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1、异方差和自相关,对于经典计量模型，我们的基本假设有：,假设 对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相同的方差。,此时可得：在存在异方差的情况下：,因此，估计结果无偏，但不是有效的（随机误差项方差变大）。,误差项存在异方差：U的方差-协方差矩阵Var(u)主对角线上的元素不相等 。,异方差是违背了球型扰动项假设的一种情形。在存在异方差的情况下：（1）OLS 估计量依然是无偏、一致且渐近正态的。（2）估计量方差Var(b|X) 的表达式不再是2(XX)1，因为Var(|X) 2I。（3）Gauss-Markov 定理不再成立，即OLS不再是最佳线性无偏估计（BLUE）。,一般截面数据容易产生异方差
2、而时间序列数据容易产生自相关,异方差的检验,1。残差图2。怀特检验3。Breusch-Pagan（BP）检验4。 G-Q 检验 (Goldfeld-Quandt,1965)5。 Szroeters 秩检验(Szreter,1978)后两种现在已经基本不用。,1。画图：散点图和残差图。,1。残差图：rvfplot （residual-versus-fitted plot）rvpplot varname （residual-versus-predictor plot）作图命令一定要在回归完成之后进行rvfplot yline(0),2。怀特检验：,2。怀特检验命令：做完回归后，使用命令：estat
3、 imtest, white,Breusch and Pagan 检验,根据异方差检验的基本思路，Breusch and Pagan（1979）和Cook and Weisberg（1983）主要思路：用 ei2/avg(ei2) 对一系列可能导致异方差的变量作回归。,H0： a1=a2=.=0 （不存在）H1： a1，a2.不全为0 （存在）Step1：估计原方程，提取残差，并求其平方ei2。Step2：计算残差平方和的均值avg(ei2) 。Step3：估计方程，被解释变量为ei2/avg(ei2) ，解释变量依然为原解释变量。Step4：构造统计量Score=0.5*RSS服从自由度为k
4、的卡方分布。查表检验整个方程的显著性。 注意：在第3步中，方便起见也可以用被解释变量的拟合值作为解释变量。,3。BP 检验：做完回归后，使用命令：estat hettest ,normal（使用拟合值y ）estat hettest,rhs （使用方程右边的解释变量，而不是y ）最初的BP 检验假设扰动项服从正态分布，有一定局限性。Koenker（1981）将此假定放松为iid，在实际中较多采用，其命令为：estat hettest, iidestat hettest, rhs iid,1.sysuse auto,clear reg price weight length mpg检查是否具有异
5、方差。2。reg weight length mpg检查是否具有异方差。3。use production,clear reg lny lnk lnl检查是否具有异方差,4。use nerlove,clearreg lntc lnq lnpl lnpf lnpk检验是否具有异方差,异方差的处理,1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估计、假设检验均可照常进行。 sysuse nlsw88, clear reg wage ttl_exp race
6、age industry hours reg wage ttl_exp race age industry hours, r,2。利用广义最小二乘法（GLS）广义最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。其含义为Var(b) =2 (XX)-1(XX) (XX)-1 通过加权使得 =I因此，GLS和WLS要求已知。,加权最小二乘法（WLS）：sysuse auto,clearreg price weight length foreignestat hettest,normal假设异方差由weight引起，即：,reg price weig
7、ht length foreign aw=1/lengthestat hettest,normal,在本题中，造成异方差的更可能是解释变量的线性组合，例如：,此时需要下载命令wls0findit wls0wls0 price weight length foreign, wvar(length foreign) type(e2)estat hettest,normal,GLS和WLS的一个缺点是假设扰动项的协方差矩阵为已知。这常常是一个不现实的假定。因此，现代计量经济学多使用“可行广义最小二乘法”（FGLS）。,可行广义最小二乘法FGLS,(1) 对原方程用OLS进行估计，得到残差项的估计i
8、，(2) 计算ln(i2)(3) 用ln(2)对所有可能产生异方差的的解释变量进行回归，然后得到拟合值 i(4) 计算i = exp(i)(5) 用1/ i 作为权重,做WLS回归。,FGLS的步骤,redict u,resgen lnu2=ln(u2)reg lnu2 x1 x2predict g,xbgen h=exp(g)gen invvar=1/hreg y x1 x2aweight=invvar使用FGLS方法对nerlove.dta的方程重新进行估计。,结论：1. GLS估计是BLUE的（如果 矩阵已知且设置正确），但FGLS不一定是BLUE的（ FGLS 估计时要事先估计 矩阵的
9、参数，需要做一些假设）。2. Robust稳健性估计更加稳健，而FGLS更加有效，选择时要在稳健性和有效性之间进行权衡。,在实际应用中，避免异方差的两种方法。其一，使不同变量的测度单位接近。比如，不同国家的收入和消费数据。如果利用总收入和总消费进行分析，由于不同国家的总量相差非常巨大，因此模型中难免出现异方差。如果利用人均收入和人均消费进行分析，就可以使得减弱不同国家变量之间的测度差异，从而降低异方差的程度甚至消除异方差。其二，可能的情况下对变量取自然对数。变量取对数降低了变量的变化程度，因此有助于消除异方差。,自相关,经典假设 随机误差项彼此之间不相关,如果存在自相关，则：,时间序列数往往存
10、在着自相关，即：,一般时间序列数据中，i.i.d 假设不成立,如果存在自相关：随机误差项的方差-协方差矩阵的非主对角线上的元素不为0 。,自相关包含一阶自相关和高阶自相关。一阶自相关：,高阶自相关：,考察英国政府如何根据长期利率（r20）的变化来调整短期利率（rs），数据集为ukrates.dta（1）做如下回归： ，其中：回归方程为： use ukrates,clear tsset month reg D.rs LD.r20,自相关的检验,1。图形法：自相关系数和偏自相关系数 predict e1,res ac e1 pac e1 corrgram e1,lag(10),2。t检验和F检验(
11、wooldridge)思想：t检验，如果存在一阶自相关，残差项与其一阶滞后项回归后系数显著，如果解释变量非严格外生，回归时可加入解释变量。 reg e1 L.e1 reg e1 L.e1 LD.r20 同理，可以用F检验检验是否存在高阶自相关 reg e1 L(1/2).e1,3。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相关形式，并且要求解释变量严格外生。,根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并且构造不同的区域。,reg D.rs LD.r20dwstat,经验上DW值1.8-2.2之间接受原假设，不存在一阶自相关。DW值接近于0或者接近于4，拒绝原假设，存在一阶自相关。,4。Q检验和Bartl
12、ett检验 reg D.rs LD.r20 predict e2,res wntestq e2 wntestq e2,lag(2) wntestb e2,如果不能保证解释变量严格外生，例如解释变量中包含被解释变量的滞后项，可以用以下方法：5。D-Ws h检验 estat durbinalt estat durbinalt,lag(2),6。对于高阶自相关的检验方法：B-G检验 bgodfrey bgodfrey,lag(2),自相关的处理,1. 使用OLS+异方差自相关稳健的标准误（HAC）方法被称为Newey-West估计法（Newey and West，1987） reg D.rs LD.
13、r20 newey D.rs LD.r20 ,lag(1)（假设存在一阶自相关） newey D.rs LD.r20 ,lag(2) （假设存在二阶自相关）系数完全相同，但标准差和t值不同。,可行广义最小二乘法（FGLS）：广义差分法： CO-PW方法Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察值)Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行处理 sqrt(1-rho2)*y1),Cochrane-Orcutt(1949) 估计(舍弃第一期观察值) prais D.rs LD.r20,corc prais D.rs LD.r20,rho(dw) corc
14、 Prais-Winsten(1954) 估计(对第一期观察值进行处理 sqrt(1-rho2)*y1) prais D.rs LD.r20 prais D.rs LD.r20,rho(dw) 时间序列一般样本不会太大，因此不要轻易舍弃。,多重共线性,直观上说：当模型的R2非常高，但多数解释变量都不显著，甚至系数符号相反，可能存在多重共线性完全的多重共线性stata会自动drop掉，例如 gen dom=1-foreign reg price weight length foreign dom 多重共线性的检验：膨胀因子 estat vif 经验上当 (1) VIF 的均值 =2 (2) VI
15、F 的最大值 接近或者超过10 认为有较为严重的多重共线性。,多重共线性的处理,1。不作处理：如果模型重点关注的是整体对被解释变量的解释能力，而不是具体回归系数是否显著，则可不处理。2。不作处理：如果存在多重共线性，但变量显著，此时消除多重共线性，只会使变量更加显著，此时可不作处理。3。删除引起多重共线性的某个变量。4。合并引起多重共线性的变量，例如，a和b是引起多重共线性的变量，引入新变量c=a/b，同时删除a和b。5。增大样本容量。,reg price mpg weight length foreign estat vif 还可以利用解释变量的相关系数 pwcorr mpg weight length foreign 结论：weight和length具有严重的多重共线性 可以考虑去掉weight。 reg price mpg length foreign estat vif pwcorr mpg length foreign 多重共线性基本消除,
