1,ht-p和t-1,t-q的函数。,3）参数i , i=1,2,q和i , i=1,2,p大于零是保证条件方差为正的充分条件,而不是必要条件。4)可以证明2t平稳的条件是1+q+1+ p 1。,GARCH性质,GARCH预测,考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对向前一步预测，我们有，,于是,GARCH（1，1）的向前多步预测,对向前多
4、步预测，我们用 将 GARCH(1,1)公式改写为,从而得GARCH(1,1)以T为预测原点的向前两步预测公式,利用,一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l步的公式,对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成,GARCH(1,1)的无条件方差,练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向前两步预测公式,GARCH(1,2)模型：,是独立同分布的白噪声过程，并且,ARMA和GARCH过程的比较,实际例子5.2,实际例子5.3,ARCH与GARCH模型一些共同的缺点,不能反应波动率的非对称特点约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多的约束不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异
5、方差的行为,GJR模型,反映波动率的非对称性S-1是虚拟变量，如果t-10，则S-1取值为1，如果t-10则S-1取值为0。通过画出响应曲线，看到市场利空和利好消息对波动率的不同影响,GJR模型,响应曲线,EGARCH指数广义条件异方差模型,0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要大；0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负扰动要小; =0同等程度的正扰动引起条件方差的变化与负扰动相等。,EGARCH模型,1）重要特征是引入不对称性2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后的条件方差建模，可以保证方差为对数。3）可以假设t广义误差分布4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/)1/2,ARCH-M模型,g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht,
